ビルの屋上からボールを「ただ手を離す」のと「下に向かって投げる」のとでは、地面に届くまでの時間も着地の速さも違います。
鉛直投げ下ろしとは、物体を下向きに初速度をつけて放す運動です。
自由落下に初速度が加わっただけですが、この「たったひとつの違い」が公式・グラフ・計算にどう影響するかを整理すれば、落体の運動の全体像がクリアになります。
鉛直投げ下ろしとは、物体を鉛直下向きに初速度 $v_0$ を与えて放す運動のことです。 放された物体には重力だけがはたらくので、下向きに等加速度運動をします。
たとえば、橋の上からボールを「ぽとん」と手を離すのが自由落下（$v_0 = 0$）、 「えいっ」と下に向かって投げるのが鉛直投げ下ろし（$v_0 > 0$）です。 どちらも重力加速度 $g$ で加速されますが、スタートの速さが違うので、同じ高さから落としても着地までの時間と着地速度が異なります。
自由落下と鉛直投げ下ろしの違いは、初速度 $v_0$ があるかないか、この1点だけです。 加速度はどちらも重力加速度 $g$ で、運動の方向もどちらも下向きです。
このため、鉛直投げ下ろしの公式は自由落下の公式で $v_0 = 0$ としたものの「一般化バージョン」と考えることができます。 逆にいえば、自由落下は鉛直投げ下ろしの特殊ケース（$v_0 = 0$）です。
鉛直投げ下ろしは、自由落下に初速度を加えただけの運動です。 加速度は同じ $g$ なので、等加速度直線運動の3公式がそのまま使えます。
「新しい運動を覚えなければ」と身構える必要はありません。 等加速度直線運動の公式に $a = g$、$v_0 \neq 0$ を代入するだけです。
鉛直投げ下ろしでは、初速度・加速度・変位のすべてが下向きです。 そこで下向きを正にとると、$v_0 > 0$、$a = g > 0$、$y > 0$ となり、符号のミスが起きにくくなります。
もちろん上向きを正にとっても問題は解けますが、投げ下ろしでは下向き正が圧倒的に楽です。 座標軸の向きは「正の向きに運動している設定」にするのがコツです。
鉛直投げ下ろしと鉛直投げ上げでは、初速度の向きが逆です。
✕ 誤：下に投げるのだから $v_0$ にマイナスをつける
○ 正：下向きを正にとれば、下に投げる初速度は $v_0 > 0$（正の値）
座標軸の向きを決めたら、初速度の符号はそれに従って決まります。 「投げ下ろし＝マイナス」と機械的に覚えるのではなく、座標の正の向きとの関係で判断しましょう。
下向きを正にとり、投げ下ろした地点を原点（$y = 0$）とします。 初速度の大きさを $v_0$（$> 0$）、重力加速度を $g$ とすると、等加速度直線運動の3公式がそのまま適用できます。
第1式（速度の式）
$$v = v_0 + gt$$
第2式（変位の式）
$$y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2$$
第3式（時間を含まない式）
$$v^2 = v_0^2 + 2gy$$
これらの公式は、等加速度直線運動の3公式（$v = v_0 + at$、$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$、$v^2 = v_0^2 + 2ax$）で $a = g$、$x = y$ と置き換えたものにすぎません。 新しい公式を暗記するのではなく、「代入するだけ」と理解することが大切です。
下向きを正にとっているときの公式に、$g = -9.8$ を代入するのは二重にマイナスをかけることになり、計算が破綻します。
✕ 誤：$v = v_0 + (-9.8)t$（下向き正なのにマイナスを入れた）
○ 正：$v = v_0 + 9.8t$（下向き正なので $g = +9.8$）
$g$ は重力加速度の「大きさ」（常に正）です。 公式の中の $g$ の前にマイナスがつくかどうかは、座標軸の向きに合わせてすでに決まっています。 下向き正なら $+g$、上向き正なら $-g$ です。
自由落下の公式は、鉛直投げ下ろしの公式で $v_0 = 0$ としたものです。 両者を並べて見ると、初速度の項があるかないかだけの違いであることが一目瞭然です。
| 公式 | 鉛直投げ下ろし | 自由落下（$v_0 = 0$） |
|---|---|---|
| 第1式 | $v = v_0 + gt$ | $v = gt$ |
| 第2式 | $y = v_0 t + \dfrac{1}{2}gt^2$ | $y = \dfrac{1}{2}gt^2$ |
| 第3式 | $v^2 = v_0^2 + 2gy$ | $v^2 = 2gy$ |
鉛直投げ下ろしのv-tグラフは、縦軸の切片が $v_0$（$> 0$）で、傾きが $g$ の右上がり直線です。 自由落下のv-tグラフは原点からスタートしますが、投げ下ろしは $v_0$ の位置からスタートするところが違います。
グラフと横軸で囲まれた面積が落下距離 $y$ を表すので、同じ時刻 $t$ で比べると、投げ下ろしのほうが面積（＝落下距離）が大きいことがわかります。
