一様な電場の中に荷電粒子を置くと、一定の力を受けて等加速度運動をします。これは重力場中の物体の運動と全く同じ構造です。電場に平行に入射すれば直線的に加減速し、電場に垂直に入射すれば放物線運動をします。力学で学んだ手法がそのまま使えるのが大きな特徴です。
電場 $E$ の中に電荷 $q$ の粒子を置くと、粒子には
$$F = qE$$
質量 $m$ の粒子の加速度は、ニュートンの第2法則 $F = ma$ より
$$a = \frac{qE}{m}$$
重力場では $F = mg$（一定の力）→ 等加速度運動。電場では $F = qE$（一定の力）→ 等加速度運動。力学の公式 $v = v_0 + at$、$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ がそのまま使えます。$g$ を $qE/m$ に置き換えるだけです。
正電荷が電場の向きに動く場合（または負電荷が電場と逆向きに動く場合）、粒子は加速されます。
初速 $0$ で電場 $E$ の中を距離 $d$ だけ加速されたとき
$$v = \sqrt{2ad} = \sqrt{\frac{2qEd}{m}} = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$$
ここで $V = Ed$ は加速電位差です。
電場に逆らって運動する場合、粒子は減速し、やがて停止します。初速 $v_0$ の粒子が停止するまでの距離は
$$d = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{mv_0^2}{2qE}$$
× 誤：電子は電場の向きに加速される
○ 正：電子は負電荷なので、電場と逆向きに力を受ける。よって低電位→高電位に向かって加速される
荷電粒子が電場に垂直な方向に初速 $v_0$ で入射すると、放物線運動をします。
$x$ 軸方向（初速の向き）：等速運動
$$x = v_0 t$$
$y$ 軸方向（電場の向き）：等加速度運動
$$y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{qE}{2m}t^2$$
軌道の方程式（$t$ を消去）：
$$y = \frac{qE}{2mv_0^2}x^2$$
重力場中の水平投射：水平方向に等速、鉛直方向に等加速度（$g$）。電場中の垂直入射：初速方向に等速、電場方向に等加速度（$qE/m$）。構造が同じなので、力学で学んだ解法がそのまま通用します。
かつてのブラウン管テレビでは、電子ビームを平行板コンデンサー（偏向板）の電場で曲げて画面上の位置を制御していました。電場による放物運動の原理が直接応用されています。
運動方程式を使わなくても、エネルギー保存則で速さを求められます。
$$\frac{1}{2}mv_0^2 + qV_A = \frac{1}{2}mv^2 + qV_B$$
特に初速 $0$ で電位差 $V$ で加速される場合
$$qV = \frac{1}{2}mv^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$$
× 誤：常に運動方程式で解かなければならない
○ 正：速さだけを求めるならエネルギー保存が圧倒的に楽。時間や軌道を求めるなら運動方程式が必要
Q1. 一様な電場 $E$ の中に質量 $m$、電荷 $q$ の粒子を置いたときの加速度を求めてください。
Q2. 電場に垂直に入射した荷電粒子はどのような軌道を描くか。
Q3. 電子が電場の向きに対して逆向きに力を受ける理由を答えてください。
Q4. 電位差 $V$ で加速された荷電粒子（初速 $0$）の速さを求める式を書いてください。
電位差 $2000\,\text{V}$ で静止状態から加速された陽子（質量 $1.67 \times 10^{-27}\,\text{kg}$、電荷 $1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$）の速さを求めよ。
$v \approx 6.2 \times 10^5\,\text{m/s}$
エネルギー保存則：$eV = \dfrac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{\dfrac{2eV}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2000}{1.67 \times 10^{-27}}} = \sqrt{3.83 \times 10^{11}} \approx 6.19 \times 10^5\,\text{m/s}$
電場 $E = 5.0 \times 10^3\,\text{V/m}$ の中に電子（質量 $9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg}$、電荷 $1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$）を置いた。加速度の大きさを求めよ。
$a \approx 8.8 \times 10^{14}\,\text{m/s}^2$
$a = \dfrac{eE}{m} = \dfrac{1.6 \times 10^{-19} \times 5.0 \times 10^3}{9.1 \times 10^{-31}} = \dfrac{8.0 \times 10^{-16}}{9.1 \times 10^{-31}} \approx 8.79 \times 10^{14}\,\text{m/s}^2$
重力加速度の約 $9 \times 10^{13}$ 倍。電子にとって重力は完全に無視できる。
