夜空を見上げると、惑星は星座のあいだを不規則に動いているように見えます。
しかしケプラーは、膨大な観測データから美しい3つの法則を見出しました。
その法則をニュートンが万有引力で説明した瞬間、天の力学が完成したのです。
古代から「惑星は完全な円の上を動く」と信じられてきました。 しかしケプラーは、師であるティコ・ブラーエの精密な火星の観測データを分析し、驚くべき結論にたどり着きます。
惑星は、太陽を一つの焦点とする楕円軌道上を運動する。
楕円には2つの焦点があり、太陽はそのうちの一つに位置します。 惑星が太陽に最も近い点を近日点、最も遠い点を遠日点といいます。
なお、円は楕円の特別な場合（2つの焦点が一致したもの）です。 実際の惑星の軌道は円に近い楕円が多く、地球の軌道の離心率は約0.017と非常に小さい値です。
✕ 誤：太陽は楕円の中心にある
○ 正：太陽は楕円の焦点にある。中心と焦点は異なる点です。
惑星は楕円軌道上を一定の速さでは動きません。 太陽に近いときは速く、遠いときは遅くなります。 しかし、ここに美しい法則が隠れています。
惑星と太陽を結ぶ線分が、単位時間に掃く面積（面積速度）は一定である。
たとえるなら、フィギュアスケート選手のスピンに似ています。 腕を縮めると速く回り、広げると遅く回ります。 惑星も太陽に近づくと速くなり、遠ざかると遅くなるのです。
面積速度が一定であることは、物理的には角運動量が保存していることを意味します。
万有引力は常に太陽と惑星を結ぶ直線上に働く（中心力）ため、太陽まわりのトルクは $0$ です。 トルクが $0$ なら角運動量は保存されます。
✕ 誤：惑星は軌道上を一定の速さで動く
○ 正：一定なのは面積速度であり、速さは変化します。近日点で最速、遠日点で最遅です。
ケプラーの3つの法則の中で、入試で最も頻繁に使うのがこの第3法則です。 惑星の公転周期と軌道の大きさの関係を定量的に示します。
$$T^2 = k a^3$$
あるいは同値な形で、
$$\frac{T^2}{a^3} = \text{一定}$$
太陽系のすべての惑星について $\dfrac{T^2}{a^3}$ を計算すると、同じ値になります。 これこそがケプラーがデータから発見した「宇宙の調和」です。
ケプラーの第3法則は太陽のまわりの惑星だけでなく、同じ中心天体のまわりを回るすべての天体に成り立ちます。
たとえば、地球のまわりを回る月と人工衛星にも、$\dfrac{T^2}{r^3}$ が共通の値になるという関係が成り立ちます。 ただし、その定数の値は太陽系の惑星とは異なります（中心天体の質量が異なるため）。
✕ 誤：地球の月と木星のガニメデに同じ $\dfrac{T^2}{r^3}$ の値を使う
○ 正：$\dfrac{T^2}{r^3}$ の値は中心天体ごとに異なります。 地球の衛星どうし、または太陽の惑星どうしでのみ比較できます。
ケプラーの法則は観測から導かれた経験則ですが、ニュートンの万有引力で理論的に説明できます。 ここでは円軌道の場合について、第3法則を導出します。
質量 $M$ の太陽のまわりを質量 $m$ の惑星が半径 $r$ の円軌道で等速円運動するとします。
万有引力が向心力を提供するので、
$$G\frac{Mm}{r^2} = m r \omega^2 = m r \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2$$
$m$ を消去し、$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ を代入すると、
$$G\frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$$
$T^2$ について解くと、
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$$
$\dfrac{4\pi^2}{GM}$ は定数なので、$T^2 \propto r^3$ が示されました。
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$$
$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM} r^3$ の比例定数には中心天体の質量 $M$ が含まれています。
衛星の公転周期 $T$ と軌道半径 $r$ を観測すれば、$M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$ で中心天体の質量を求められます。 これが太陽や木星の質量を「量る」方法です。
楕円軌道でもケプラーの第3法則は成り立ちます。 その場合、$r$ の代わりに楕円の半長軸 $a$ を使います。
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} a^3$$
この証明には微積分が必要なため高校では扱いませんが、円軌道の場合の導出を理解していれば十分です。 入試問題の多くは円軌道を前提としています。
導出過程で $m$ は消去されました。比例定数 $\dfrac{4\pi^2}{GM}$ は中心天体の質量 $M$ のみで決まります。
✕ 誤：重い惑星ほど公転周期が長い
○ 正：公転周期は惑星の質量には依存しません。軌道半径だけで決まります。
ケプラーの法則は惑星運動を記述する道具です。 万有引力と組み合わせることで、宇宙速度や人工衛星の問題が解けるようになります。
Q1. ケプラーの3法則をそれぞれ簡潔に述べてください。
Q2. ケプラーの第3法則 $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}r^3$ の $M$ は何の質量ですか。
Q3. 惑星Aの軌道半径が惑星Bの2倍のとき、Aの公転周期はBの何倍ですか。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
地球の公転周期は1年、軌道半径は $1.50 \times 10^{11}\,\text{m}$ である。火星の軌道半径が $2.28 \times 10^{11}\,\text{m}$ のとき、火星の公転周期を年単位で求めよ。
約 $1.88$ 年
ケプラーの第3法則より $\dfrac{T_{\text{火}}^2}{T_{\text{地}}^2} = \dfrac{r_{\text{火}}^3}{r_{\text{地}}^3}$
$T_{\text{火}}^2 = 1^2 \times \left(\dfrac{2.28}{1.50}\right)^3 = (1.52)^3 = 3.51$
$T_{\text{火}} = \sqrt{3.51} \approx 1.88$ 年
ある衛星が中心天体のまわりを半径 $r$ の円軌道で周期 $T$ で公転している。万有引力定数を $G$ として、中心天体の質量 $M$ を $r$、$T$、$G$ を用いて表せ。
$M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$
$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}r^3$ を $M$ について解くと、
$M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$
地球の半径を $R = 6.4 \times 10^3\,\text{km}$、地表の重力加速度を $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。地球の自転周期と同じ周期で公転する静止衛星の、地表からの高度 $h$ を求めよ。
$h \approx 3.6 \times 10^4\,\text{km}$
方針：$GM = gR^2$ を利用してケプラーの第3法則から軌道半径 $r$ を求め、$h = r - R$ とする。
$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}r^3 = \dfrac{4\pi^2}{gR^2}r^3$
$r^3 = \dfrac{gR^2 T^2}{4\pi^2}$
$T = 24 \times 3600 = 86400\,\text{s}$、$R = 6.4 \times 10^6\,\text{m}$
$r^3 = \dfrac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2 \times (86400)^2}{4\pi^2}$
$= \dfrac{9.8 \times 4.10 \times 10^{13} \times 7.46 \times 10^{9}}{39.5}$
$\approx 7.57 \times 10^{22}$
$r = (7.57 \times 10^{22})^{1/3} \approx 4.23 \times 10^7\,\text{m} = 4.23 \times 10^4\,\text{km}$
$h = r - R = 4.23 \times 10^4 - 6.4 \times 10^3 \approx 3.6 \times 10^4\,\text{km}$