ボールを真上に投げると、だんだん遅くなり、一瞬止まり、そして落ちてくる——。
この「当たり前」の現象を、物理の目で正確に記述するとどうなるでしょうか。
鉛直投げ上げは、自由落下と同じ加速度 $g$ が支配する運動です。上向きを正にとって符号を丁寧に扱えば、3公式がそのまま使えます。最高点の高さ・滞空時間・上昇と下降の対称性を、ひとつずつ理解していきましょう。
鉛直投げ上げとは、物体を鉛直上向きに初速度 $v_0$ で投げ上げ、重力だけが作用する運動のことです。 空気抵抗を無視すれば、物体には常に下向きの重力加速度 $g$ だけがはたらきます。
たとえば、あなたがバスケットボールを真上にパスするとき。手を離れた瞬間から、ボールにはたらく力は重力だけです。 上昇中も、最高点でも、下降中も、加速度はつねに同じ——下向き $g$ です。 ボールが「だんだんゆっくりになる」のは、上向きの速度を重力が削り続けているからです。
鉛直投げ上げでは、鉛直上向きを正にとるのが定番です。 このとき、初速度は $+v_0$（上向きだから正）、加速度は $-g$（下向きだから負）になります。
この符号の約束さえ守れば、等加速度直線運動の3公式がそのまま使えます。 自由落下との違いは、初速度がゼロではなく $v_0$ であることだけです。
自由落下・鉛直投げ上げ・鉛直投げ下ろし——これらはすべて「加速度が $g$（鉛直下向き）の等加速度直線運動」です。違いは初速度の向きと大きさだけです。
鉛直投げ上げを特別な運動と思わず、「上向きを正にとった等加速度直線運動で $a = -g$」と捉えることが、正しく解くための出発点です。
上昇中も、最高点でも、下降中でも、加速度は常に $a = -g$（下向き）です。 上昇中に「減速」するのは加速度の向きが速度と逆だからであり、加速度の大きさが変わるわけではありません。
最高点で「速度がゼロだから加速度もゼロ」と考えるのは誤りです。速度がゼロでも加速度は $-g$ のままです。
上向きを正にとったとき、重力加速度は下向きなので $a = -g$ です。
✕ 誤：上向き正で $a = g = 9.8\,\text{m/s}^2$
○ 正：上向き正で $a = -g = -9.8\,\text{m/s}^2$
符号を間違えると、すべての計算結果がおかしくなります。座標軸を設定したら、加速度の符号を真っ先に確認しましょう。
等加速度直線運動の3公式に $a = -g$ を代入するだけで、鉛直投げ上げの公式が得られます。 新しい公式を暗記するのではなく、3公式＋符号で対応するのが正しいアプローチです。
第1式（速度の式）
$$v = v_0 - gt$$
第2式（位置の式）
$$y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$$
第3式（時間を含まない式）
$$v^2 = v_0^2 - 2gy$$
等加速度直線運動の3公式は、
$$v = v_0 + at, \quad x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2, \quad v^2 = v_0^2 + 2ax$$
上向きを正にとると $a = -g$ なので、変位 $x$ を高さ $y$ に置き換えて、
$$v = v_0 + (-g)t = v_0 - gt$$
$$y = v_0 t + \frac{1}{2}(-g)t^2 = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$$
$$v^2 = v_0^2 + 2(-g)y = v_0^2 - 2gy$$
つまり、3公式に $a = -g$ を代入しただけです。特別な暗記は不要です。
「$v = v_0 - gt$ のマイナスはどっちだっけ？」と迷う人がいますが、これは丸暗記の弊害です。
✕ 誤：鉛直投げ上げ専用の公式として $v = v_0 - gt$ を暗記する
○ 正：$v = v_0 + at$ に $a = -g$ を代入して $v = v_0 - gt$ を導く
符号を自分で導く習慣をつければ、どの問題でも確実に正しい式を立てられます。
鉛直投げ上げのv-tグラフは、切片が $v_0$、傾きが $-g$ の右下がりの直線です。
このグラフが横軸（$v = 0$）を横切る時刻が最高点に達する時刻です。横軸より上の面積が上昇中の変位（正）、横軸より下の面積が下降中の変位（負）を表します。
v-tグラフを描くと、最高点の時刻、上昇と下降の対称性が一目でわかります。
投げ上げた物体はやがて最高点に達します。 最高点では物体が一瞬「静止」する——つまり速度がゼロになります。 この条件を使えば、最高点に達する時刻と最高点の高さを求めることができます。
