なぜリンゴは落ちるのに、月は落ちてこないのか。
ニュートンはたった3つの法則で、地上の運動も天体の運動も統一的に説明しました。
この3法則は力学のすべての議論の出発点です。ここをしっかり押さえれば、あらゆる力学の問題に自信をもって取り組めます。
電車が急ブレーキをかけると、体が前につんのめります。 これは、あなたの体が「それまでの速度を保とうとする」からです。 この性質を慣性といいます。
ニュートンの第1法則（慣性の法則）は、次のように述べます。
物体に力がはたらいていないか、はたらいている力の合力が $0$ のとき、 静止している物体は静止し続け、運動している物体は等速直線運動を続ける。
慣性は日常のあらゆる場面で体験できます。
第1法則は単なる「力がなければ動き続ける」という事実だけを述べているのではありません。 「力がはたらいていないときに等速直線運動をする座標系（慣性系）が存在する」と宣言しているのです。
加速している電車の中では、何も力がはたらいていないのに物体が勝手に動き出すように見えます。 これは電車内が慣性系ではないからです。 第1法則は、力学の法則が正しくはたらく「舞台」を定める役割をもっています。
× 誤：力がはたらいていなければ物体は止まっている
○ 正：力がはたらいていなければ、静止または等速直線運動を続ける
「静止」は等速直線運動の速度が $0$ の特別な場合です。 力が $0$ のとき、物体の速度は変化しません。 止まっていれば止まったまま、動いていればそのまま動き続けます。
重い物体ほど、速度を変えるのが難しいと感じます。 ボウリングの球を転がすのと、テニスボールを転がすのでは、かかる労力が全然違います。 この「速度の変わりにくさ」を表す量が質量です。
質量が大きいほど慣性が大きく、力を加えても加速度が小さくなります。 この関係は、第2法則で定量的に表されます。
第1法則は「力がはたらかなければ速度は変わらない」と述べました。 では、力がはたらくとどうなるのか。 それを定量的に記述するのが第2法則（運動の法則）です。
質量 $m$ の物体に合力 $F$ がはたらくとき、加速度 $a$ は次の関係を満たします。
$$F = ma$$
この式は力学で最も重要な式です。 意味を一言でいえば、「力は加速度を生む」ということです。
$F = ma$ は短い式ですが、実に多くの情報を含んでいます。
運動方程式の左辺 $F$ は、物体にはたらくすべての力の合力（ベクトル和）です。 個々の力ではありません。
たとえば、机の上に置かれた本には重力と垂直抗力がはたらいていますが、 合力は $0$ なので加速度も $0$、つまり静止しています。 運動方程式を立てるときは、必ず最初に力をすべて書き出し、合力を求めてから代入しましょう。
「力とは $ma$ のことである」と考えてしまう人がいますが、これは正確ではありません。
× 誤：力は質量と加速度の積として定義される
○ 正：力は物体の運動状態を変える原因であり、 その効果が $F = ma$ という関係で記述される
力は「押す」「引く」という物理的な作用（原因）であり、 加速度は「速度が変化する」という結果です。 $F = ma$ は原因と結果をつなぐ法則です。
力の単位 $\text{N}$（ニュートン）は、運動方程式から定義されます。 $1\,\text{kg}$ の物体に $1\,\text{m/s}^2$ の加速度を生じさせる力が $1\,\text{N}$ です。
日常的な感覚でいえば、質量 $100\,\text{g}$ のリンゴ1個にはたらく重力が約 $1\,\text{N}$ です。 これを覚えておくと、力の大きさのスケール感がつかみやすくなります。
日常会話では「重さ $60\,\text{kg}$」と言いますが、物理ではこれは不正確です。
× 誤：体重 $60\,\text{kg}$ の人にはたらく重力は $60\,\text{kg}$
○ 正：質量 $60\,\text{kg}$ の人にはたらく重力は $60 \times 9.8 = 588\,\text{N}$（約 $590\,\text{N}$）
質量 [$\text{kg}$] は物体の慣性の大きさを表す量、 重さ（重力）[$\text{N}$] は地球が物体を引く力です。 月面では重力が地球の約 $1/6$ になりますが、質量は変わりません。
正確には、運動方程式はベクトルの式です。
$$\vec{F} = m\vec{a}$$
この式は、$x$ 成分・$y$ 成分・$z$ 成分それぞれについて独立に成り立ちます。 つまり、$F_x = ma_x$、$F_y = ma_y$、$F_z = ma_z$ という3つの方程式に分解できます。 2次元・3次元の運動では、各方向に運動方程式を立てることが基本戦略になります。
壁を手で押すと、手にも壁から力が返ってきます。 ボートから岸に飛び移ろうとすると、ボートは反対側に動き出します。 力は一方的に存在するものではなく、必ず2つの物体の間で対になって現れます。
物体Aが物体Bに力を及ぼすとき、物体Bも物体Aに同じ大きさで逆向きの力を及ぼす。
$$\vec{F}_{A \to B} = -\vec{F}_{B \to A}$$
作用と反作用で最も重要なのは、2つの力は別々の物体にはたらくという点です。
