自由落下・鉛直投げ上げ・鉛直投げ下ろしは、すべて「加速度 $g$ の等加速度直線運動」です。
個別に学んだ公式を並べるだけでは、入試問題に太刀打ちできません。
この総合演習では、3つの運動を横断的に扱い、v-tグラフを武器にした統一的な解法を身につけます。
自由落下・鉛直投げ上げ・鉛直投げ下ろし——この3つの運動は、いずれも重力加速度 $g$ のみが作用する等加速度直線運動です。 違いは初速度 $v_0$ だけです。この事実を表にまとめましょう。
| 運動の種類 | 初速度 $v_0$ | 加速度 | 正の向き（標準） |
|---|---|---|---|
| 自由落下 | $0$ | $g$（下向き） | 下向き |
| 鉛直投げ上げ | $v_0$（上向き） | $-g$（下向き） | 上向き |
| 鉛直投げ下ろし | $v_0$（下向き） | $g$（下向き） | 下向き |
このように並べると、3つの運動が本質的に同じであることがよくわかります。 正の向きの取り方によって加速度の符号が変わるだけで、使う公式は等加速度直線運動の3公式そのものです。
鉛直方向に正の向きを設定し、初速度を $v_0$、加速度を $a$ とすると、
$$v = v_0 + at$$
$$y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$
$$v^2 - v_0^2 = 2ay$$
自由落下・投げ上げ・投げ下ろしを別々の公式で覚える必要はありません。 正の向きを1つ決めて、初速度・加速度・変位に符号をつけるだけで、3つの運動は1セットの公式で扱えます。
「投げ上げ専用の公式」「投げ下ろし専用の公式」は存在しません。 あるのは等加速度直線運動の3公式と、正の向きの選択だけです。
落体の運動では、物体の質量や大きさに関係なく、加速度は常に重力加速度 $g$ です。 これはガリレオが発見した「落体の法則」の核心です。
重い物体も軽い物体も同じ加速度で落下する——この事実が、落体の問題をシンプルにしています。
最も多いミスが「正の向き」と「加速度の符号」の混同です。
✕ 誤：投げ上げだから加速度は $g$（上向きが正なのに正の値にしてしまう）
○ 正：上向きを正にとった場合、重力加速度は下向きなので $a = -g$
正の向きを決めたら、すべての物理量に一貫して符号をつけましょう。 途中で符号を変えると計算が破綻します。
鉛直投げ上げの最高点では速度が $v = 0$ になりますが、加速度は $0$ ではありません。
✕ 誤：最高点では $v = 0$ なので $a = 0$
○ 正：最高点でも加速度は $g$（下向き）のまま変わらない
速度が $0$ になる瞬間があっても、重力は常にはたらいています。 だからこそ物体は最高点を過ぎた後、下向きに加速し始めるのです。
落体の運動はすべて等加速度直線運動なので、v-tグラフは必ず直線になります。 3つの運動をv-tグラフで描くと、その違いと共通点が一目でわかります。
上向きを正にとった場合、3つの運動のv-tグラフはすべて傾き $-g$ の直線です。 違いは $t = 0$ での縦軸の切片（初速度）だけです。
| 運動の種類 | v-tグラフの切片 | 傾き | グラフの特徴 |
|---|---|---|---|
| 自由落下 | $0$ | $-g$ | 原点から右下がりの直線 |
| 投げ上げ | $+v_0$ | $-g$ | 正の切片から右下がり。途中で横軸を横切る |
| 投げ下ろし | $-v_0$ | $-g$ | 負の切片からさらに右下がりの直線 |
注目すべきは、3本の直線がすべて平行だということです。 これは加速度がすべて同じ $-g$ であることの直接的な表現です。
v-tグラフと時間軸で囲まれた面積が変位を表します。 公式に数値を代入する代わりに、三角形や台形の面積を計算するだけで変位が求まります。
特に投げ上げでは、v-tグラフが横軸を横切るため、横軸の上の面積（上昇分）と下の面積（下降分）を分けて考えることで、 変位と道のりの区別が直感的にできるようになります。
v-tグラフを描いてから問題を解くと、次のような利点があります。
正の向きの取り方によって、同じ運動でもv-tグラフの形が変わります。
✕ 誤：自由落下のv-tグラフは常に右上がり
○ 正：下向きを正にとれば右上がり、上向きを正にとれば右下がり
問題文で指定された正の向きに合わせてグラフを描きましょう。 指定がなければ、自分で決めた正の向きを明記することが大切です。
「先に落とした物体を後から追いかける」タイプの問題では、2つの物体のv-tグラフを同じ座標系に描くと見通しがよくなります。
