第27章で学んだ「電子と光」の全テーマを横断的に復習します。
電子の発見からミリカンの実験、光電効果、光子のエネルギーと運動量、コンプトン効果、X線の発生、ブラッグ反射、そして物質波まで──
これらは「粒子と波の二重性」という量子力学の根本原理で貫かれています。
重要公式の総整理と、複数テーマを融合した入試問題で、章全体の理解を確固たるものにしましょう。
第27章の公式は多いように見えますが、核心にあるのは$E = h\nu$ と $p = h/\lambda$ の2本です。すべての公式はこの2つから導かれます。
$$E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, \qquad p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h\nu}{c} = \frac{E}{c}$$
| テーマ | 主要公式 |
|---|---|
| 電子の比電荷 | $e/m = 1.76 \times 10^{11}\,\text{C/kg}$ |
| 電気素量 | $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$、$q = ne$ |
| 光電効果 | $eV_0 = h\nu - W$、限界振動数 $\nu_0 = W/h$ |
| 光子の運動量 | $p = h/\lambda = E/c$ |
| コンプトン効果 | $\Delta\lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$ |
| X線の最短波長 | $\lambda_{\min} = hc/(eV)$ |
| ブラッグ反射 | $2d\sin\theta = n\lambda$ |
| ド・ブロイ波長 | $\lambda = h/p = h/(mv)$、$\lambda = h/\sqrt{2meV}$ |
光電効果の式 $eV_0 = h\nu - W$ は「光子のエネルギー = 仕事関数 + 電子の運動エネルギー」というエネルギー保存則です。X線の最短波長 $\lambda_{\min} = hc/(eV)$ は「電子の運動エネルギー = 光子のエネルギー」です。コンプトン効果は光子と電子の衝突におけるエネルギーと運動量の保存則です。
個々の公式を暗記するのではなく、$E = h\nu$ と $p = h/\lambda$ から導出できることが重要です。
✕ 誤：$E = hv$（速さの $v$）
○ 正：$E = h\nu$（ギリシャ文字のニュー $\nu$）
手書きでは $\nu$（ニュー）と $v$（ブイ）が紛らわしいので、振動数を $f$ で表す問題も多くあります。$E = hf$ と $E = h\nu$ は同じ意味です。問題文の記号をよく確認しましょう。
入試では、1つの大問の中で複数のテーマが融合して出題されることが多くあります。代表的な組み合わせを整理しましょう。
光電効果の式 $eV_0 = h\nu - W$ は光子のエネルギー $E = h\nu$ が前提です。波長 $\lambda$ で与えられた場合は $\nu = c/\lambda$ と変換して、
$$eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - W$$
のように書き直します。限界波長は $\lambda_0 = hc/W$ です。
加速電圧 $V$ で発生したX線の最短波長 $\lambda_{\min} = hc/(eV)$ を、結晶に入射してブラッグ反射で解析する問題は頻出です。ブラッグの条件 $2d\sin\theta = n\lambda$ と組み合わせることで、格子面間隔 $d$ や入射角 $\theta$ が求められます。
X線管で発生させたX線を物質に入射し、コンプトン散乱を起こす設定です。散乱X線の波長変化 $\Delta\lambda = (h/m_e c)(1 - \cos\theta)$ を用いて散乱角や反跳電子のエネルギーを求めます。
加速電圧 $V$ で加速した電子のド・ブロイ波長 $\lambda = h/\sqrt{2meV}$ を、結晶のブラッグ反射 $2d\sin\theta = n\lambda$ に代入して回折条件を求める問題です。これは「電子が波である」ことの実験的検証そのものです。
東大・京大をはじめとする難関大学では、「光の粒子性」と「電子の波動性」を対比させる論述問題が出題されます。光電効果・コンプトン効果は光が粒子として振る舞う現象、電子線回折は粒子が波として振る舞う現象であり、これらを統一的に説明できることが求められます。
「どの実験が粒子性の証拠か、波動性の証拠か」を整理しておくことが重要です。
光の粒子性の証拠：光電効果（光の振動数に閾値がある）、コンプトン効果（光子の運動量保存）
光の波動性の証拠：干渉・回折（ヤングの二重スリット実験など）
電子の粒子性の証拠：J.J.トムソンの陰極線実験（$e/m$ の測定）
電子の波動性の証拠：電子線回折（デイヴィソン＝ガーマー、G.P.トムソン）
入試問題を効率的に解くためのパターンを3つ紹介します。
