光電効果は「光子が電子にエネルギーを渡す」現象でした。
では、光子と電子が衝突したらどうなるでしょうか。1923年、コンプトンはX線を物質に当てると、散乱されたX線の波長が長くなることを発見しました。
この現象は、光子をビリヤードの球のような粒子と見なし、運動量とエネルギーの保存則を適用することで完璧に説明できます。光の粒子性を決定づけた実験です。
X線を物質（例えば炭素やパラフィン）に当てると、散乱されたX線の中に、入射X線と同じ波長の成分に加えて、長い波長の成分が現れます。この波長の変化をコンプトン効果（コンプトン散乱）といいます。
古典的な電磁気学では、電子が光（電磁波）を吸収して振動し、同じ振動数の光を再放射する（トムソン散乱）と考えます。この場合、散乱光の波長は入射光と同じはずであり、波長が変化することは説明できません。
コンプトン効果の本質は、光子をエネルギーと運動量をもつ粒子として扱い、電子との衝突を力学的な2体衝突問題として解くことです。
光子が電子に衝突してエネルギーの一部を電子に渡すので、散乱後の光子のエネルギーは減少し、$E = hc/\lambda$ より波長が長くなります。まさに「光子のビリヤード」です。
✕ 誤：可視光でもコンプトン効果が顕著に観測される
○ 正：コンプトン効果による波長のずれ（コンプトン波長 $\sim 0.0024\,\text{nm}$）は、可視光の波長（$\sim 500\,\text{nm}$）に比べて圧倒的に小さく、観測が困難です
X線（波長 $\sim 0.01\text{–}0.1\,\text{nm}$）ではコンプトン波長のずれが波長全体に対して相対的に大きいため、明瞭に観測できます。
散乱角 $\theta$（入射方向と散乱方向のなす角）におけるX線の波長の変化は、次の式で与えられます。
$$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)$$
$h/(mc)$ を電子のコンプトン波長と呼びます。
$$\frac{h}{mc} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 3.0 \times 10^8} \approx 2.43 \times 10^{-12}\,\text{m} = 0.00243\,\text{nm}$$
$\Delta\lambda = (h/mc)(1-\cos\theta)$ において、波長のずれは入射X線の波長 $\lambda$ に依存しないことに注目してください。
ずれの大きさは電子の質量 $m$ だけで決まります。これは、コンプトン散乱が光子と電子の粒子的衝突であることを如実に示しています。
✕ 誤：散乱X線はすべて波長が変化する
○ 正：実際の散乱では、波長が変化した成分（コンプトン散乱）と変化しない成分（原子全体からの散乱）が混在します
コンプトン散乱は自由電子（または弱く束縛された電子）で起こります。原子核に強く束縛された電子では、原子全体が反跳するため波長変化が極めて小さくなります。
コンプトンの式を、エネルギー保存則と運動量保存則から導きましょう。静止している電子（質量 $m$）に、波長 $\lambda$ の光子が衝突する場合を考えます。
エネルギー保存：
$$\frac{hc}{\lambda} + mc^2 = \frac{hc}{\lambda'} + \sqrt{(p_e c)^2 + (mc^2)^2}$$
左辺は入射光子のエネルギー＋静止電子のエネルギー、右辺は散乱光子のエネルギー＋反跳電子のエネルギー（相対論的）。
運動量保存（$x$ 方向）：
$$\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda'}\cos\theta + p_e\cos\phi$$
運動量保存（$y$ 方向）：
$$0 = \frac{h}{\lambda'}\sin\theta - p_e\sin\phi$$
ここで $\phi$ は反跳電子の散乱角。$p_e$ と $\phi$ を消去すると、
$$\lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)$$
が得られます。高校物理では導出の詳細よりも、この結果を正しく使えることが重要です。
アーサー・H・コンプトンは1922年にこの効果を発見し、1923年に論文を発表しました。光の粒子性を決定的に証明した功績により、1927年にノーベル物理学賞を受賞しています。
コンプトンの実験は、光電効果に続く「光の粒子性」の第二の柱であり、量子力学の確立に大きく貢献しました。
コンプトン効果は光の粒子性を決定づけた実験であり、量子力学への道を開きました。
Q1. コンプトン効果とはどのような現象ですか。
Q2. コンプトン散乱で波長のずれが最大になるのは散乱角がいくらのときですか。
Q3. コンプトン散乱の波長のずれは入射X線の波長に依存しますか。
Q4. コンプトン散乱で、散乱されたX線の波長が長くなる理由を光子の立場で説明してください。
コンプトン効果に関する入試レベルの問題です。
波長 $\lambda = 0.0500\,\text{nm}$ のX線が電子により散乱され、散乱角 $\theta = 90°$ で観測された。$h = 6.63 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$、$m = 9.11 \times 10^{-31}\,\text{kg}$、$c = 3.00 \times 10^8\,\text{m/s}$ として、次の問いに答えよ。
(1) 波長の変化量 $\Delta\lambda$ を求めよ。
(2) 散乱X線の波長 $\lambda'$ を求めよ。
(1) $\Delta\lambda \approx 0.00243\,\text{nm}$
(2) $\lambda' \approx 0.0524\,\text{nm}$
(1) $\Delta\lambda = \dfrac{h}{mc}(1 - \cos 90°) = \dfrac{h}{mc} \times 1 = \dfrac{6.63 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 3.00 \times 10^8}$
$= \dfrac{6.63 \times 10^{-34}}{2.733 \times 10^{-22}} = 2.43 \times 10^{-12}\,\text{m} = 0.00243\,\text{nm}$
(2) $\lambda' = \lambda + \Delta\lambda = 0.0500 + 0.00243 = 0.0524\,\text{nm}$
波長 $\lambda = 0.100\,\text{nm}$ のX線が静止電子と衝突し、散乱角 $\theta = 180°$ で散乱された。散乱後のX線の波長 $\lambda'$ を求めよ。また、反跳電子の運動エネルギーを eV で求めよ。$h = 6.63 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$、$c = 3.00 \times 10^8\,\text{m/s}$、$m = 9.11 \times 10^{-31}\,\text{kg}$、$1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}$ とする。
$\lambda' \approx 0.105\,\text{nm}$、$K_e \approx 570\,\text{eV}$
$\Delta\lambda = \dfrac{h}{mc}(1 - \cos 180°) = \dfrac{h}{mc} \times 2 = 2 \times 0.00243 = 0.00486\,\text{nm}$
$\lambda' = 0.100 + 0.00486 \approx 0.105\,\text{nm}$
反跳電子の運動エネルギーは、エネルギー保存より、
$K_e = \dfrac{hc}{\lambda} - \dfrac{hc}{\lambda'} = hc\!\left(\dfrac{1}{\lambda} - \dfrac{1}{\lambda'}\right)$
$= 6.63 \times 10^{-34} \times 3.00 \times 10^8 \times \left(\dfrac{1}{0.100 \times 10^{-9}} - \dfrac{1}{0.105 \times 10^{-9}}\right)$
$= 1.989 \times 10^{-25} \times (1.000 \times 10^{10} - 9.524 \times 10^{9})$
$= 1.989 \times 10^{-25} \times 4.76 \times 10^{8} = 9.5 \times 10^{-17}\,\text{J}$
$K_e = \dfrac{9.5 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 590\,\text{eV}$