2本の直線の間の面積が「2物体の間の距離の変化」を表します。 面積がゼロになる時刻が「追いつく時刻」です。
落体の運動の問題を確実に解くための手順を整理します。 この手順を身につければ、どんな問題にも対応できます。
まず、鉛直方向の正の向きを決めます。 問題文で指定されていればそれに従い、指定がなければ自分で決めて明記します。 一般的な選び方は次のとおりです。
$v_0$, $a$, $t$, $y$, $v$ の5つの量のうち、どれがわかっていてどれを求めたいのかを整理します。 等加速度直線運動の3公式は、それぞれ5つの量のうち1つを含まない形になっています。
| 公式 | 含まない量 | 使う場面 |
|---|---|---|
| $v = v_0 + at$ | $y$（変位） | 変位が不要なとき |
| $y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ | $v$（最終速度） | 最終速度が不要なとき |
| $v^2 - v_0^2 = 2ay$ | $t$（時間） | 時間が不要なとき |
既知量と求めたい量に合った公式を選び、符号をつけて代入します。 符号のつけ方を間違えると答えが狂うので、ステップ1で決めた正の向きを常に意識しましょう。
答えが出たら、次の点をチェックします。
3つの公式はそれぞれ5つの物理量のうち1つを含みません。 求めたい量と既知量を整理したとき、「使わない量」がどれかを見れば、使う公式が自動的に決まります。
たとえば「時間を使わずに速度と変位の関係を求めたい」なら、$t$ を含まない第3式 $v^2 - v_0^2 = 2ay$ を使います。
変位 $y$ は「原点からの変位」です。原点をどこにとったかによって $y$ の値と符号が変わります。
✕ 誤：ビルの屋上から落とした物体の変位を、地面を原点にして計算する（原点の位置を意識していない）
○ 正：原点（出発点）を屋上にとれば、下向きを正として $y$ は正の値になる
原点は通常「物体の出発点」にとるのが自然です。 問題文で別の基準が指定されている場合は、それに従いましょう。
$y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ に値を代入すると $t$ の2次方程式になることがあります。 解が2つ出たとき、物理的に意味のない負の解を捨てる必要があります。
✕ 誤：$t = -2$ と $t = 3$ の2つの解を両方とも答える
○ 正：$t \geq 0$ の解のみが物理的に意味をもつ。$t = 3\,\text{s}$
ただし、$t$ の正の解が2つある場合は、両方とも物理的に意味をもつことがあります（往路と復路の2回通過など）。
落体の運動の総合演習は、第1章で学んだ知識の集大成です。 ここから先の力学の学習にどうつながるかを確認しましょう。
Q1. 自由落下・投げ上げ・投げ下ろしに共通する加速度の大きさは何ですか。
Q2. 上向きを正にとったとき、鉛直投げ上げの加速度はいくらですか。
Q3. 鉛直投げ上げの最高点で、速度と加速度はそれぞれいくらですか。
Q4. $v^2 - v_0^2 = 2ay$ の公式は、どのような場面で使うと便利ですか。
Q5. 上向きを正にとった鉛直投げ上げのv-tグラフで、横軸より下の面積は何を表しますか。
自由落下・投げ上げ・投げ下ろしを横断する入試形式の問題に挑戦しましょう。 解説ではv-tグラフを活用した解法も紹介します。
高さ $45\,\text{m}$ のビルの屋上から小球を静かに落とした。重力加速度を $g = 10\,\text{m/s}^2$ とし、空気抵抗は無視する。次の問いに答えよ。
(1) 小球が地面に達するまでの時間を求めよ。
(2) 地面に達する直前の小球の速さを求めよ。
(3) 落下開始から $2.0\,\text{s}$ 後の小球の速さと、屋上からの落下距離を求めよ。
(1) $3.0\,\text{s}$
(2) $30\,\text{m/s}$
(3) 速さ $20\,\text{m/s}$、落下距離 $20\,\text{m}$
設定：下向きを正、屋上を原点とする。$v_0 = 0$, $a = g = 10\,\text{m/s}^2$
(1) $y = \frac{1}{2}gt^2$ に $y = 45$ を代入します。
$$45 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$$
$$t^2 = 9 \quad \therefore\, t = 3.0\,\text{s}$$
(2) $v = gt$ に $t = 3.0$ を代入します。
$$v = 10 \times 3.0 = 30\,\text{m/s}$$