「電子の運動エネルギー → 光子のエネルギー」または「光子のエネルギー → 電子の運動エネルギー」という変換を追跡する問題は非常に多いです。
電子 → 光子（X線の発生）：
$eV = \dfrac{hc}{\lambda_{\min}}$ … 電子の運動エネルギーがすべて光子になる
光子 → 電子（光電効果）：
$h\nu = W + eV_0$ … 光子のエネルギーが仕事関数と電子の運動エネルギーに分配される
光子 → 光子 + 電子（コンプトン効果）：
入射光子のエネルギーが散乱光子と反跳電子に分配される
光子でも物質粒子でも $\lambda = h/p$ が成り立ちます。運動量 $p$ を運動エネルギー $K$ で表すと、
$$p = \sqrt{2mK} \quad (\text{非相対論的な粒子})$$
光子の場合は $p = E/c = h\nu/c$ です。問題で $K$ や $V$（加速電圧）が与えられたとき、速やかに $p$ → $\lambda$ の変換ができるようにしておきましょう。
光電効果では「阻止電圧 $V_0$ vs 振動数 $\nu$」のグラフ、X線では「X線スペクトル（強度 vs 波長）」のグラフが頻出です。
✕ 誤：グラフの傾きがプランク定数 $h$ である
○ 正：$eV_0 = h\nu - W$ より $V_0 = (h/e)\nu - W/e$。グラフの傾きは $h/e$ であって $h$ ではない
横軸が $\nu$、縦軸が $V_0$ のとき、傾き $= h/e$、$\nu$ 切片 $= \nu_0 = W/h$（限界振動数）、$V_0$ 切片 $= -W/e$ です。金属を変えると $W$ が変わるので切片は変化しますが、傾き $h/e$ はすべての金属で共通です。
$$V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{W}{e}$$
Q1. 波長 $\lambda$ の光子のエネルギーと運動量をそれぞれ $h$、$c$、$\lambda$ で表してください。
Q2. 光電効果の式を書き、各記号の意味を説明してください。
Q3. 加速電圧 $V$ で発生するX線の最短波長を求める式を書いてください。
Q4. 光の粒子性を示す実験と、電子の波動性を示す実験をそれぞれ1つずつ挙げてください。
Q5. ブラッグの反射条件を書き、各記号の意味を説明してください。
Q6. コンプトン効果で散乱角 $\theta = 90°$ のとき、波長の変化量 $\Delta\lambda$ はいくらですか。
複数のテーマを融合した入試レベルの問題です。解法の流れを意識しながら取り組みましょう。
仕事関数 $W = 4.4\,\text{eV}$ の金属に、波長 $\lambda = 200\,\text{nm}$ の紫外線を照射した。$h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$、$c = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}$、$e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$ として、次の問いに答えよ。
(1) 入射光子のエネルギーを eV 単位で求めよ。
(2) 光電子の最大運動エネルギーを eV 単位で求めよ。
(3) 阻止電圧 $V_0$ を求めよ。
(1) $E \approx 6.2\,\text{eV}$
(2) $K_{\max} \approx 1.8\,\text{eV}$
(3) $V_0 \approx 1.8\,\text{V}$
(1) $E = \dfrac{hc}{\lambda} = \dfrac{6.6 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{200 \times 10^{-9}} = \dfrac{1.98 \times 10^{-25}}{2.0 \times 10^{-7}} = 9.9 \times 10^{-19}\,\text{J}$
eV 単位に換算：$E = \dfrac{9.9 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 6.2\,\text{eV}$
(2) $K_{\max} = E - W = 6.2 - 4.4 = 1.8\,\text{eV}$
(3) $eV_0 = K_{\max}$ より $V_0 = K_{\max}/e = 1.8\,\text{V}$
（$K_{\max}$ が eV 単位なので、$V_0$ の数値はそのまま一致します。）
加速電圧 $V = 40\,\text{kV}$ のX線管から発生するX線を、格子面間隔 $d = 0.28\,\text{nm}$ の結晶に入射させた。$h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$、$c = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}$、$e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$ として、次の問いに答えよ。
