速度が一定の割合で変化する運動を「等加速度直線運動」と呼びます。
この運動を記述する3つの公式は、力学の問題を解くうえで最も頻繁に使う道具です。
公式を丸暗記するのではなく、v-tグラフから導く原理を理解し、「どの公式を選ぶか」の判断力を身につけましょう。
前の記事で扱った等速直線運動では、速度が一定でした。 しかし現実の多くの運動では、速度は時間とともに変化します。 なかでも、加速度が一定である運動を等加速度直線運動といいます。
加速度が一定とは、速度が毎秒同じだけ増加（または減少）するということです。 たとえば、加速度が $2\,\text{m/s}^2$ であれば、速度は1秒ごとに $2\,\text{m/s}$ ずつ増えていきます。
等加速度直線運動は、日常のさまざまな場面で現れます。
これらの運動に共通するのは、「物体に働く力が一定」であることです。 なぜ力が一定だと加速度が一定になるのかは、第2章のニュートンの運動の法則で明らかになります。 ここではまず、等加速度運動を数式で記述する方法を身につけましょう。
この記事では、次の記号を使います。
変位は「位置の変化」であり、正負の符号をもつ量です。 出発点より右（正の向き）に進めば正、左（負の向き）に進めば負になります。
✕ 誤：「$x = -30\,\text{m}$ だから $30\,\text{m}$ 進んだ」（符号を無視している）
○ 正：「$x = -30\,\text{m}$ だから、負の向きに $30\,\text{m}$ の位置にいる」
一方、距離は「実際に移動した道のりの長さ」であり、常に正の値です。 物体が折り返す場合、距離と変位の大きさは一致しません。
等加速度直線運動の3公式は、すべてv-tグラフ（速度-時間グラフ）から導くことができます。 v-tグラフを理解することが、3公式を「暗記」ではなく「理解」する鍵です。
等加速度直線運動のv-tグラフは直線になります。 この直線から、3つの公式に登場するすべての量を読み取ることができます。
傾き = 加速度 $a$、y切片 = 初速度 $v_0$、直線上の点 = 時刻 $t$ での速度 $v$、直線と時間軸で囲まれた面積 = 変位 $x$。
3つの公式は、このグラフの読み方を数式にしたものにすぎません。 グラフのイメージをもっていれば、公式を忘れても自力で導き直せます。
加速度 $a$ は「1秒あたりの速度変化」ですから、$t$ 秒間では速度が $at$ だけ変化します。 初速度 $v_0$ に、この変化量を加えたものが時刻 $t$ での速度 $v$ です。
加速度の定義より、
$$a = \frac{v - v_0}{t}$$
これを $v$ について解くと、
$$v = v_0 + at$$
v-tグラフでは、$y$ 切片が $v_0$、傾きが $a$ の直線の式そのものです。
v-tグラフにおいて、グラフと時間軸で囲まれた面積が変位 $x$ に等しいという性質を使います。 等加速度直線運動のv-tグラフは直線ですから、囲まれる図形は台形になります。
v-tグラフと時間軸で囲まれた台形の面積を求めます。
上底 = $v_0$（時刻 $0$ での速度）、下底 = $v_0 + at$（時刻 $t$ での速度）、高さ = $t$ として、
$$x = \frac{1}{2}(v_0 + v_0 + at) \times t = \frac{1}{2}(2v_0 + at) \times t$$
展開すると、
$$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$
問題によっては、時間 $t$ が与えられず、直接求める必要もない場合があります。 そのようなときに威力を発揮するのが第3式です。 第1式と第2式から $t$ を消去して導きます。
第1式 $v = v_0 + at$ を $t$ について解くと、
$$t = \frac{v - v_0}{a}$$
これを第2式 $x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ に代入します。
$$x = v_0 \cdot \frac{v - v_0}{a} + \frac{1}{2}a \left(\frac{v - v_0}{a}\right)^2$$
$$= \frac{v_0(v - v_0)}{a} + \frac{(v - v_0)^2}{2a}$$
$$= \frac{2v_0(v - v_0) + (v - v_0)^2}{2a}$$
$$= \frac{2v_0 v - 2v_0^2 + v^2 - 2v_0 v + v_0^2}{2a}$$
$$= \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$$
両辺に $2a$ を掛けると、
$$v^2 - v_0^2 = 2ax$$
第1式（速度-時間）：$$v = v_0 + at$$
第2式（変位-時間）：$$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$
第3式（速度-変位）：$$v^2 - v_0^2 = 2ax$$
第3式は第1式と第2式から $t$ を消去して導きました。 つまり、3つの公式のうち、どれか2つを知っていれば残りの1つは必ず導けるのです。
これは、等加速度直線運動が $v_0$、$a$、$t$ という3つのパラメータだけで完全に記述されることに対応しています。 3公式は、同じ運動を異なる角度から見た表現にすぎません。
「減速」を「加速度が正」と書いてしまうミスは非常に多いです。
✕ 誤：車がブレーキをかけて減速 → $a = 3\,\text{m/s}^2$
○ 正：車がブレーキをかけて減速 → $a = -3\,\text{m/s}^2$（正の向きに進んでいる場合）
