第21章で学んだ電場と電位の知識を総合的に活用する演習です。クーロン力から電場、電位、電気力線、荷電粒子の運動まで、章全体を横断する問題で実力を仕上げましょう。
| 物理量 | 公式 | ポイント |
|---|---|---|
| クーロン力 | $F = k\dfrac{|Q_1||Q_2|}{r^2}$ | 力の大きさは $|Q|$ を使う |
| 電場（点電荷） | $E = k\dfrac{|Q|}{r^2}$ | ベクトル量。重ね合わせは成分分解 |
| 電位（点電荷） | $V = k\dfrac{Q}{r}$ | スカラー量。符号付き。$1/r$ に比例 |
| 一様電場と電位差 | $E = V/d$ | $d$ は電場方向の距離 |
| 電位差と仕事 | $W = q\Delta V$ | 経路によらない |
| 電位エネルギー | $U = qV$ | 負電荷なら $U < 0$ もあり得る |
| 荷電粒子の加速度 | $a = qE/m$ | 等加速度運動の公式と組み合わせ |
| 電気力線の本数 | $N = Q/\varepsilon_0$ | ガウスの法則の簡略版 |
この章の全公式は「電場（ベクトル）」と「電位（スカラー）」の2系統に分類できます。問題が何を問うているかを見極め、適切な系統を選ぶことが解法の第一歩です。
× 誤：電位がゼロの点では電場もゼロ
○ 正：電位ゼロと電場ゼロは全く独立な条件。$+Q$ と $-Q$ の中点は電位ゼロだが電場は強い。$+Q$ と $+Q$ の中点は電場ゼロだが電位はゼロではない
Q1. 電場の重ね合わせと電位の重ね合わせの違いを一言で述べよ。
Q2. 一様な電場中で荷電粒子が等加速度運動をする理由を述べよ。
Q3. 速さだけを求めたい場合、運動方程式とエネルギー保存のどちらが効率的か。
Q4. 電気力線の本数と電荷の関係式を書け。
$+3.0\,\mu\text{C}$ の点電荷から $0.30\,\text{m}$ の点について、以下を求めよ。$k = 9.0 \times 10^9\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$
(1) 電場の大きさ
(2) 電位
(1) $E = 3.0 \times 10^5\,\text{V/m}$
(2) $V = 9.0 \times 10^4\,\text{V}$
(1) $E = k\dfrac{|Q|}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \dfrac{3.0 \times 10^{-6}}{(0.30)^2} = 9.0 \times 10^9 \times \dfrac{3.0 \times 10^{-6}}{0.09} = 3.0 \times 10^5\,\text{V/m}$
(2) $V = k\dfrac{Q}{r} = 9.0 \times 10^9 \times \dfrac{3.0 \times 10^{-6}}{0.30} = 9.0 \times 10^4\,\text{V}$
電場は $1/r^2$ に比例、電位は $1/r$ に比例。距離の依存性が異なることに注意。
極板間距離 $d = 5.0\,\text{mm}$、電位差 $V = 250\,\text{V}$ の平行板コンデンサーがある。
(1) 極板間の電場の大きさを求めよ。
(2) 正極板から負極板に向かって $+4.0\,\mu\text{C}$ の電荷を移動させたとき、電場がする仕事を求めよ。
(1) $E = 5.0 \times 10^4\,\text{V/m}$
(2) $W = 1.0 \times 10^{-3}\,\text{J}$
(1) $E = \dfrac{V}{d} = \dfrac{250}{5.0 \times 10^{-3}} = 5.0 \times 10^4\,\text{V/m}$
(2) 正極板（高電位）→ 負極板（低電位）に正電荷を移動 → 電場は正の仕事をする。
$W = q\Delta V = 4.0 \times 10^{-6} \times 250 = 1.0 \times 10^{-3}\,\text{J}$
$x$ 軸上の原点に $+4Q$、$x = d$ に $-Q$ を置く。
(1) $x$ 軸上で電場がゼロになる点の $x$ 座標を求めよ。
(2) $x$ 軸上で電位がゼロになる点の $x$ 座標をすべて求めよ。
(3) (1) と (2) の結果が異なる理由を説明せよ。
(1) $x = 2d$
(2) $x = 4d/5$ および $x = 4d/3$
(3) 電場はベクトル量、電位はスカラー量であるため、ゼロになる条件が異なる。
(1) 電場ゼロ：異符号の電荷なので、ゼロ点は $-Q$ の外側（$x > d$）にある。$x = d + s$ とおくと
$k\dfrac{4Q}{(d+s)^2} = k\dfrac{Q}{s^2}$ → $4s^2 = (d+s)^2$ → $2s = d + s$ → $s = d$ → $x = 2d$