ここでは、3つの公式がどこから出てくるのかを丁寧に確認します。 等加速度直線運動の一般公式からの代入であることを理解すれば、暗記の負担はゼロになります。
等加速度直線運動の速度の式は $v = v_0 + at$ です。
鉛直投げ下ろしでは $a = g$（下向き正）なので、
$$v = v_0 + gt$$
この式の意味：「はじめの速さ $v_0$ に、毎秒 $g$ ずつ速度が加算されていく」。 $t$ 秒後の速度は $v_0$ よりも $gt$ だけ大きくなります。
等加速度直線運動の変位の式は $x = v_0 t + \dfrac{1}{2}at^2$ です。
$a = g$、$x = y$ として、
$$y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2$$
この式の意味：右辺の第1項 $v_0 t$ は「初速度で等速運動したときの距離」、 第2項 $\dfrac{1}{2}gt^2$ は「重力による加速で追加される距離」です。 両者の合計が実際の落下距離 $y$ になります。
等加速度直線運動の第3式は $v^2 = v_0^2 + 2ax$ です。
$a = g$、$x = y$ として、
$$v^2 = v_0^2 + 2gy$$
この式は時間 $t$ を含まないので、「何 m 落下したら速度はいくらか」を直接求めたいときに便利です。 着地速度の問題でよく使います。
自由落下、鉛直投げ上げ、鉛直投げ下ろし——これらはすべて等加速度直線運動の3公式に $a = \pm g$ を代入するだけで導けます。
覚えるべき公式は等加速度直線運動の3つだけです。 あとは座標軸の向きを決め、初速度と加速度の符号を正しく設定すれば、どんな落体の問題にも対応できます。
ここまでに学んだ3種類の落体の運動を比較し、共通点と違いを整理しましょう。 すべて「重力加速度 $g$ による等加速度直線運動」であるという共通点を押さえることが重要です。
| 自由落下 | 鉛直投げ上げ | 鉛直投げ下ろし | |
|---|---|---|---|
| 初速度 | $0$ | $v_0$（上向き） | $v_0$（下向き） |
| 加速度 | $g$（下向き） | $g$（下向き） | $g$（下向き） |
| 運動の向き | 常に下向き | 上昇→下降 | 常に下向き |
| 速度が0になる瞬間 | なし（$t = 0$ で $v = 0$） | 最高点 | なし |
| 典型的な正の向き | 下向き | 上向き | 下向き |
3つの運動を並べてみると、加速度はすべて同じ「$g$（下向き）」です。 違いは初速度だけ——$0$ か、上向きか、下向きか。 つまり、落体の運動はすべて「初速度のバリエーション」にすぎないのです。
高さ $h$ のビルの屋上から、ボールAを自由落下させ、ボールBを初速度 $v_0$ で投げ下ろしたとします。 どちらが先に地面に着くでしょうか？
当然、初速度がある分だけ投げ下ろしのほうが先に着きます。 さらに、着地速度も投げ下ろしのほうが大きくなります。 第3式 $v^2 = v_0^2 + 2gh$ から、投げ下ろしの着地速度は自由落下より $v_0^2$ の分だけ $v^2$ が大きいことがわかります。
着地速度を求めるとき、自由落下の着地速度 $\sqrt{2gh}$ に初速度 $v_0$ を単純に足す間違いがよく見られます。
✕ 誤：$v = v_0 + \sqrt{2gh}$（速度を単純に足す）
○ 正：$v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$（第3式から正しく求める）
速度の「合成」ではなく、$v^2 = v_0^2 + 2gy$ という2乗の関係で求めます。 $v^2$ の足し算であって、$v$ の足し算ではないことに注意しましょう。
鉛直投げ上げで最高点を過ぎた後の落下は、最高点から見れば自由落下です。 投げ下ろしとは違います。
✕ 誤：投げ上げた物体が落ちてくる部分は「投げ下ろし」と同じ
○ 正：最高点で $v = 0$ になるので、最高点からの運動は自由落下（$v_0 = 0$）
投げ下ろしは最初から下向きの初速度がある運動です。投げ上げの落下部分は、最高点では速度がゼロなので自由落下に相当します。
下向きを正にとると、3つのv-tグラフはすべて傾き $g$ の平行な直線です。 違いは切片（$t = 0$ での速度）だけです。
自由落下：原点を通る（$v_0 = 0$）。 投げ下ろし：切片が $+v_0$（正の切片）。 投げ上げ（下向き正）：切片が $-v_0$（負の切片、途中で横軸を横切る）。
3本の直線が同じ傾きをもつことから、加速度はどれも同じ $g$ であることが視覚的にわかります。
公式を使いこなすために、典型的な問題の解き方を見ていきましょう。 鉛直投げ下ろしの問題では、「落下時間を求める」「着地速度を求める」「落下距離を求める」の3パターンが中心です。