別解として $v^2 = 2gy$ を使うと、$v^2 = 2 \times 10 \times 45 = 900$ より $v = 30\,\text{m/s}$。
(3) $v = gt = 10 \times 2.0 = 20\,\text{m/s}$
$y = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 2.0^2 = 20\,\text{m}$
地面から小球を鉛直上向きに $30\,\text{m/s}$ で投げ上げた。鉛直上向きを正とし、重力加速度を $g = 10\,\text{m/s}^2$ とする。次の問いに答えよ。
(1) 小球が最高点に達するまでの時間を求めよ。
(2) 最高点の高さを求めよ。
(3) 投げ上げてから地面に戻ってくるまでの時間を求めよ。
(1) $3.0\,\text{s}$
(2) $45\,\text{m}$
(3) $6.0\,\text{s}$
設定：上向きを正、地面を原点。$v_0 = 30\,\text{m/s}$, $a = -g = -10\,\text{m/s}^2$
(1) 最高点では $v = 0$ です。$v = v_0 + at$ より、
$$0 = 30 + (-10)t \quad \therefore\, t = 3.0\,\text{s}$$
(2) $y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 30 \times 3.0 + \frac{1}{2}(-10) \times 3.0^2 = 90 - 45 = 45\,\text{m}$
別解：$v^2 - v_0^2 = 2ay$ より、$0 - 30^2 = 2 \times (-10) \times y$ → $y = 45\,\text{m}$
(3) 地面に戻るとき $y = 0$。$0 = 30t + \frac{1}{2}(-10)t^2 = 30t - 5t^2$
$$t(30 - 5t) = 0 \quad \therefore\, t = 0\,\text{（投げた瞬間）},\, t = 6.0\,\text{s}$$
$t = 0$ は出発時刻なので、地面に戻る時刻は $t = 6.0\,\text{s}$ です。
v-tグラフによる別解（(2)）：v-tグラフは切片 $30$、傾き $-10$ の直線。$t = 0$ から $t = 3.0$ の区間で横軸との間にできる三角形の面積が最高点の高さです。$y = \frac{1}{2} \times 3.0 \times 30 = 45\,\text{m}$
高さ $80\,\text{m}$ のビルの屋上から、小球Aを静かに落下させた。その $1.0\,\text{s}$ 後に、同じ位置から小球Bを下向きに $20\,\text{m/s}$ で投げ下ろした。重力加速度を $g = 10\,\text{m/s}^2$ とし、空気抵抗は無視する。次の問いに答えよ。
(1) 小球Aが落下を始めてから何秒後に小球Bは小球Aに追いつくか。
(2) 追いつく地点は屋上から何 m 下の位置か。
(1) $3.0\,\text{s}$ 後
(2) $45\,\text{m}$
設定：下向きを正、屋上を原点。Aの落下開始を $t = 0$ とする。
小球Aの運動（$t = 0$ から自由落下）：
$$y_A = \frac{1}{2}gt^2 = 5t^2$$
小球Bの運動（$t = 1.0$ から投げ下ろし）：
Bは $t = 1.0\,\text{s}$ に運動を開始するので、Bが動いている時間は $(t - 1.0)$ です。
$$y_B = 20(t - 1.0) + \frac{1}{2} \times 10 \times (t - 1.0)^2 = 20(t-1) + 5(t-1)^2$$
(1) BがAに追いつく条件は $y_A = y_B$。
$$5t^2 = 20(t-1) + 5(t-1)^2$$
右辺を展開します。$5(t-1)^2 = 5t^2 - 10t + 5$ より、
$$5t^2 = 20t - 20 + 5t^2 - 10t + 5$$
$$0 = 10t - 15 \quad \therefore\, t = 1.5\,\text{s}$$
これはAの落下開始から $1.5\,\text{s}$ 後ですが、この時点でBは $t = 1.0$ に出発してからまだ $0.5\,\text{s}$ しか経過していません。
確認：$y_A = 5 \times 1.5^2 = 11.25\,\text{m}$、$y_B = 20 \times 0.5 + 5 \times 0.25 = 11.25\,\text{m}$。一致します。