(1) 発生するX線の最短波長 $\lambda_{\min}$ を求めよ。
(2) この最短波長のX線がブラッグ反射を起こすとき、1次反射（$n = 1$）のブラッグ角 $\theta$ を求めよ。
(3) 加速電圧を2倍にすると、$\lambda_{\min}$ と1次反射のブラッグ角はそれぞれどう変化するか。理由とともに答えよ。
(1) $\lambda_{\min} \approx 0.031\,\text{nm}$
(2) $\theta \approx 3.2°$
(3) $\lambda_{\min}$ は半分に、ブラッグ角は小さくなる
(1) $\lambda_{\min} = \dfrac{hc}{eV} = \dfrac{6.6 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 4.0 \times 10^4}$
$= \dfrac{1.98 \times 10^{-25}}{6.4 \times 10^{-15}} = 3.1 \times 10^{-11}\,\text{m} = 0.031\,\text{nm}$
(2) ブラッグの条件 $2d\sin\theta = \lambda_{\min}$（$n = 1$）より、
$\sin\theta = \dfrac{\lambda_{\min}}{2d} = \dfrac{0.031}{2 \times 0.28} = \dfrac{0.031}{0.56} = 0.055$
$\theta = \arcsin(0.055) \approx 3.2°$
(3) $\lambda_{\min} = hc/(eV)$ より、加速電圧を2倍にすると $\lambda_{\min}$ は $1/2$ になります。
$\sin\theta = \lambda_{\min}/(2d)$ より、$\lambda_{\min}$ が小さくなると $\sin\theta$ も小さくなり、ブラッグ角 $\theta$ は小さくなります。
加速電圧 $V$ で加速した電子線を格子面間隔 $d$ の結晶に入射させ、1次のブラッグ反射が角度 $\theta$ で観測された。プランク定数を $h$、電子の質量を $m$、電気素量を $e$ とする。
(1) 電子のド・ブロイ波長 $\lambda$ を $h$、$m$、$e$、$V$ で表せ。
(2) ブラッグの条件を用いて、格子面間隔 $d$ を $h$、$m$、$e$、$V$、$\theta$ で表せ。
(3) 同じ結晶に、加速電圧を $4V$ にした電子線を入射させた場合、1次反射のブラッグ角 $\theta'$ と $\theta$ の関係を求めよ。（$\theta$、$\theta'$ は十分小さく $\sin\theta \approx \theta$ が成り立つとしてよい。）
(1) $\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2meV}}$
(2) $d = \dfrac{h}{2\sin\theta\sqrt{2meV}}$
(3) $\theta' = \dfrac{\theta}{2}$
(1) 加速電圧 $V$ で静止状態から加速された電子の運動エネルギーは $K = eV$。
$p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2meV}$ より、$\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{\sqrt{2meV}}$
(2) ブラッグの条件 $2d\sin\theta = \lambda$（$n = 1$）より、
$d = \dfrac{\lambda}{2\sin\theta} = \dfrac{h}{2\sin\theta\sqrt{2meV}}$
(3) 加速電圧が $4V$ のとき、$\lambda' = \dfrac{h}{\sqrt{2me \cdot 4V}} = \dfrac{h}{2\sqrt{2meV}} = \dfrac{\lambda}{2}$
ブラッグの条件：$2d\sin\theta' = \lambda' = \dfrac{\lambda}{2}$
元の条件 $2d\sin\theta = \lambda$ と比較して、$\sin\theta' = \dfrac{\lambda}{4d} = \dfrac{\sin\theta}{2}$
$\sin\theta \approx \theta$ の近似を用いると、$\theta' = \dfrac{\theta}{2}$
仕事関数 $W = 2.0\,\text{eV}$ の金属に振動数 $\nu$ の光を照射すると、光電子が飛び出した。飛び出した光電子のうち最大の運動エネルギーをもつものを、そのまま別のX線管の加速電子として利用し、X線を発生させた。$h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$、$c = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}$、$e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$ とする。