加速度の符号は運動の向きではなく、速度変化の向きで決まります。 速度が減少している場合、加速度は速度と逆向き（負の値）です。 正の向きを最初に定め、その向きに対して加速度の符号を決めましょう。
数学IIIの微分積分を学ぶと、3公式の関係がより鮮明になります。
速度は位置の時間微分：$v = \dfrac{dx}{dt}$
加速度は速度の時間微分：$a = \dfrac{dv}{dt}$
逆に、変位は速度の時間積分：$x = \displaystyle\int v\,dt$
第2式は、第1式 $v = v_0 + at$ を $t$ で積分したものにほかなりません。 微積分を使えば、加速度が一定でない場合にも運動を記述できるようになります。
問題を解くとき、3つの公式のどれを使えばよいかを迷うことがあります。 使い分けのコツは、「与えられている量」を見ることではなく、「使わなくてよい量」を見抜くことです。
3つの公式にはそれぞれ5つの量（$v_0$、$v$、$a$、$t$、$x$）のうち4つが登場します。 つまり、各公式には「含まれない量」が1つずつあるのです。
| 公式 | 含まれる量 | 含まれない量 |
|---|---|---|
| 第1式 $v = v_0 + at$ | $v_0, \, v, \, a, \, t$ | $x$（変位） |
| 第2式 $x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ | $v_0, \, a, \, t, \, x$ | $v$（最終速度） |
| 第3式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ | $v_0, \, v, \, a, \, x$ | $t$（時間） |
問題で与えられた情報と求めたい量を確認し、「与えられてもいないし、求める必要もない量」を特定してください。 その量を含まない公式が、使うべき公式です。
たとえば、初速度・加速度・距離が分かっていて最終速度を求める問題では、 時間 $t$ は与えられてもいないし求める必要もありません。 $t$ を含まない第3式が最適です。
この考え方を身につければ、「どの公式を使おう？」と迷うことがなくなります。
よく出る組み合わせを整理しておきましょう。
もちろん、1つの公式だけで解けない場合は、2つの公式を組み合わせて使います。 その場合も、まず「不要な量」を考える習慣をつけておくと、方針が素早く立てられます。
第3式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ から $v$ を求めるとき、$v^2$ の値を計算した後に平方根を取ります。
✕ 誤：$v^2 = 100$ → $v = 10\,\text{m/s}$（正の値だけを取る）
○ 正：$v^2 = 100$ → $v = \pm 10\,\text{m/s}$。物理的な状況から正負を判断する
数学的には $v = \pm\sqrt{v^2}$ ですが、物理では運動の向きによって正負が決まります。 正の向きに進んでいれば $v > 0$、負の向きに進んでいれば $v < 0$ です。 符号は問題の状況を考えて選びましょう。
等加速度直線運動の問題は、与えられる量と求める量の組み合わせによっていくつかのパターンに分類できます。 ここでは代表的な3パターンを、具体的な数値を使って整理します。
これは最も基本的なパターンです。 たとえば、初速度 $v_0 = 5\,\text{m/s}$、加速度 $a = 3\,\text{m/s}^2$ で $t = 4\,\text{s}$ 後の速度と変位を求める場合を考えます。
速度は第1式から、$v = 5 + 3 \times 4 = 17\,\text{m/s}$ です。 変位は第2式から、$x = 5 \times 4 + \frac{1}{2} \times 3 \times 4^2 = 20 + 24 = 44\,\text{m}$ です。 第3式を使って検算すると、$v^2 - v_0^2 = 17^2 - 5^2 = 289 - 25 = 264$、$2ax = 2 \times 3 \times 44 = 264$ となり、一致します。
自動車が $v_0 = 20\,\text{m/s}$ でブレーキをかけ、$x = 50\,\text{m}$ 進んで停止（$v = 0$）した場合の加速度を求めます。
時間 $t$ は与えられておらず、求める必要もないので、第3式を使います。
$v^2 - v_0^2 = 2ax$ に代入すると、$0^2 - 20^2 = 2a \times 50$ より $-400 = 100a$ 、したがって $a = -4\,\text{m/s}^2$ です。 加速度が負の値になったのは、進行方向と逆向きに力がはたらいている（減速している）ことを意味します。
ある物体が $a = 2\,\text{m/s}^2$ の加速度で運動し、$t = 6\,\text{s}$ で $x = 84\,\text{m}$ 移動した場合の初速度を求めます。
最終速度 $v$ は不要なので、第2式を使います。 $84 = v_0 \times 6 + \frac{1}{2} \times 2 \times 6^2$ より $84 = 6v_0 + 36$ 、したがって $6v_0 = 48$ 、$v_0 = 8\,\text{m/s}$ です。
ブレーキをかけて減速する問題で、「止まるまでの時間」を超えた時刻の速度を第1式で求めると、負の値が出ることがあります。
✕ 誤：$v_0 = 10\,\text{m/s}$、$a = -2\,\text{m/s}^2$ で $t = 8\,\text{s}$ 後の速度 → $v = 10 + (-2) \times 8 = -6\,\text{m/s}$（「逆向きに動く」と解釈）