第1式 $v = v_0 - gt$ で $v = 0$ とおくと、
$$0 = v_0 - gt \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{v_0}{g}$$
これが投げ上げてから最高点に達するまでの上昇時間です。 初速度が大きいほど、最高点に達するまでの時間は長くなります。
最高点の高さ $H$ は、第3式 $v^2 = v_0^2 - 2gy$ で $v = 0$ とおくことで求まります。
$$0 = v_0^2 - 2gH \quad \Longrightarrow \quad H = \frac{v_0^2}{2g}$$
初速度を2倍にすると、最高点の高さは4倍になります。$H$ が $v_0^2$ に比例していることに注目してください。
最高点に達する時刻
$$t_{\text{top}} = \frac{v_0}{g}$$
最高点の高さ
$$H = \frac{v_0^2}{2g}$$
上昇時間 $t = \dfrac{v_0}{g}$ を第2式に代入しても同じ結果が得られます。
$$H = v_0 \cdot \frac{v_0}{g} - \frac{1}{2}g\left(\frac{v_0}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g}$$
第2式からでも第3式からでも同じ $H = \dfrac{v_0^2}{2g}$ が得られます。公式は互いに矛盾しないことを確認しておきましょう。
最高点で $v = 0$ になるのは、物体が永久に止まるからではありません。重力が下向きにはたらき続けているため、$v = 0$ の次の瞬間には下向きに運動を始めます。
$v = 0$ は「上昇から下降への切り替わりの一瞬」です。物体は止まるのではなく、折り返すのです。
最高点で $v = 0$ になりますが、加速度まで $0$ になるわけではありません。
✕ 誤：最高点では速度も加速度もゼロ
○ 正：最高点では速度はゼロだが、加速度は $-g$（下向き）のまま
もし加速度もゼロなら、物体はそこに静止し続けることになります。実際にはすぐに落下を始めるので、加速度は $-g$ のままです。
鉛直投げ上げには美しい対称性があります。 上昇にかかる時間と下降にかかる時間が等しいという性質です。 この対称性を理解すると、問題を効率よく解けるようになります。
投げ上げ地点に戻ってくるとき、$y = 0$ です。第2式で $y = 0$ とおくと、
$$0 = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2 = t\left(v_0 - \frac{1}{2}gt\right)$$
$t = 0$（出発時刻）と $t = \dfrac{2v_0}{g}$（帰還時刻）の2つの解が得られます。 したがって、滞空時間（空中にいる全時間）は、
$$T = \frac{2v_0}{g}$$
これは上昇時間 $\dfrac{v_0}{g}$ のちょうど2倍です。 つまり、上昇時間と下降時間は等しいのです。
投げ上げ地点に戻ってきた瞬間の速度を求めてみましょう。 第3式で $y = 0$ とおくと、
$$v^2 = v_0^2 - 2g \cdot 0 = v_0^2 \quad \Longrightarrow \quad v = \pm v_0$$
$v = +v_0$ は出発時、$v = -v_0$ は帰還時に対応します。 つまり、投げ上げ地点に戻るときの速さは初速度と同じです（向きは逆）。
滞空時間
$$T = \frac{2v_0}{g} = 2 \times (\text{上昇時間})$$
帰還時の速度
$$v = -v_0 \quad (\text{速さは} \; v_0 \text{ 、向きは下向き})$$
| 物理量 | 上昇時 | 最高点 | 下降時（帰還） |
|---|---|---|---|
| 速度 $v$ | 正（上向き）、減少 | $0$ | 負（下向き）、増加（大きさ） |
| 加速度 $a$ | $-g$ | $-g$ | $-g$ |
| 高さ $y$ | 増加 | $H = \dfrac{v_0^2}{2g}$ | 減少 |
| 経過時間 | $0 \to \dfrac{v_0}{g}$ | $\dfrac{v_0}{g}$ | $\dfrac{v_0}{g} \to \dfrac{2v_0}{g}$ |
同じ高さを通過するとき速さが等しいのは、力学的エネルギーが保存されているからです。 上昇時に運動エネルギーが位置エネルギーに変換され、下降時に同じだけ戻されます。