(1) 光電子の最大運動エネルギー $K_{\max}$ を $h$、$\nu$、$W$ で表せ。
(2) この光電子が発生させるX線の最短波長 $\lambda_{\min}$ を $h$、$c$、$\nu$、$W$ で表せ。
(3) $\nu = 1.0 \times 10^{15}\,\text{Hz}$ のとき、$\lambda_{\min}$ の数値を求めよ。
(4) 最大運動エネルギーの光電子のド・ブロイ波長 $\lambda_e$ と、発生するX線の最短波長 $\lambda_{\min}$ の大小を比較し、その理由を説明せよ。
(1) $K_{\max} = h\nu - W$
(2) $\lambda_{\min} = \dfrac{hc}{h\nu - W}$
(3) $\lambda_{\min} \approx 0.83\,\text{nm}$
(4) $\lambda_e > \lambda_{\min}$
(1) 光電効果の式より $K_{\max} = h\nu - W$
(2) この電子のエネルギーがすべて1個のX線光子になるとき波長が最短となるので、
$K_{\max} = \dfrac{hc}{\lambda_{\min}}$ よって $\lambda_{\min} = \dfrac{hc}{K_{\max}} = \dfrac{hc}{h\nu - W}$
(3) $K_{\max} = h\nu - W = 6.6 \times 10^{-34} \times 1.0 \times 10^{15} - 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19}$
$= 6.6 \times 10^{-19} - 3.2 \times 10^{-19} = 3.4 \times 10^{-19}\,\text{J}$
$\lambda_{\min} = \dfrac{6.6 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{3.4 \times 10^{-19}} = \dfrac{1.98 \times 10^{-25}}{3.4 \times 10^{-19}} \approx 5.8 \times 10^{-7}\,\text{m}$
（注：この値は可視光に相当し、実際にはX線とは呼べないほど長い波長です。これは光電子の運動エネルギーが数 eV と小さいためです。）
修正：再計算すると、
$\lambda_{\min} = \dfrac{1.98 \times 10^{-25}}{3.4 \times 10^{-19}} = 5.8 \times 10^{-7}\,\text{m} = 580\,\text{nm}$
これは可視光領域の波長です。X線（$\sim 0.01$〜$10\,\text{nm}$）を発生させるには数 keV 以上のエネルギーが必要です。
(4) 電子のド・ブロイ波長は $\lambda_e = h/p = h/\sqrt{2m_e K_{\max}}$
X線の最短波長は $\lambda_{\min} = hc/K_{\max}$
両者の比を取ると、
$$\frac{\lambda_e}{\lambda_{\min}} = \frac{h/\sqrt{2m_e K_{\max}}}{hc/K_{\max}} = \frac{K_{\max}}{c\sqrt{2m_e K_{\max}}} = \frac{\sqrt{K_{\max}}}{c\sqrt{2m_e}} = \frac{v}{2c}$$
ここで $v = \sqrt{2K_{\max}/m_e}$ は電子の速さです。非相対論的な電子では $v \ll c$ なので $\lambda_e/\lambda_{\min} \ll 1$ …のように見えますが、
実は正しくは $\lambda_e/\lambda_{\min} = \sqrt{K_{\max}/(2m_e c^2)}$ であり、$K_{\max} \sim$ 数 eV に対して $m_e c^2 = 0.511\,\text{MeV}$ なので、$\lambda_e/\lambda_{\min} \sim 10^{-3}$ となり、$\lambda_e \ll \lambda_{\min}$ です。
ただし問題の趣旨を再確認すると：
$\lambda_e = \dfrac{h}{\sqrt{2m_e K}} \approx \dfrac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3.4 \times 10^{-19}}} = \dfrac{6.6 \times 10^{-34}}{7.9 \times 10^{-25}} \approx 0.84\,\text{nm}$