平行板コンデンサー（極板間隔 $d = 2.0\,\text{cm}$、極板の長さ $L = 5.0\,\text{cm}$、電位差 $V = 200\,\text{V}$）の間に、電場に垂直な方向に速さ $v_0 = 2.0 \times 10^7\,\text{m/s}$ で電子を入射させた。電子が極板間を通過するとき、電場方向の偏向量 $y$ を求めよ。電子の質量 $m = 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg}$、電荷 $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$。
$y \approx 5.5 \times 10^{-3}\,\text{m} = 5.5\,\text{mm}$
電場：$E = V/d = 200/(2.0 \times 10^{-2}) = 1.0 \times 10^4\,\text{V/m}$
加速度：$a = eE/m = 1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^4 / (9.1 \times 10^{-31}) = 1.76 \times 10^{15}\,\text{m/s}^2$
極板内通過時間：$t = L/v_0 = 5.0 \times 10^{-2} / (2.0 \times 10^7) = 2.5 \times 10^{-9}\,\text{s}$
偏向量：$y = \dfrac{1}{2}at^2 = \dfrac{1}{2} \times 1.76 \times 10^{15} \times (2.5 \times 10^{-9})^2 = 5.5 \times 10^{-3}\,\text{m}$
一様な電場 $E = 1.0 \times 10^4\,\text{V/m}$ の中を、電場と逆向きに初速 $v_0 = 4.0 \times 10^6\,\text{m/s}$ で陽子（質量 $1.67 \times 10^{-27}\,\text{kg}$、電荷 $1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$）を打ち込んだ。陽子が停止するまでに進む距離を求めよ。
$d \approx 8.4\,\text{m}$
方法1（エネルギー保存）：$\dfrac{1}{2}mv_0^2 = qEd$
$d = \dfrac{mv_0^2}{2qE} = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times (4.0 \times 10^6)^2}{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^4} = \dfrac{2.67 \times 10^{-14}}{3.2 \times 10^{-15}} \approx 8.35\,\text{m}$
方法2（等加速度の公式）：$a = qE/m = 9.58 \times 10^{11}\,\text{m/s}^2$、$d = v_0^2/(2a) \approx 8.35\,\text{m}$
平行板コンデンサー（極板間隔 $d$、極板の長さ $L$、電位差 $V$）の間に、極板の中央から電場に垂直に速さ $v_0$ で質量 $m$、電荷 $q$（正）の粒子を入射させた。
(1) 粒子が極板間を通り抜ける条件を求めよ。
(2) 粒子が極板端を出るときの、初速方向に対する偏向角 $\theta$ を求めよ。
(1) $V < \dfrac{mv_0^2 d}{qL^2}$
(2) $\tan\theta = \dfrac{qVL}{mv_0^2 d}$
電場：$E = V/d$、加速度：$a = qV/(md)$
通過時間：$t_L = L/v_0$
(1) 極板間の中央から入射するので、偏向量が $d/2$ 以内であればよい。
$y = \dfrac{1}{2}at_L^2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{qV}{md} \cdot \dfrac{L^2}{v_0^2} = \dfrac{qVL^2}{2mdv_0^2} < \dfrac{d}{2}$
$\therefore V < \dfrac{mv_0^2 d}{qL^2}$
(2) 極板端での電場方向の速度：$v_y = at_L = \dfrac{qV}{md} \cdot \dfrac{L}{v_0} = \dfrac{qVL}{mdv_0}$
$\tan\theta = \dfrac{v_y}{v_0} = \dfrac{qVL}{mdv_0^2} = \dfrac{qVL}{mv_0^2 d}$
質量 $m = 1.0 \times 10^{-15}\,\text{kg}$、電荷 $q = +3.2 \times 10^{-19}\,\text{C}$ の帯電微粒子を、鉛直上向きの一様な電場の中で静止させたい。必要な電場の大きさを求めよ。重力加速度 $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。
$E \approx 3.1 \times 10^4\,\text{V/m}$
力のつりあい：電気力（上向き）＝ 重力（下向き）
$qE = mg$
$E = \dfrac{mg}{q} = \dfrac{1.0 \times 10^{-15} \times 9.8}{3.2 \times 10^{-19}} = \dfrac{9.8 \times 10^{-15}}{3.2 \times 10^{-19}} \approx 3.06 \times 10^4\,\text{V/m}$
これはミリカンの油滴実験の原理と同じです。電場で油滴を静止させることで電荷を測定しました。