物体を水平に投げると放物線を描いて地面に落ちます。もっと速く投げたら？
十分に速く投げれば、地面は曲がっているので物体は「落ち続けながら地球を一周」します。
この臨界の速さが第一宇宙速度 $v_1 = \sqrt{gR} \approx 7.9\,\text{km/s}$ です。
地表すれすれを円軌道で周回するために必要な速さを第一宇宙速度（first cosmic velocity）といいます。
ニュートンの「大砲の思考実験」で考えてみましょう。高い山の頂上から水平に大砲を撃つと、弱く撃てば近くに落ち、強く撃てば遠くに落ちます。 さらに速くすると、地球の丸みの効果で、物体が「落ちる」速さと地面が「逃げる」速さが釣り合い、物体は地球を周回し始めます。
人工衛星は常に地球に向かって「落下」しています。しかし、十分な水平速度があるため、落下する間に地球の表面が同じだけ曲がり、結果として高度が変わりません。
第一宇宙速度とは、落下と地球の曲率がちょうど釣り合う速度です。
地球の半径を $R$、地表の重力加速度を $g$、質量 $m$ の物体が地表すれすれで等速円運動するとします。
地表すれすれなので、軌道半径は $R$ です。万有引力が向心力を提供するので、
$$\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv_1^2}{R}$$
地表で $\dfrac{GM}{R^2} = g$ なので $GM = gR^2$ を代入すると、
$$v_1 = \sqrt{gR}$$
地表すれすれでは、万有引力の大きさは重力 $mg$ にほぼ等しいので、
$$mg = \frac{mv_1^2}{R}$$
$$v_1 = \sqrt{gR}$$
どちらの方法でも同じ結果が得られます。
地表における万有引力と重力は等しいので、
$$\frac{GMm}{R^2} = mg$$
両辺を $m$ で割ると $\dfrac{GM}{R^2} = g$、すなわち $GM = gR^2$。
これは非常によく使う関係式です。$G$ と $M$ を個別に知らなくても、$g$ と $R$ から計算できます。
第一宇宙速度の公式で $R$ は地球の中心からの距離（＝地球の半径）です。
✕ 誤：$R$ を地表からの高さとする
○ 正：$R$ は地球の半径 $\approx 6.4 \times 10^6\,\text{m}$
高度 $h$ の軌道を周回する場合は $v = \sqrt{\dfrac{gR^2}{R+h}}$ となり、$v_1$ より小さくなります。
$g = 9.8\,\text{m/s}^2$、$R = 6.4 \times 10^6\,\text{m}$ を代入すると、
$$v_1 = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{6.27 \times 10^7} \approx 7.9 \times 10^3\,\text{m/s} = 7.9\,\text{km/s}$$
これは時速約 28,000 km、音速（約 340 m/s）の約 23 倍に相当します。
地表すれすれの周回の周期（1周にかかる時間）は、
$$T = \frac{2\pi R}{v_1} = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{6.4 \times 10^6}{9.8}} \approx 5.1 \times 10^3\,\text{s} \approx 84\,\text{min}$$
地球を約 84 分で一周します。実際の低軌道衛星（高度 200 km 程度）の周期は約 90 分で、これに近い値です。
$v_1 = \sqrt{gR}$ は任意の天体で使えます。月の場合、$g_{\text{月}} \approx 1.6\,\text{m/s}^2$、$R_{\text{月}} \approx 1.7 \times 10^6\,\text{m}$ なので、
$v_1 = \sqrt{1.6 \times 1.7 \times 10^6} \approx 1.7\,\text{km/s}$
月面での第一宇宙速度は地球の約 1/5 です。
高度 $h$（地表からの高さ）の円軌道を周回する衛星の速度は、軌道半径が $R + h$ なので、
$$\frac{GMm}{(R+h)^2} = \frac{mv^2}{R+h}$$
$$v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}} = \sqrt{\frac{gR^2}{R+h}}$$
$$v = \sqrt{\frac{gR^2}{R+h}} = v_1\sqrt{\frac{R}{R+h}}$$
直感に反するかもしれませんが、高い軌道の衛星ほどゆっくり周回します。
万有引力が弱くなるため、つりあうための向心加速度（$v^2/r$）も小さくてよいからです。
この性質は、宇宙ステーション（$v \approx 7.7\,\text{km/s}$）と静止衛星（$v \approx 3.1\,\text{km/s}$）の速度差に表れています。
打ち上げ速度を大きくすると衛星は高い軌道に移りますが、高い軌道での周回速度は遅くなります。
✕ 誤：高い軌道の衛星はもっと速い
○ 正：高い軌道の衛星はゆっくり周回する（$v \propto 1/\sqrt{R+h}$）
第一宇宙速度は万有引力と円運動を結びつける最も基本的な概念であり、人工衛星の物理の出発点です。
Q1. 第一宇宙速度の公式を書いてください。
Q2. 第一宇宙速度の数値はおよそいくらですか。
Q3. 衛星の軌道が高くなると、周回速度はどうなりますか。
Q4. $GM = gR^2$ が成り立つ理由を説明してください。
