ISS（国際宇宙ステーション）は約90分で地球を一周し、気象衛星ひまわりは赤道上空でずっと同じ位置に留まっています。
軌道の高さが変わると周期も速さも変わります。ケプラーの第三法則 $T^2 \propto r^3$ が、その関係を美しく記述します。
質量 $m$ の衛星が、地球の中心から距離 $r$ の円軌道上を速さ $v$ で等速円運動しているとき、万有引力が向心力を提供します。
$$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$$
$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{gR^2}{r}}$$
$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \quad T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} = 2\pi r\sqrt{\frac{r}{gR^2}}$$
円軌道では、軌道半径 $r$ を指定すれば、速さ $v$、周期 $T$、角速度 $\omega$ がすべて一意に決まります。
「高い軌道 → 遅い速さ → 長い周期」というセットで覚えましょう。
$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$ の両辺を2乗すると、
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3$$
軌道半径 $r_1$、$r_2$ の2つの衛星について、
$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$$
一方の衛星の $r$ と $T$ が分かっていれば、他方の衛星の $r$ または $T$ を求められます。
ケプラーの第三法則の $r$ は地球の中心からの距離です。
✕ 誤：高度 $h$ をそのまま $r$ に代入する
○ 正：$r = R + h$（地球の半径＋高度）を代入する
赤道上空で、地球の自転と同じ角速度（周期 $T = 24\,\text{h} = 86400\,\text{s}$）で周回する衛星を静止衛星（geostationary satellite）といいます。 地上から見ると空の一点に静止しているように見えるため、通信衛星や気象衛星に利用されます。
$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\,r^3$ を $r$ について解くと、
$$r = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{gR^2T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$$
$g = 9.8\,\text{m/s}^2$、$R = 6.4 \times 10^6\,\text{m}$、$T = 86400\,\text{s}$ を代入すると、
$$r \approx 4.2 \times 10^7\,\text{m} = 42000\,\text{km}$$
地表からの高度は $h = r - R \approx 36000\,\text{km}$ です。
高度 $h \approx 36000\,\text{km}$（地球の半径の約 5.6 倍）
軌道半径 $r \approx 42000\,\text{km}$（地球の半径の約 6.6 倍）
$v = 2\pi r / T = 2\pi \times 4.2 \times 10^7 / 86400 \approx 3.1\,\text{km/s}$
第一宇宙速度 $7.9\,\text{km/s}$ より大幅に遅いです。高い軌道ほど遅いという法則の通りです。
衛星の速度が円軌道の速度と異なると、軌道は楕円になります。ケプラーの3法則で記述されます。
惑星（衛星）は、太陽（地球）を焦点の1つとする楕円軌道上を運動する。
惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定。近地点では速く、遠地点では遅い。
楕円軌道の場合、$r$ を楕円の半長軸 $a$ に置き換えると、$T^2 \propto a^3$ が成り立つ。
楕円軌道では速さが変化しますが、力学的エネルギーは保存されます。
近地点（地球に最も近い点）では速さが最大、遠地点（最も遠い点）では速さが最小になります。
$$\frac{1}{2}mv_{\text{近}}^2 - \frac{GMm}{r_{\text{近}}} = \frac{1}{2}mv_{\text{遠}}^2 - \frac{GMm}{r_{\text{遠}}}$$
衛星内の宇宙飛行士が「無重力」に見えるのは、重力がないからではありません。
✕ 誤：宇宙には重力がないので無重力
○ 正：衛星も宇宙飛行士も同じ加速度で「自由落下」しているため、相対的に力を感じない（無重量状態）
ISS の高度（約 400 km）での重力は地表の約 89% もあります。
人工衛星の軌道は、万有引力の法則と円運動・ケプラーの法則を結びつける総合テーマです。
Q1. ケプラーの第三法則を式で書いてください。
Q2. 静止衛星の高度はおよそいくらですか。
Q3. 軌道半径が2倍になると、周期は何倍になりますか。
Q4. 衛星内の宇宙飛行士が「無重力」に見える理由を説明してください。
