ここまでに学んだコンデンサーの知識 ── $Q = CV$、合成容量、静電エネルギー、誘電体、スイッチ切替 ── をすべて統合して入試レベルの問題に挑みます。
まず重要公式と解法の戦略を総復習し、そのあとで大学入試レベルの本格的な演習問題に取り組みましょう。
第22章で学んだ公式をすべて整理します。入試直前の最終確認にも使えるようにまとめました。
| テーマ | 公式 | ポイント |
|---|---|---|
| 基本式 | $Q = CV$ | すべての出発点 |
| 平行板の容量 | $C = \varepsilon S / d$ | $S$ に比例、$d$ に反比例 |
| 極板間の電場 | $E = V / d$ | 一様電場 |
| 直列合成 | $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$ | 電荷共通、電圧分配 |
| 並列合成 | $C = C_1 + C_2$ | 電圧共通、電荷分配 |
| 静電エネルギー | $U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$ | ½ を忘れない |
| 誘電体挿入 | $C' = \varepsilon_r C_0$ | 容量が $\varepsilon_r$ 倍 |
コンデンサーの問題を解く上で最も重要な判断は次の1点です。
「電池が接続されているか、切断されているか」
接続中 → $V$ 一定（電池が電圧を維持）→ $U = \frac{1}{2}CV^2$ を使う
切断後 → $Q$ 一定（電荷の出入りなし）→ $U = Q^2/(2C)$ を使う
この1つの判断で、問題の解き方が完全に決まります。
コンデンサーの問題に出会ったとき、次の手順で進めましょう。
問題文で「十分に時間が経った後」と書かれている場合、
○ 意味：過渡現象が終わり、定常状態に達している。回路に電流は流れていない。
定常状態では、
・コンデンサーには電流が流れない（回路が断線しているのと同じ）
・同じ閉回路内のコンデンサーの電圧の関係が確定する
・抵抗には電流が流れないので電位降下もゼロ
入試で減点されやすいミスを最後に整理しておきましょう。
○ 対策：「電圧共通 → 並列 → 足す」「電荷共通 → 直列 → 逆数」と原理で覚える。
○ 対策：バネの弾性エネルギー $\frac{1}{2}kx^2$ との類似を思い出す。力（電圧）が変位（電荷）に比例 → ½ がつく。
○ 対策：問題文の「電池を外す」「電池をつないだまま」に印をつける習慣を。
○ 対策：$1\,\mu\text{F} = 10^{-6}\,\text{F}$、$1\,\text{mm} = 10^{-3}\,\text{m}$。まず全てSI単位に変換してから計算する。
○ 対策：電荷保存は「孤立した導体部分」ごとに適用する。電池が接続されている部分には使えない。
第22章コンデンサーの学習を振り返り、他の分野との繋がりを確認しましょう。
Q1. コンデンサー問題で最初に確認すべき最重要事項は何ですか。
Q2. 「十分に時間が経った後」とはどのような状態ですか。
Q3. $Q = CV$ で、$C$ が2倍になったとき $Q$ は必ず2倍になりますか。
Q4. コンデンサーの合成容量の公式と抵抗の合成公式が逆になる理由を一言で述べてください。
第22章の総仕上げとして、複数テーマを横断する総合問題に挑戦しましょう。
$6\,\mu\text{F}$ と $3\,\mu\text{F}$ のコンデンサーを直列に接続し、$90\,\text{V}$ の電圧をかけた。次の問いに答えよ。
(1) 合成容量を求めよ。
(2) 各コンデンサーに蓄えられる電荷と電圧を求めよ。
(3) 回路全体に蓄えられる静電エネルギーを求めよ。
(1) $2\,\mu\text{F}$
(2) 電荷は共通で $180\,\mu\text{C}$。$6\,\mu\text{F}$：$30\,\text{V}$、$3\,\mu\text{F}$：$60\,\text{V}$
(3) $U = 8.1\,\text{mJ}$
(1) $C = \dfrac{6 \times 3}{6 + 3} = 2\,\mu\text{F}$
(2) $Q = CV = 2 \times 90 = 180\,\mu\text{C}$（直列なので共通）
$V_1 = 180/6 = 30\,\text{V}$、$V_2 = 180/3 = 60\,\text{V}$（検算：$30 + 60 = 90$ ✓）
(3) $U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10^{-6} \times 90^2 = 8.1 \times 10^{-3}\,\text{J}$