○ 正：停止時刻 $t_0 = \frac{10}{2} = 5\,\text{s}$ で速度は $0$ になる。 ブレーキをかけている物体は止まったら静止するので、$t > 5\,\text{s}$ では $v = 0$ のまま
3公式は「加速度が一定の区間」でのみ有効です。 物体が止まった瞬間に運動の状態が変わるため、それ以降に公式をそのまま使ってはいけません。
等加速度直線運動が成り立つのは、物体に働く合力が一定のときです。 ニュートンの運動の第2法則 $F = ma$ によれば、質量 $m$ が一定のもとで力 $F$ が一定なら、加速度 $a$ も一定になります。
現実には空気抵抗や摩擦が速度に依存するため、厳密な等加速度運動は理想化された状況です。 しかし、短い時間であれば良い近似として使えることが多く、物理の問題ではほとんどの場合この近似を前提にしています。
等加速度直線運動の3公式は、力学のさまざまなテーマに直結しています。 ここで学んだ公式と考え方が、今後どのように使われるかを確認しておきましょう。
Q1. 初速度 $10\,\text{m/s}$、加速度 $2\,\text{m/s}^2$ で運動する物体の、$5$ 秒後の速度を求めてください。
Q2. 初速度 $0$、加速度 $3\,\text{m/s}^2$ で運動する物体の、$4$ 秒間の変位を求めてください。
Q3. 初速度 $20\,\text{m/s}$ で走行中の自動車がブレーキをかけ、$50\,\text{m}$ 進んで停止しました。加速度を求めてください。
Q4. 等加速度直線運動の3公式のうち、時間 $t$ を含まないものはどれですか。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
静止していた自動車が一定の加速度 $2.0\,\text{m/s}^2$ で発進した。次の問いに答えよ。
(1) 発進してから $10\,\text{s}$ 後の速度を求めよ。
(2) 発進してから $10\,\text{s}$ 間に進んだ距離を求めよ。
(3) 速度が $30\,\text{m/s}$ に達するまでに進んだ距離を求めよ。
(1) $20\,\text{m/s}$
(2) $100\,\text{m}$
(3) $225\,\text{m}$
方針：$v_0 = 0$（静止）、$a = 2.0\,\text{m/s}^2$ を各公式に代入する。(3)は $t$ が不要なので第3式を使う。
(1) 第1式より $v = 0 + 2.0 \times 10 = 20\,\text{m/s}$
(2) 第2式より $x = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times 10^2 = 100\,\text{m}$
(3) 第3式より $30^2 - 0^2 = 2 \times 2.0 \times x$ → $900 = 4.0x$ → $x = 225\,\text{m}$
$72\,\text{km/h}$ で走行中の自動車がブレーキをかけたところ、一定の加速度で減速し、$50\,\text{m}$ 進んで停止した。次の問いに答えよ。
(1) ブレーキによる加速度の大きさを求めよ。
(2) ブレーキをかけてから停止するまでの時間を求めよ。
(1) $4.0\,\text{m/s}^2$
(2) $5.0\,\text{s}$
方針：まず単位を変換する。$72\,\text{km/h}$ を $\text{m/s}$ に変換してから公式を適用する。
$v_0 = 72\,\text{km/h} = 72 \times \frac{1}{3.6} = 20\,\text{m/s}$、$v = 0$（停止）、$x = 50\,\text{m}$
(1) 時間は不要なので第3式を使う。
$v^2 - v_0^2 = 2ax$ → $0 - 20^2 = 2a \times 50$ → $-400 = 100a$ → $a = -4.0\,\text{m/s}^2$
加速度の大きさは $|a| = 4.0\,\text{m/s}^2$
(2) 第1式より $0 = 20 + (-4.0) \times t$ → $4.0t = 20$ → $t = 5.0\,\text{s}$
静止状態から出発した電車が、最初の $20\,\text{s}$ 間は一定の加速度 $1.5\,\text{m/s}^2$ で加速し、その後は加速をやめて等速直線運動に移った。出発してから $50\,\text{s}$ 後までに電車が進んだ距離の合計を求めよ。
$1200\,\text{m}$
方針：運動を2つの区間に分け、それぞれの変位を求めて合計する。第1区間は等加速度運動、第2区間は等速直線運動。
第1区間（$0 \leq t \leq 20\,\text{s}$）：等加速度運動
$v_0 = 0$、$a = 1.5\,\text{m/s}^2$、$t_1 = 20\,\text{s}$
第1式より、$20\,\text{s}$ 後の速度 $v_1 = 0 + 1.5 \times 20 = 30\,\text{m/s}$
第2式より、変位 $x_1 = 0 \times 20 + \frac{1}{2} \times 1.5 \times 20^2 = 300\,\text{m}$
第2区間（$20\,\text{s} \leq t \leq 50\,\text{s}$）：等速直線運動
速度 $v_1 = 30\,\text{m/s}$ で $t_2 = 50 - 20 = 30\,\text{s}$ 間走行
変位 $x_2 = 30 \times 30 = 900\,\text{m}$
合計：$x_1 + x_2 = 300 + 900 = 1200\,\text{m}$