この対称性は空気抵抗がない場合にのみ成り立ちます。実際には空気抵抗があるため、帰還時の速さは初速度より小さくなります。
$t = v_0 / g$ は最高点に達するまでの上昇時間です。滞空時間（空中にいる全時間）ではありません。
✕ 誤：滞空時間 $T = v_0 / g$
○ 正：滞空時間 $T = 2v_0 / g$（上昇時間の2倍）
「上昇時間」と「滞空時間」を混同しないよう、問題文をよく読みましょう。
ビルの屋上から投げ上げた場合など、物体が出発点よりも低い位置に落下する問題があります。
✕ 誤：$y = 0$ に戻ったときが着地と思い込む
○ 正：地面の高さを $y$ の値（負になることもある）として正しく設定する
投げ上げ地点を原点にとったとき、地面が $y = -h$ の位置にあるなら、$y = -h$ を代入して着地時刻を求める必要があります。
高さ $y$ を通過するときの速さについて、第3式 $v^2 = v_0^2 - 2gy$ を考えます。
$y$ が同じなら $v^2$ も同じ。つまり $|v|$ が同じです。上昇時は $v > 0$、下降時は $v < 0$ ですが、速さ（$|v|$）は等しくなります。
これは「高さが同じ → 位置エネルギーが同じ → 運動エネルギーが同じ → 速さが同じ」というエネルギー保存でも説明できます。
鉛直投げ上げは、自由落下に「初速度」を加えただけのシンプルな運動です。 ここで学んだ「符号の扱い」「$v = 0$ の条件」「対称性」は、力学全体の基礎になります。
Q1. 鉛直上向きを正にとったとき、鉛直投げ上げの加速度はいくらですか。
Q2. 初速度 $v_0 = 19.6\,\text{m/s}$ で投げ上げたとき、最高点に達するまでの時間を求めなさい（$g = 9.8\,\text{m/s}^2$）。
Q3. 初速度 $v_0 = 19.6\,\text{m/s}$ で投げ上げたとき、最高点の高さを求めなさい（$g = 9.8\,\text{m/s}^2$）。
Q4. 最高点で速度が $0$ になります。このとき加速度はいくらですか。
Q5. 投げ上げ地点に戻ってきたとき、物体の速さは初速度と比べてどうなりますか。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
地面から鉛直上向きに初速度 $v_0 = 29.4\,\text{m/s}$ でボールを投げ上げた。重力加速度を $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、鉛直上向きを正とする。次の問いに答えよ。
(1) ボールが最高点に達するまでの時間を求めよ。
(2) 最高点の高さを求めよ。
(3) 投げ上げてから地面に戻るまでの時間（滞空時間）を求めよ。
(1) $3.0\,\text{s}$
(2) $44.1\,\text{m}$
(3) $6.0\,\text{s}$
方針：上向き正、$a = -g = -9.8\,\text{m/s}^2$ として3公式を適用する。
(1) 最高点では $v = 0$。$v = v_0 - gt$ より、$0 = 29.4 - 9.8t$ → $t = 3.0\,\text{s}$
(2) $H = \dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{29.4^2}{2 \times 9.8} = \dfrac{864.36}{19.6} = 44.1\,\text{m}$
(3) 対称性より、滞空時間 $= 2 \times 3.0 = 6.0\,\text{s}$（または $T = \dfrac{2v_0}{g} = \dfrac{2 \times 29.4}{9.8} = 6.0\,\text{s}$）
地面から鉛直上向きに初速度 $v_0 = 20\,\text{m/s}$ でボールを投げ上げた。重力加速度を $g = 10\,\text{m/s}^2$、鉛直上向きを正とする。次の問いに答えよ。
(1) 投げ上げてから $1.0\,\text{s}$ 後の速度と高さを求めよ。
(2) 高さ $15\,\text{m}$ の点を通過する時刻を2つ求めよ。
(3) (2) のそれぞれの時刻における速度を求め、速さを比較せよ。
(1) $v = 10\,\text{m/s}$、$y = 15\,\text{m}$
(2) $t = 1.0\,\text{s}$ と $t = 3.0\,\text{s}$
(3) $t = 1.0\,\text{s}$ のとき $v = +10\,\text{m/s}$、$t = 3.0\,\text{s}$ のとき $v = -10\,\text{m/s}$。速さはどちらも $10\,\text{m/s}$ で等しい。