極板の面積 $S$、極板間の距離 $d$ の平行板コンデンサー（極板間は真空、$\varepsilon_0$）に起電力 $V_0$ の電池をつないで十分に充電した。以下の操作について答えよ。
操作1：電池をつないだまま、比誘電率 $\varepsilon_r = 3$ の誘電体を極板間全体に挿入した。
操作2：その後、電池を外し、誘電体を引き抜いた。
(1) 操作1の後の電荷、電位差、静電エネルギーをそれぞれ求めよ。
(2) 操作2の後の電荷、電位差、静電エネルギーをそれぞれ求めよ。
(3) 最初の状態と操作2の後の状態を比較し、エネルギーの変化を論じよ。
(1) $Q = 3C_0 V_0$、$V = V_0$、$U = \frac{3}{2}C_0 V_0^2$
(2) $Q = 3C_0 V_0$、$V = 3V_0$、$U = \frac{9}{2}C_0 V_0^2$
(3) エネルギーは $\frac{1}{2}C_0 V_0^2$ から $\frac{9}{2}C_0 V_0^2$ に9倍に増加した。
$C_0 = \varepsilon_0 S/d$ とおく。
初期状態：$Q_0 = C_0 V_0$、$V = V_0$、$U_0 = \frac{1}{2}C_0 V_0^2$
操作1（電池接続中に誘電体挿入：$V$ 一定）：
$C = 3C_0$、$V = V_0$（電池により固定）、$Q = 3C_0 V_0$、$U = \frac{1}{2} \times 3C_0 \times V_0^2 = \frac{3}{2}C_0 V_0^2$
操作2（電池切断後に誘電体を引き抜く：$Q$ 一定）：
$Q = 3C_0 V_0$（変化なし）、$C = C_0$（真空に戻る）
$V = Q/C = 3C_0 V_0 / C_0 = 3V_0$
$U = Q^2/(2C) = (3C_0 V_0)^2/(2C_0) = \frac{9C_0 V_0^2}{2}$
(3) 初期 $\frac{1}{2}C_0 V_0^2$ → 最終 $\frac{9}{2}C_0 V_0^2$ と9倍に増加。 操作1で電池からエネルギーが供給され（$3U_0 - U_0 = 2U_0$ の増加のうち $U_0$ は電池の仕事）、 操作2で誘電体を引き抜く外力が仕事をしてエネルギーが増加した。
次の回路を考える。$C_1 = 4\,\mu\text{F}$、$C_2 = 2\,\mu\text{F}$ のコンデンサーと起電力 $E = 12\,\text{V}$ の電池、スイッチ $S_1$、$S_2$ がある。初めすべてのコンデンサーは帯電していない。
操作I：$S_1$ を閉じて $C_1$ を電池で十分に充電する（$S_2$ は開いたまま）。
操作II：$S_1$ を開き（電池を切り離し）、$S_2$ を閉じて $C_1$ と $C_2$ を並列に接続する。十分に時間が経った後の状態を求める。
(1) 操作I後の $C_1$ の電荷と静電エネルギーを求めよ。
(2) 操作II後の各コンデンサーの電荷と共通電圧を求めよ。
(3) 操作II前後の全静電エネルギーを比較し、散逸したエネルギーを求めよ。
(1) $Q = 48\,\mu\text{C}$、$U = 288\,\mu\text{J}$
(2) $V = 8\,\text{V}$、$Q_1 = 32\,\mu\text{C}$、$Q_2 = 16\,\mu\text{C}$
(3) $\Delta U = 96\,\mu\text{J}$
(1) $Q = C_1 E = 4 \times 12 = 48\,\mu\text{C}$
$U_i = \frac{1}{2}C_1 E^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times 144 = 288\,\mu\text{J}$
(2) 電荷保存：$Q_1 + Q_2 = 48\,\mu\text{C}$
電圧条件（並列）：$V = Q_1/C_1 = Q_2/C_2$
$V = \dfrac{48}{C_1 + C_2} = \dfrac{48}{4 + 2} = 8\,\text{V}$
$Q_1 = C_1 V = 4 \times 8 = 32\,\mu\text{C}$、$Q_2 = C_2 V = 2 \times 8 = 16\,\mu\text{C}$
(3) $U_f = \frac{1}{2}(C_1 + C_2)V^2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 10^{-6} \times 64 = 192\,\mu\text{J}$
$\Delta U = 288 - 192 = 96\,\mu\text{J}$
散逸したエネルギー $96\,\mu\text{J}$ は導線の抵抗で熱として失われた。