高さ $45\,\text{m}$ のビルの屋上から、ボールを初速度 $5.0\,\text{m/s}$ で鉛直下向きに投げた。 重力加速度を $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。地面に着くときの速度を求めよ。
解法：時間 $t$ を求める必要がないので、第3式を使います。
$$v^2 = v_0^2 + 2gy = 5.0^2 + 2 \times 9.8 \times 45 = 25 + 882 = 907$$
$$v = \sqrt{907} \fallingdotseq 30\,\text{m/s}$$
着地速度は約 $30\,\text{m/s}$ です。初速度 $5.0\,\text{m/s}$ で投げたにもかかわらず、45 m も落下すると速度は約6倍になります。 重力加速度による加速の効果が大きいことがわかります。
同じ条件で、地面に着くまでの時間を求めましょう。第2式を使います。
$$y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2$$
$$45 = 5.0t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$$
$$4.9t^2 + 5.0t - 45 = 0$$
二次方程式の解の公式より、
$$t = \frac{-5.0 + \sqrt{25 + 4 \times 4.9 \times 45}}{2 \times 4.9} = \frac{-5.0 + \sqrt{907}}{9.8} \fallingdotseq \frac{-5.0 + 30.1}{9.8} \fallingdotseq 2.6\,\text{s}$$
（$t > 0$ の解のみ採用。）もし自由落下（$v_0 = 0$）なら $t = \sqrt{\dfrac{2 \times 45}{9.8}} \fallingdotseq 3.0\,\text{s}$ なので、初速度があることで約 $0.4\,\text{s}$ 早く着地しています。
落下時間を求めるもう一つの方法があります。 まず第3式で着地速度 $v$ を求め、次に第1式を使って $t = \dfrac{v - v_0}{g}$ で時間を求める方法です。
上の例では、$v \fallingdotseq 30.1\,\text{m/s}$ なので、$t = \dfrac{30.1 - 5.0}{9.8} \fallingdotseq 2.6\,\text{s}$。 二次方程式を解かなくてよいので、こちらのほうが楽な場合があります。
鉛直投げ下ろしは、落体の運動シリーズの最後のピースです。 自由落下・鉛直投げ上げ・鉛直投げ下ろしの3つをまとめて理解することで、落体の運動の全体像が完成します。
Q1. 鉛直投げ下ろしと自由落下の違いは何ですか。1つだけ挙げてください。
Q2. 下向きを正にとったとき、鉛直投げ下ろしの速度の式を書いてください。
Q3. 高さ $20\,\text{m}$ の位置から物体を $4.0\,\text{m/s}$ で鉛直下向きに投げました。地面に着くときの速度を求めてください（$g = 10\,\text{m/s}^2$）。
Q4. 自由落下・鉛直投げ上げ・鉛直投げ下ろしの3つの運動に共通する物理量は何ですか。
Q5. 着地速度を求めるとき、$v = v_0 + \sqrt{2gh}$ が誤りである理由を説明してください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
ビルの屋上から、小球を初速度 $2.0\,\text{m/s}$ で鉛直下向きに投げた。重力加速度を $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とし、下向きを正とする。次の問いに答えよ。
(1) 投げてから $3.0\,\text{s}$ 後の小球の速度を求めよ。
(2) 投げてから $3.0\,\text{s}$ 間に小球が落下した距離を求めよ。
(1) $31\,\text{m/s}$
(2) $50\,\text{m}$
方針：下向き正で $v_0 = 2.0\,\text{m/s}$、$g = 9.8\,\text{m/s}^2$、$t = 3.0\,\text{s}$ を公式に代入する。
(1) 第1式：$v = v_0 + gt = 2.0 + 9.8 \times 3.0 = 2.0 + 29.4 = 31.4 \fallingdotseq 31\,\text{m/s}$
(2) 第2式：$y = v_0 t + \dfrac{1}{2}gt^2 = 2.0 \times 3.0 + \dfrac{1}{2} \times 9.8 \times 3.0^2 = 6.0 + 44.1 = 50.1 \fallingdotseq 50\,\text{m}$
高さ $h = 80\,\text{m}$ のビルの屋上から、小球Aを自由落下させ、同時に小球Bを初速度 $v_0 = 10\,\text{m/s}$ で鉛直下向きに投げた。重力加速度を $g = 10\,\text{m/s}^2$ とする。次の問いに答えよ。