(2) 電位ゼロ：$k\dfrac{4Q}{x} + k\dfrac{-Q}{|x-d|} = 0$ → $\dfrac{4}{x} = \dfrac{1}{|x-d|}$
$0 < x < d$：$4(d-x) = x$ → $x = 4d/5$
$x > d$：$4(x-d) = x$ → $3x = 4d$ → $x = 4d/3$
(3) 電場はベクトル量なので「大きさが等しく逆向き」で打ち消すが、電位はスカラー量なので「正の数と負の数の和がゼロ」で打ち消す。ベクトルの打ち消しとスカラーの打ち消しは数学的に異なる条件。
原点に固定された $+Q$ に向かって、無限遠から $+q$（質量 $m$）を速さ $v_0$ で打ち込む。$+q$ が $+Q$ に最も近づいたときの距離 $r_{\min}$ を求めよ。
$r_{\min} = \dfrac{2kQq}{mv_0^2}$
最接近時は運動エネルギーがゼロ（一直線上での正面衝突の場合）。
エネルギー保存則：
$$\frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = 0 + k\frac{Qq}{r_{\min}}$$
（無限遠での電位エネルギー $= 0$、最接近時の運動エネルギー $= 0$）
$r_{\min} = \dfrac{2kQq}{mv_0^2}$
平行板コンデンサー（極板間隔 $d$、極板長さ $L$、電位差 $V$）の間に、極板中央の高さから電場に垂直に速さ $v_0$ で質量 $m$、電荷 $q$（正）の粒子を入射させた。粒子がコンデンサーを出た後、コンデンサー右端から距離 $D$ のスクリーンに到達する。
(1) コンデンサー出口での電場方向の速度 $v_y$ を求めよ。
(2) コンデンサー出口からスクリーンまでの間の偏向量 $y_2$ を求めよ。
(3) 全偏向量（コンデンサー入口の高さからスクリーン上の到達点までの偏向量）$Y$ を求めよ。
(1) $v_y = \dfrac{qVL}{mdv_0}$
(2) $y_2 = \dfrac{qVLD}{mdv_0^2}$
(3) $Y = \dfrac{qVL}{mdv_0^2}\left(\dfrac{L}{2} + D\right)$
電場：$E_0 = V/d$、加速度：$a = qV/(md)$
コンデンサー内通過時間：$t_1 = L/v_0$
(1) $v_y = at_1 = \dfrac{qV}{md} \cdot \dfrac{L}{v_0} = \dfrac{qVL}{mdv_0}$
(2) コンデンサーを出た後は等速直線運動。スクリーンまでの時間 $t_2 = D/v_0$。
$y_2 = v_y t_2 = \dfrac{qVL}{mdv_0} \cdot \dfrac{D}{v_0} = \dfrac{qVLD}{mdv_0^2}$
(3) コンデンサー内の偏向量：$y_1 = \dfrac{1}{2}at_1^2 = \dfrac{qVL^2}{2mdv_0^2}$
全偏向量：$Y = y_1 + y_2 = \dfrac{qVL^2}{2mdv_0^2} + \dfrac{qVLD}{mdv_0^2} = \dfrac{qVL}{mdv_0^2}\left(\dfrac{L}{2} + D\right)$
正三角形の各頂点 A, B, C に $+Q$, $+Q$, $-Q$ をそれぞれ固定する。辺の長さを $a$ とするとき、
(1) この配置の静電エネルギー（3つの電荷対の電位エネルギーの合計）を求めよ。
(2) 正三角形の重心における電位を求めよ。
(3) 無限遠から $+q$ の電荷を重心に持ってくるのに必要な外力の仕事を求めよ。
(1) $U = -\dfrac{kQ^2}{a}$
(2) $V = \dfrac{kQ\sqrt{3}}{a}$
(3) $W = \dfrac{kQq\sqrt{3}}{a}$
(1) 3つの電荷対：A-B ($+Q$ と $+Q$)、A-C ($+Q$ と $-Q$)、B-C ($+Q$ と $-Q$)
$U = k\dfrac{Q \cdot Q}{a} + k\dfrac{Q \cdot (-Q)}{a} + k\dfrac{Q \cdot (-Q)}{a} = k\dfrac{Q^2}{a} - k\dfrac{Q^2}{a} - k\dfrac{Q^2}{a} = -\dfrac{kQ^2}{a}$
(2) 重心から各頂点までの距離 $r = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$
$V = k\dfrac{Q}{r} + k\dfrac{Q}{r} + k\dfrac{-Q}{r} = k\dfrac{Q}{r} = k\dfrac{Q}{a/\sqrt{3}} = \dfrac{kQ\sqrt{3}}{a}$
(3) $W = qV = \dfrac{kQq\sqrt{3}}{a}$