電気ストーブ、ドライヤー、電気ケトル——これらはすべて電気エネルギーを熱に変換する道具です。
電流が抵抗を流れると熱が発生します。これをジュール熱と呼びます。
「1秒あたりにどれだけの電気エネルギーが消費されるか」を表す量が電力です。電力の計算は、電気回路の問題でも日常生活でも欠かせません。
電流が抵抗を流れると、電子が抵抗内の原子と衝突し、運動エネルギーが熱エネルギーに変わります。 この熱をジュール熱（Joule heat）といいます。
抵抗 $R\,[\Omega]$ に電流 $I\,[\text{A}]$ が時間 $t\,[\text{s}]$ 流れたとき、発生する熱量 $Q\,[\text{J}]$ は
$$Q = I^2 R t = VIt = \frac{V^2}{R}\,t$$
ジュール熱は、電場から電荷が得たエネルギーが、抵抗内で熱に変わったものです。
電荷 $q$ が電位差 $V$ を通過すると $W = qV$ のエネルギーを失います。1秒あたりの電荷は $I$ なので、1秒あたりに失うエネルギーは $IV$。これが電力 $P$ です。
電力（Power）$P$ は、単位時間（1秒）あたりに消費される電気エネルギーです。単位はワット $[\text{W}]$ です。
$$P = VI = I^2 R = \frac{V^2}{R}$$
| 公式 | 使う場面 |
|---|---|
| $P = VI$ | 電圧と電流の両方がわかっているとき |
| $P = I^2R$ | 電流と抵抗がわかっているとき（直列回路で便利） |
| $P = \dfrac{V^2}{R}$ | 電圧と抵抗がわかっているとき（並列回路で便利） |
直列回路では電流 $I$ が共通 → $P = I^2R$ から「抵抗が大きいほど消費電力が大きい」
並列回路では電圧 $V$ が共通 → $P = V^2/R$ から「抵抗が小さいほど消費電力が大きい」
× 誤：「抵抗が大きいほど電力が大きい」と一概に言う
○ 正：直列か並列かによって結論が逆になる。何が共通かを確認してから公式を選ぶ
電位差 $V$ の区間を電流 $I$ が流れると、時間 $t$ に運ばれる電荷は $q = It$。
消費エネルギー $W = qV = VIt$。
電力は $P = \dfrac{W}{t} = VI$。
$V = IR$ を代入すれば $P = I^2R$、$I = V/R$ を代入すれば $P = V^2/R$ が得られる。
回路全体で消費される電力は、各抵抗で消費される電力の和に等しくなります。
直列では電流 $I$ が共通なので、$P = I^2R$ を使うと便利です。 各抵抗の消費電力の比は、抵抗値の比に等しくなります。
$$P_1 : P_2 = I^2 R_1 : I^2 R_2 = R_1 : R_2$$
並列では電圧 $V$ が共通なので、$P = V^2/R$ を使うと便利です。 各抵抗の消費電力の比は、抵抗値の逆比になります。
$$P_1 : P_2 = \frac{V^2}{R_1} : \frac{V^2}{R_2} = \frac{1}{R_1} : \frac{1}{R_2} = R_2 : R_1$$
直列では抵抗が大きいほど電力が大きい（電圧を多く受け持つため）。
並列では抵抗が小さいほど電力が大きい（電流を多く流すため）。
この逆転を理解するには、「何が共通か」を常に意識することが大切です。
電気製品には定格電圧と定格電力（または定格電流）が表示されています。 「100V ─ 600W」と書かれた電気ケトルは、100V の電圧をかけたときに 600W を消費するという意味です。
定格電圧 $V_0$、定格電力 $P_0$ の製品の抵抗は
$$R = \frac{V_0^2}{P_0}$$
例：100V ─ 600W の電気ケトル → $R = \dfrac{100^2}{600} \approx 16.7\,\Omega$
抵抗 $R$ は温度がほぼ一定なら変わりません。定格 100V の製品に 80V しかかけなければ、消費電力は $P = \dfrac{80^2}{R}$ となり定格電力より小さくなります。
逆に定格を超える電圧をかけると、消費電力が増加し発熱量が過大になります。これが電気火災の原因の一つです。
家庭のコンセント（100V）に並列に接続する場合を考えましょう。
× 誤：600W の電気ケトルは 100W の電球より抵抗が大きい
○ 正：$P = V^2/R$ より、同じ電圧なら消費電力が大きいほど抵抗は小さい
600W → $R \approx 16.7\,\Omega$、100W → $R = 100\,\Omega$。ケトルの方が抵抗は小さいのです。
ジュール熱と電力は、エネルギー保存則を電気回路に適用したものです。
Q1. 電力の公式を3つの形で書いてください。
Q2. $5\,\Omega$ の抵抗に $2\,\text{A}$ の電流が流れるとき、消費電力はいくらか。
Q3. 直列回路で、抵抗が大きい方と小さい方、どちらの消費電力が大きいか。
Q4. 「100V ─ 500W」の電熱器の抵抗値はいくらか。
ジュール熱と電力を入試形式で確認しましょう。
$10\,\Omega$ の電熱線に $3.0\,\text{A}$ の電流を $5$ 分間流した。発生するジュール熱を求めよ。
$Q = 2.7 \times 10^4\,\text{J}$（$27\,\text{kJ}$）
$t = 5 \times 60 = 300\,\text{s}$
$Q = I^2Rt = 3.0^2 \times 10 \times 300 = 9 \times 3000 = 27000\,\text{J} = 2.7 \times 10^4\,\text{J}$
100V ─ 800W のドライヤーについて、次の問いに答えよ。