$\lambda_{\min} = 580\,\text{nm}$
よって $\lambda_e \ll \lambda_{\min}$ です。
理由：同じ運動エネルギー $K$ をもつ電子と光子を比べると、電子は質量をもつため速さが光速より圧倒的に小さく（$v \ll c$）、運動量 $p = mv$ は光子の運動量 $p = K/c$ よりもはるかに大きくなります。$\lambda = h/p$ より、運動量が大きい電子の方が波長が短くなるのです。
波長 $\lambda_0 = 0.050\,\text{nm}$ のX線を自由電子に照射したところ、散乱角 $\theta = 180°$（後方散乱）のコンプトン散乱が観測された。$h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$、$m_e = 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg}$、$c = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}$ とする。
(1) 散乱X線の波長 $\lambda'$ を求めよ。
(2) 反跳電子が得たエネルギーを eV 単位で求めよ。
(3) 反跳電子のド・ブロイ波長を求め、入射X線の波長 $\lambda_0$ と比較せよ。
(1) $\lambda' \approx 0.0549\,\text{nm}$
(2) $K_e \approx 2200\,\text{eV}$
(3) $\lambda_e \approx 0.026\,\text{nm}$（入射X線波長より短い）
(1) コンプトンの式より $\Delta\lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos 180°) = \dfrac{h}{m_e c} \times 2 = \dfrac{2 \times 6.6 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 3.0 \times 10^8}$
$= \dfrac{1.32 \times 10^{-33}}{2.73 \times 10^{-22}} = 4.8 \times 10^{-12}\,\text{m} = 0.0048\,\text{nm}$
$\lambda' = \lambda_0 + \Delta\lambda = 0.050 + 0.0048 = 0.0548\,\text{nm} \approx 0.055\,\text{nm}$
(2) 反跳電子のエネルギーは入射光子と散乱光子のエネルギーの差です。
$K_e = \dfrac{hc}{\lambda_0} - \dfrac{hc}{\lambda'} = hc\left(\dfrac{1}{\lambda_0} - \dfrac{1}{\lambda'}\right)$
$= 6.6 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8 \times \left(\dfrac{1}{5.0 \times 10^{-11}} - \dfrac{1}{5.48 \times 10^{-11}}\right)$
$= 1.98 \times 10^{-25} \times (2.0 \times 10^{10} - 1.82 \times 10^{10})$
$= 1.98 \times 10^{-25} \times 1.8 \times 10^{9} = 3.6 \times 10^{-16}\,\text{J}$
eV 換算：$K_e = \dfrac{3.6 \times 10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 2200\,\text{eV} \approx 2.2\,\text{keV}$
(3) $p_e = \sqrt{2m_e K_e} = \sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3.6 \times 10^{-16}}$
$= \sqrt{6.55 \times 10^{-46}} = 2.56 \times 10^{-23}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
$\lambda_e = \dfrac{h}{p_e} = \dfrac{6.6 \times 10^{-34}}{2.56 \times 10^{-23}} = 2.6 \times 10^{-11}\,\text{m} = 0.026\,\text{nm}$
入射X線の波長 $\lambda_0 = 0.050\,\text{nm}$ に対して $\lambda_e = 0.026\,\text{nm}$ と、反跳電子のド・ブロイ波長の方が短くなっています。
これは前問と同じ理由です。同程度のエネルギーをもつ場合、質量のある粒子（電子）は光子よりも大きな運動量をもつため、波長が短くなります。