(1) 小球Aが地面に着くまでの時間 $t_A$ を求めよ。
(2) 小球Bが地面に着くまでの時間 $t_B$ を求めよ。
(3) 小球Aと小球Bの着地速度をそれぞれ求め、その大小を比較せよ。
(1) $t_A = 4.0\,\text{s}$
(2) $t_B = 3.0\,\text{s}$
(3) 小球A：$40\,\text{m/s}$、小球B：$10\sqrt{17} \fallingdotseq 41\,\text{m/s}$。小球Bのほうが大きい。
方針：下向き正で統一する。小球Aは $v_0 = 0$（自由落下）、小球Bは $v_0 = 10\,\text{m/s}$。
(1) 小球A（自由落下）：$h = \dfrac{1}{2}gt_A^2$ より $t_A = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 80}{10}} = \sqrt{16} = 4.0\,\text{s}$
(2) 小球B（投げ下ろし）：$h = v_0 t_B + \dfrac{1}{2}gt_B^2$ より $80 = 10t_B + 5t_B^2$
$5t_B^2 + 10t_B - 80 = 0$ → $t_B^2 + 2t_B - 16 = 0$
解の公式：$t_B = \dfrac{-2 + \sqrt{4 + 64}}{2} = \dfrac{-2 + \sqrt{68}}{2} = \dfrac{-2 + 2\sqrt{17}}{2} = -1 + \sqrt{17} \fallingdotseq 3.12 \fallingdotseq 3.0\,\text{s}$
（有効数字2桁で $t_B \fallingdotseq 3.1\,\text{s}$。ここでは概数 $3.0\,\text{s}$ としました。）
(3) 小球A：$v_A = gt_A = 10 \times 4.0 = 40\,\text{m/s}$
小球B：$v_B^2 = v_0^2 + 2gh = 100 + 2 \times 10 \times 80 = 1700$ → $v_B = \sqrt{1700} = 10\sqrt{17} \fallingdotseq 41\,\text{m/s}$
$v_B > v_A$ なので、投げ下ろした小球Bのほうが着地速度が大きい。
高さ $h = 60\,\text{m}$ のビルの屋上から、小球Pを初速度 $v_0 = 5.0\,\text{m/s}$ で鉛直下向きに投げた。それと同時に、地面から小球Qを初速度 $V_0 = 25\,\text{m/s}$ で鉛直上向きに投げ上げた。重力加速度を $g = 10\,\text{m/s}^2$ とする。下向きを正として、次の問いに答えよ。
(1) 小球Pと小球Qがすれ違う時刻 $t$ を求めよ。
(2) すれ違う地点の高さ（地面からの高さ）を求めよ。
(3) すれ違う瞬間の小球Pと小球Qの速度をそれぞれ求めよ。
(1) $t = 2.0\,\text{s}$
(2) 地面から $30\,\text{m}$
(3) 小球P：$25\,\text{m/s}$（下向き）、小球Q：$5.0\,\text{m/s}$（上向き）
方針：下向き正で、ビルの屋上を原点とする。小球Pは原点から下向きに出発し、小球Qは $y = 60\,\text{m}$（地面）の位置から上向きに出発する。
小球Pの位置（原点＝屋上、下向き正）：
$$y_P = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 = 5.0t + 5.0t^2$$
小球Qの位置（地面 $y = 60$ から上向き＝負の方向に出発）：
$$y_Q = 60 + (-V_0)t + \frac{1}{2}gt^2 = 60 - 25t + 5.0t^2$$
（下向き正なので、上向きの初速度は $-V_0 = -25\,\text{m/s}$）
(1) すれ違い条件：$y_P = y_Q$
$5.0t + 5.0t^2 = 60 - 25t + 5.0t^2$
$5.0t^2$ が両辺で消えて、$5.0t = 60 - 25t$ → $30t = 60$ → $t = 2.0\,\text{s}$
(2) $y_P = 5.0 \times 2.0 + 5.0 \times 2.0^2 = 10 + 20 = 30\,\text{m}$（屋上から下向きに $30\,\text{m}$）
地面からの高さ $= 60 - 30 = 30\,\text{m}$
(3) 小球P：$v_P = v_0 + gt = 5.0 + 10 \times 2.0 = 25\,\text{m/s}$（正＝下向き）
小球Q：$v_Q = -V_0 + gt = -25 + 10 \times 2.0 = -5.0\,\text{m/s}$（負＝上向き）
小球Qはまだ上向きに $5.0\,\text{m/s}$ で上昇中です。