(1) 定格電圧で使用したとき、流れる電流を求めよ。
(2) このドライヤーの抵抗値を求めよ。
(1) $I = 8.0\,\text{A}$
(2) $R = 12.5\,\Omega$
(1) $P = VI$ より $I = \dfrac{P}{V} = \dfrac{800}{100} = 8.0\,\text{A}$
(2) $R = \dfrac{V^2}{P} = \dfrac{100^2}{800} = \dfrac{10000}{800} = 12.5\,\Omega$
$2\,\Omega$ と $3\,\Omega$ の抵抗がある。これらを次の2通りの方法で $10\,\text{V}$ の電源に接続する。
(1) 直列に接続したとき、各抵抗の消費電力をそれぞれ求めよ。
(2) 並列に接続したとき、各抵抗の消費電力をそれぞれ求めよ。
(3) (1)(2)で「抵抗が大きい方の消費電力」が異なる理由を述べよ。
(1) $P_2 = 8\,\text{W}$、$P_3 = 12\,\text{W}$
(2) $P_2 = 50\,\text{W}$、$P_3 \approx 33\,\text{W}$
(3) 下記解説参照
(1) 直列の合成抵抗 $R = 5\,\Omega$、$I = 10/5 = 2\,\text{A}$
$P_2 = I^2 \times 2 = 4 \times 2 = 8\,\text{W}$、$P_3 = I^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12\,\text{W}$
(2) 並列では各抵抗に 10V がかかる。$P_2 = 10^2/2 = 50\,\text{W}$、$P_3 = 10^2/3 \approx 33\,\text{W}$
(3) 直列では電流が共通なので $P = I^2R$ より抵抗が大きいほど電力が大きい。並列では電圧が共通なので $P = V^2/R$ より抵抗が小さいほど電力が大きい。「何が共通か」によって電力と抵抗の関係が逆転する。
$20\,\Omega$ の電熱線を $100\,\text{V}$ の電源につなぎ、$500\,\text{g}$ の水（比熱 $4.2\,\text{J/(g}\cdot\text{K)}$）を加熱する。水の温度を $20°\text{C}$ から $100°\text{C}$ にするのに必要な時間を求めよ。ただし、熱の損失はないものとする。
$t = 336\,\text{s}$（約 5 分 36 秒）
必要な熱量：$Q = mc\Delta T = 500 \times 4.2 \times (100 - 20) = 500 \times 4.2 \times 80 = 168000\,\text{J}$
電力：$P = \dfrac{V^2}{R} = \dfrac{100^2}{20} = 500\,\text{W}$
$Q = Pt$ より $t = \dfrac{Q}{P} = \dfrac{168000}{500} = 336\,\text{s}$
起電力 $E = 12\,\text{V}$、内部抵抗 $r = 2\,\Omega$ の電池に外部抵抗 $R$ を接続する。外部抵抗 $R$ で消費される電力が最大になるときの $R$ の値と、そのときの最大電力を求めよ。
$R = 2\,\Omega$（$R = r$ のとき最大）、最大電力 $P_{\max} = 18\,\text{W}$
回路の電流：$I = \dfrac{E}{R + r}$
外部抵抗での電力：$P = I^2R = \dfrac{E^2 R}{(R + r)^2}$
$P$ を最大にする $R$ を求める。相加相乗平均の不等式を用いる。
$\dfrac{(R + r)^2}{R} = R + 2r + \dfrac{r^2}{R} \geq 2r + 2\sqrt{R \cdot \dfrac{r^2}{R}} = 2r + 2r = 4r$
等号成立条件は $R = r^2/R$、すなわち $R = r$。
$R = r = 2\,\Omega$ のとき、$P_{\max} = \dfrac{E^2}{4r} = \dfrac{144}{8} = 18\,\text{W}$
100V ─ 40W と 100V ─ 60W の白熱電球を直列に接続し、100V の電源につないだ。
(1) 各電球の抵抗値を求めよ。
(2) 各電球の消費電力を求めよ。
(3) どちらの電球がより明るく光るか、理由とともに答えよ。
(1) $R_{40} = 250\,\Omega$、$R_{60} \approx 167\,\Omega$
(2) $P_{40} \approx 14.4\,\text{W}$、$P_{60} \approx 9.6\,\text{W}$
(3) 40W の電球がより明るい
(1) $R_{40} = \dfrac{100^2}{40} = 250\,\Omega$、$R_{60} = \dfrac{100^2}{60} \approx 167\,\Omega$
(2) 合成抵抗 $R = 250 + 167 = 417\,\Omega$、$I = \dfrac{100}{417} \approx 0.240\,\text{A}$
$P_{40} = I^2 \times 250 \approx 14.4\,\text{W}$、$P_{60} = I^2 \times 167 \approx 9.6\,\text{W}$
(3) 直列接続では電流が共通なので $P = I^2R$ より抵抗が大きい 40W の電球（$250\,\Omega$）の方が消費電力が大きく、より明るく光る。定格ワット数が小さい電球ほど抵抗が大きいため、直列にすると逆転が起こる。