待ってください——問題を再確認しましょう。計算を丁寧にやり直します。
$$5t^2 = 20(t-1) + 5(t-1)^2$$
$$5t^2 = 20t - 20 + 5(t^2 - 2t + 1)$$
$$5t^2 = 20t - 20 + 5t^2 - 10t + 5$$
$$0 = 10t - 15$$
$$t = 1.5\,\text{s}$$
Aが落下してから $1.5\,\text{s}$ 後ではBはまだ $0.5\,\text{s}$ しか動いていないので、この答えは正しいです。
しかし、問題の数値設定を見直すと、$t = 1.5$ の時点では屋上から $11.25\,\text{m}$ の地点でBがAに追いつきます。Aの落下開始から $3.0\,\text{s}$ 後と修正します。
改めて正しく計算します。Bの出発を基準にして $\tau = t - 1$ とおくと、
$$y_A = 5(1+\tau)^2 = 5 + 10\tau + 5\tau^2$$
$$y_B = 20\tau + 5\tau^2$$
$y_A = y_B$ より、$5 + 10\tau + 5\tau^2 = 20\tau + 5\tau^2$
$$5 = 10\tau \quad \therefore\, \tau = 0.5\,\text{s}$$
Aの落下開始からは $t = 1.0 + 0.5 = 1.5\,\text{s}$ 後です。
(2) $y_A = 5 \times 1.5^2 = 11.25\,\text{m}$
※ 数値を修正します。この問題では、$t = 1.5\,\text{s}$ 後に屋上から $11.25\,\text{m}$ の位置で追いつきます。
答え（修正）：(1) Aの落下開始から $1.5\,\text{s}$ 後 (2) $11\,\text{m}$（$11.25\,\text{m}$）
地上 $20\,\text{m}$ の高さから、小球を鉛直上向きに $10\,\text{m/s}$ で投げ上げた。鉛直上向きを正とし、投げた位置を原点にとる。重力加速度を $g = 10\,\text{m/s}^2$ とし、空気抵抗は無視する。次の問いに答えよ。
(1) この運動のv-tグラフを描き、小球が最高点に達するまでの時間を求めよ。
(2) 最高点の地面からの高さを求めよ。
(3) 小球が地面に達するまでの時間を求めよ。
(4) 地面に達する直前の小球の速さを求めよ。
(1) $1.0\,\text{s}$
(2) $25\,\text{m}$
(3) $1 + \sqrt{5} \fallingdotseq 3.2\,\text{s}$
(4) $10\sqrt{5} \fallingdotseq 22\,\text{m/s}$
設定：上向きを正、投げた位置を原点（地面は $y = -20\,\text{m}$）。$v_0 = 10\,\text{m/s}$, $a = -10\,\text{m/s}^2$
v-tグラフは、$t = 0$ で $v = 10$、傾き $-10$ の直線です。式で書くと $v = 10 - 10t$ です。
(1) 最高点では $v = 0$。$0 = 10 - 10t$ より $t = 1.0\,\text{s}$
(2) 原点からの変位：$y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 10 \times 1.0 + \frac{1}{2}(-10) \times 1.0^2 = 10 - 5 = 5.0\,\text{m}$
v-tグラフでは、$t = 0$ から $t = 1.0$ の三角形の面積 $= \frac{1}{2} \times 1.0 \times 10 = 5.0\,\text{m}$
地面からの高さは $20 + 5.0 = 25\,\text{m}$
(3) 地面に達するとき $y = -20$。
$$-20 = 10t + \frac{1}{2}(-10)t^2 = 10t - 5t^2$$
$$5t^2 - 10t - 20 = 0 \quad \Rightarrow \quad t^2 - 2t - 4 = 0$$
$$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$$
$t > 0$ より $t = 1 + \sqrt{5} \fallingdotseq 3.24\,\text{s}$
(4) $v^2 - v_0^2 = 2ay$ を使います。$y = -20$ なので、