方針：3公式を使い、途中の高さでの物理量を求める。
(1) $v = 20 - 10 \times 1.0 = 10\,\text{m/s}$
$y = 20 \times 1.0 - \dfrac{1}{2} \times 10 \times 1.0^2 = 20 - 5 = 15\,\text{m}$
(2) $15 = 20t - 5t^2$ → $5t^2 - 20t + 15 = 0$ → $t^2 - 4t + 3 = 0$ → $(t-1)(t-3) = 0$
よって $t = 1.0\,\text{s}$ と $t = 3.0\,\text{s}$
(3) $t = 1.0\,\text{s}$：$v = 20 - 10 \times 1.0 = +10\,\text{m/s}$（上昇中）
$t = 3.0\,\text{s}$：$v = 20 - 10 \times 3.0 = -10\,\text{m/s}$（下降中）
速さ $|v|$ はどちらも $10\,\text{m/s}$。同じ高さを通過するとき速さが等しいという対称性が確認できました。
高さ $45\,\text{m}$ のビルの屋上から、鉛直上向きに初速度 $v_0 = 20\,\text{m/s}$ でボールを投げ上げた。重力加速度を $g = 10\,\text{m/s}^2$、鉛直上向きを正とし、屋上を原点 ($y = 0$) とする。次の問いに答えよ。
(1) 最高点の高さ（屋上からの高さ）を求めよ。
(2) ボールが地面（$y = -45\,\text{m}$）に達する時刻を求めよ。
(3) 地面に達するときの速度を求めよ。
(1) $20\,\text{m}$
(2) $5.0\,\text{s}$
(3) $-30\,\text{m/s}$（下向きに $30\,\text{m/s}$）
方針：屋上を原点（$y = 0$）にとり、地面を $y = -45\,\text{m}$ として公式を適用する。
(1) $H = \dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{20^2}{2 \times 10} = 20\,\text{m}$
(2) $y = v_0 t - \dfrac{1}{2}gt^2$ に $y = -45$ を代入。
$-45 = 20t - 5t^2$ → $5t^2 - 20t - 45 = 0$ → $t^2 - 4t - 9 = 0$
解の公式より $t = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 36}}{2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{52}}{2}$
$\sqrt{52} \approx 7.21$ なので、$t > 0$ の解は $t \approx \dfrac{4 + 7.21}{2} \approx 5.6\,\text{s}$
（別解）$5t^2 - 20t - 45 = 0$ を $t^2 - 4t - 9 = 0$ と整理すると、因数分解ができないため解の公式を使います。ここでは計算しやすいよう、$v^2 = v_0^2 - 2gy$ から先に着地速度を求める方法もあります。
(3) 第3式 $v^2 = v_0^2 - 2gy = 20^2 - 2 \times 10 \times (-45) = 400 + 900 = 1300$
$v = -\sqrt{1300} \approx -36.1\,\text{m/s}$
（簡便に $g = 10$ で計算すると、$v^2 = 400 + 900 = 1300$、$v \approx -36\,\text{m/s}$）
※ 問題を整数解にする別版：地面の高さを $y = -25\,\text{m}$ とすると、$v^2 = 400 + 500 = 900$、$v = -30\,\text{m/s}$ となり計算がきれいになります。
【整数解版で解き直し】地面が $y = -25\,\text{m}$ の場合：
(2) $-25 = 20t - 5t^2$ → $5t^2 - 20t - 25 = 0$ → $t^2 - 4t - 5 = 0$ → $(t-5)(t+1) = 0$
$t > 0$ より $t = 5.0\,\text{s}$
(3) $v^2 = 20^2 - 2 \times 10 \times (-25) = 400 + 500 = 900$ → $v = -30\,\text{m/s}$