人工衛星の軌道を入試形式で確認しましょう。
地球の半径を $R = 6.4 \times 10^6\,\text{m}$、地表すれすれの衛星の周期を $T_0 = 84\,\text{min}$ とする。軌道半径が $4R$ の衛星の周期を求めよ。
$T = 8T_0 = 672\,\text{min} \approx 11.2\,\text{h}$
$\dfrac{T^2}{T_0^2} = \left(\dfrac{4R}{R}\right)^3 = 64$ より $T = 8T_0 = 8 \times 84 = 672\,\text{min}$
静止衛星の軌道半径を求めよ。地表すれすれの衛星の周期を $T_0 = 84\,\text{min}$、地球の半径を $R$ とする。
$r \approx 6.6R$
静止衛星の周期 $T = 24\,\text{h} = 1440\,\text{min}$
$\left(\dfrac{r}{R}\right)^3 = \left(\dfrac{T}{T_0}\right)^2 = \left(\dfrac{1440}{84}\right)^2 = 17.14^2 \approx 294$
$\dfrac{r}{R} = 294^{1/3} \approx 6.6$
$r \approx 6.6R \approx 6.6 \times 6400 \approx 42000\,\text{km}$
静止衛星の軌道（$r = 6.6R$）での重力加速度は、地表の何倍か求めよ。
地表の約 $0.023$ 倍（約 $1/44$）
$g(r) = \dfrac{GM}{r^2} = g\left(\dfrac{R}{r}\right)^2 = g\left(\dfrac{1}{6.6}\right)^2 = \dfrac{g}{43.6} \approx 0.023g$
静止衛星の位置でも地表の約 2.3% の重力が残っています。「無重力」ではありません。
地球の中心からの距離が近地点 $r_1 = 2R$、遠地点 $r_2 = 6R$ の楕円軌道を周回する衛星がある。近地点での速さ $v_1$ を求めよ。$R$、$g$ を用いて答えよ。
$v_1 = \sqrt{\dfrac{3gR}{2}}$
楕円軌道では近地点と遠地点で、エネルギー保存と角運動量保存が使えます。
角運動量保存：$mv_1 r_1 = mv_2 r_2$ → $v_2 = v_1 \dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{v_1}{3}$
エネルギー保存：$\dfrac{1}{2}v_1^2 - \dfrac{GM}{r_1} = \dfrac{1}{2}v_2^2 - \dfrac{GM}{r_2}$
$\dfrac{1}{2}v_1^2 - \dfrac{gR^2}{2R} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{v_1^2}{9} - \dfrac{gR^2}{6R}$
$\dfrac{1}{2}v_1^2 - \dfrac{gR}{2} = \dfrac{v_1^2}{18} - \dfrac{gR}{6}$
$v_1^2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{18}\right) = gR\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{gR}{3}$
$v_1^2 \cdot \dfrac{8}{18} = \dfrac{gR}{3}$ → $v_1^2 = \dfrac{gR}{3} \cdot \dfrac{18}{8} = \dfrac{3gR}{4} \cdot 2 = \dfrac{3gR}{2}$
$v_1 = \sqrt{\dfrac{3gR}{2}}$
月は地球のまわりを周期 $T = 27.3$ 日、軌道半径 $r = 3.84 \times 10^8\,\text{m}$ で公転している。万有引力定数 $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ を用いて、地球の質量 $M$ を求めよ。
$M \approx 6.0 \times 10^{24}\,\text{kg}$
$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\,r^3$ より $M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$
$T = 27.3 \times 24 \times 3600 = 2.36 \times 10^6\,\text{s}$
$M = \dfrac{4\pi^2 \times (3.84 \times 10^8)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (2.36 \times 10^6)^2}$
$= \dfrac{4\pi^2 \times 5.66 \times 10^{25}}{6.67 \times 10^{-11} \times 5.57 \times 10^{12}}$
$= \dfrac{2.24 \times 10^{27}}{3.71 \times 10^{2}} \approx 6.0 \times 10^{24}\,\text{kg}$