$$v^2 = v_0^2 + 2ay = 10^2 + 2 \times (-10) \times (-20) = 100 + 400 = 500$$
$$|v| = \sqrt{500} = 10\sqrt{5} \fallingdotseq 22.4\,\text{m/s}$$
$v = -10\sqrt{5}$（下向き）ですが、速さは $10\sqrt{5}\,\text{m/s}$ です。
地面から小球Pを鉛直上向きに $30\,\text{m/s}$ で投げ上げた。同時に、真上 $35\,\text{m}$ の位置から小球Qを静かに落下させた。鉛直上向きを正とし、地面を原点にとる。重力加速度を $g = 10\,\text{m/s}^2$ とし、空気抵抗は無視する。次の問いに答えよ。
(1) 小球Pと小球Qの速度をそれぞれ時間 $t$ の関数で表せ。
(2) 小球Pと小球Qのv-tグラフを同じ座標系に描いたとき、2本の直線の位置関係を説明せよ。
(3) 2つの小球がすれ違う時刻を求めよ。
(4) すれ違う高さを求めよ。
(5) すれ違う瞬間の、Pから見たQの相対速度を求めよ。
(1) $v_P = 30 - 10t$、$v_Q = -10t$
(2) 傾きが等しい（ともに $-10$）平行な2直線。切片がPは $30$、Qは $0$。
(3) $t = \dfrac{7}{6} \fallingdotseq 1.17\,\text{s}$
(4) $\dfrac{665}{36} \fallingdotseq 18.5\,\text{m}$
(5) $-30\,\text{m/s}$（下向きに $30\,\text{m/s}$）
設定：上向きを正、地面を原点。
(1) 小球P：$v_P = 30 - 10t$
小球Q：初速度 $0$、加速度 $-10$（上向き正で下向きに加速）なので $v_Q = 0 - 10t = -10t$
(2) $v_P = 30 - 10t$ と $v_Q = -10t$ はいずれも傾き $-10$ の直線です。 $v_P$ は切片 $30$ から出発し、$v_Q$ は原点から出発します。 傾きが等しいので平行な2直線であり、速度差は常に $v_P - v_Q = 30\,\text{m/s}$ で一定です。
(3) 位置の式を立てます。
$$y_P = 30t - 5t^2$$
$$y_Q = 35 - 5t^2$$
（Qは高さ $35$ から自由落下。上向き正なので $y_Q = 35 + 0 \cdot t + \frac{1}{2}(-10)t^2 = 35 - 5t^2$）
$y_P = y_Q$ より、
$$30t - 5t^2 = 35 - 5t^2$$
$$30t = 35 \quad \therefore\, t = \frac{35}{30} = \frac{7}{6} \fallingdotseq 1.17\,\text{s}$$
注目すべき点：$t^2$ の項が消えます。これは2物体の加速度が同じ（ともに $-g$）だからです。
(4) $y_P = 30 \times \frac{7}{6} - 5 \times \left(\frac{7}{6}\right)^2 = 35 - 5 \times \frac{49}{36} = 35 - \frac{245}{36} = \frac{1260 - 245}{36} = \frac{1015}{36} \fallingdotseq 28.2\,\text{m}$
計算を確認します。$y_P = 30 \times \frac{7}{6} - 5 \times \frac{49}{36} = \frac{210}{6} - \frac{245}{36} = \frac{1260}{36} - \frac{245}{36} = \frac{1015}{36} \fallingdotseq 28.2\,\text{m}$
検算（$y_Q$）：$y_Q = 35 - 5 \times \frac{49}{36} = 35 - \frac{245}{36} = \frac{1260 - 245}{36} = \frac{1015}{36}$。一致します。
すれ違う高さは約 $28\,\text{m}$ です。
(5) Pから見たQの相対速度は $v_Q - v_P$ です。
$$v_Q - v_P = (-10t) - (30 - 10t) = -30\,\text{m/s}$$
時刻によらず一定で、$-30\,\text{m/s}$（下向きに $30\,\text{m/s}$）です。
これはv-tグラフで確認できます。2本の直線が平行なので、速度差は常に一定です。 Pから見ると、Qは常に $30\,\text{m/s}$ の速さで下向きに近づいてくるように見えます。