第一宇宙速度を入試形式で確認しましょう。
地球の半径を $R = 6.4 \times 10^6\,\text{m}$、重力加速度を $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。
(1) 第一宇宙速度を求めよ。
(2) 地表すれすれを周回する場合の周期を求めよ。
(1) $v_1 \approx 7.9 \times 10^3\,\text{m/s}$
(2) $T \approx 5.1 \times 10^3\,\text{s} \approx 84\,\text{min}$
(1) $v_1 = \sqrt{gR} = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} \approx 7.9 \times 10^3\,\text{m/s}$
(2) $T = 2\pi R/v_1 = 2\pi \times 6.4 \times 10^6 / (7.9 \times 10^3) \approx 5.1 \times 10^3\,\text{s}$
地表すれすれの円軌道について、万有引力＝向心力の式から第一宇宙速度の公式 $v_1 = \sqrt{gR}$ を導け。
$\dfrac{GMm}{R^2} = \dfrac{mv_1^2}{R}$ より $v_1^2 = \dfrac{GM}{R} = gR$。よって $v_1 = \sqrt{gR}$。
地表すれすれなので軌道半径＝地球の半径 $R$。万有引力が向心力を提供する。$GM = gR^2$ を使うと $v_1 = \sqrt{gR}$ が得られる。
高度 $h = 3.6 \times 10^5\,\text{m}$（360 km）を周回する宇宙ステーションの速さと周期を求めよ。$R = 6.4 \times 10^6\,\text{m}$、$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。
$v \approx 7.7\,\text{km/s}$、$T \approx 5.5 \times 10^3\,\text{s} \approx 92\,\text{min}$
$r = R + h = 6.4 \times 10^6 + 3.6 \times 10^5 = 6.76 \times 10^6\,\text{m}$
$v = \sqrt{\dfrac{gR^2}{r}} = \sqrt{\dfrac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}{6.76 \times 10^6}} \approx 7.7 \times 10^3\,\text{m/s}$
$T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \times 6.76 \times 10^6}{7.7 \times 10^3} \approx 5.5 \times 10^3\,\text{s} \approx 92\,\text{min}$
月の半径は $R_{\text{月}} = 1.7 \times 10^6\,\text{m}$、月面の重力加速度は $g_{\text{月}} = 1.6\,\text{m/s}^2$ である。月面での第一宇宙速度を求め、地球の場合と比較せよ。
$v_1 \approx 1.7\,\text{km/s}$、地球の約 $0.21$ 倍。
$v_1 = \sqrt{g_{\text{月}} R_{\text{月}}} = \sqrt{1.6 \times 1.7 \times 10^6} = \sqrt{2.72 \times 10^6} \approx 1.65 \times 10^3\,\text{m/s} \approx 1.7\,\text{km/s}$
地球との比：$1.7/7.9 \approx 0.21$。月の第一宇宙速度は地球の約 1/5。
半径 $R$、平均密度 $\bar{\rho}$ の一様な球形天体がある。この天体表面すれすれの円軌道を周回する物体の速さ $v_1$ と周期 $T$ を $R$、$\bar{\rho}$、万有引力定数 $G$ を用いて表せ。また、$T$ が天体の半径 $R$ によらないことを示せ。
$v_1 = R\sqrt{\dfrac{4\pi G\bar{\rho}}{3}}$、$T = \sqrt{\dfrac{3\pi}{G\bar{\rho}}}$
天体の質量 $M = \bar{\rho} \cdot \dfrac{4}{3}\pi R^3$
$\dfrac{GMm}{R^2} = \dfrac{mv_1^2}{R}$ より $v_1 = \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$
$= \sqrt{\dfrac{G \cdot \frac{4}{3}\pi\bar{\rho}R^3}{R}} = \sqrt{\dfrac{4\pi G\bar{\rho}R^2}{3}} = R\sqrt{\dfrac{4\pi G\bar{\rho}}{3}}$
$T = \dfrac{2\pi R}{v_1} = \dfrac{2\pi R}{R\sqrt{\frac{4\pi G\bar{\rho}}{3}}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{3}{4\pi G\bar{\rho}}} = \sqrt{\dfrac{3\pi}{G\bar{\rho}}}$
$T$ の式に $R$ が含まれないため、同じ密度の天体なら大きさによらず周期は同じ。