本が机の上で静止しているとき、本にはたらく重力と垂直抗力はつりあいの関係であり、 作用・反作用の関係ではありません。 本にはたらく重力の反作用は「本が地球を引く力」であり、垂直抗力の反作用は「本が机を押す力」です。
作用・反作用のペアを見分けるコツは、「AがBに○○する力」の反作用は「BがAに○○する力」と、 主語と目的語を入れ替えることです。
入試で最も出やすい間違いの一つです。
× 誤：机の上の本について、「重力と垂直抗力は作用・反作用の関係」
○ 正：重力と垂直抗力は「つりあい」の関係（同じ物体にはたらく2力）
判別法：2力が同じ物体にはたらいていれば「つりあい」、別々の物体にはたらいていれば「作用・反作用」です。
× 誤：先に作用があり、それに応じて反作用が生じる
○ 正：作用と反作用は同時に発生する。どちらが「作用」でどちらが「反作用」かは、単なる呼び方の問題
「作用」「反作用」という名前から因果関係を連想しがちですが、 両者に時間的な先後関係はありません。 壁を押した瞬間に壁も押し返しています。
第3法則から、2つの物体の系全体では内力の合計が常に $0$ になることがわかります。 これを時間で積分すると、運動量保存則が導かれます。
$$m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = \text{一定}$$
つまり、作用・反作用の法則は運動量保存則の基礎でもあるのです。 第5章で詳しく扱います。
3つの法則は、それぞれ異なる役割をもっています。 全体像を表にまとめましょう。
| 法則 | 内容 | 役割 |
|---|---|---|
| 第1法則 | 合力 $= 0$ なら等速直線運動 | 力学の舞台（慣性系）を定める |
| 第2法則 | $F = ma$ | 力と運動を定量的につなぐ |
| 第3法則 | 作用 $= -$ 反作用 | 力が必ずペアで現れることを保証 |
3法則は証明できるものではなく、自然がそうなっているという経験的事実です。 すべての力学の問題は、この3法則を出発点として解かれます。
法律にたとえるなら、3法則は「憲法」のようなものです。 個別の法律（公式）はすべて憲法（3法則）に基づいて作られています。 運動方程式を立てるたびに第2法則を使い、力を書き出すたびに第3法則を意識し、 慣性系で考えるたびに第1法則に立ち戻っているのです。
ニュートンの3法則をもとに、力学の問題は次の手順で解きます。
次の記事 M-3-2 では、この手順を具体的な例題を通じて身につけていきます。
ニュートンの3法則は、この章全体の基礎となる出発点です。 ここから先、さまざまな状況で運動方程式を立てていきます。
Q1. ニュートンの第1法則が述べていることを、一文で説明してください。
Q2. 質量 $3.0\,\text{kg}$ の物体に $12\,\text{N}$ の力を加えたとき、生じる加速度を求めてください。
Q3. 机の上に本が静止しています。本にはたらく重力の反作用は何ですか。垂直抗力ですか。
Q4. 「つりあい」と「作用・反作用」の違いを、力がはたらく対象に注目して説明してください。
Q5. $1\,\text{N}$ の力を日常の感覚で表すと、およそどのくらいですか。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
質量 $5.0\,\text{kg}$ の物体が、なめらかな水平面上に置かれている。この物体に水平方向に $15\,\text{N}$ の力を加えた。次の問いに答えよ。
(1) 物体に生じる加速度の大きさを求めよ。
(2) $4.0\,\text{s}$ 後の速度を求めよ。
(1) $3.0\,\text{m/s}^2$
(2) $12\,\text{m/s}$
方針：水平方向に $F = ma$ を適用し、加速度を求める。その後、等加速度運動の公式を使う。
(1) $F = ma$ より $15 = 5.0 \times a$ → $a = 3.0\,\text{m/s}^2$
(2) $v = v_0 + at = 0 + 3.0 \times 4.0 = 12\,\text{m/s}$
水平な机の上に質量 $2.0\,\text{kg}$ の本が置かれている。次の問いに答えよ。ただし、重力加速度の大きさを $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。
(1) 本にはたらく重力の大きさを求めよ。
(2) 本にはたらく垂直抗力の大きさを求めよ。
(3) 本にはたらく重力と垂直抗力の関係は「つりあい」「作用・反作用」のどちらか。理由を含めて答えよ。
(4) 本にはたらく重力の反作用を、「何が何を押す（引く）力」の形で述べよ。
(1) $19.6\,\text{N}$
(2) $19.6\,\text{N}$
(3) つりあい
(4) 本が地球を引く力
(1) $W = mg = 2.0 \times 9.8 = 19.6\,\text{N}$
(2) 本は静止しているので加速度 $a = 0$。鉛直方向の運動方程式より $N - mg = 0$ → $N = 19.6\,\text{N}$
(3) つりあい。理由：重力と垂直抗力はどちらも「本」という同じ物体にはたらいているため。作用・反作用は異なる物体間にはたらく力の関係です。
(4) 重力は「地球が本を引く力」なので、その反作用は「本が地球を引く力」です。主語と目的語を入れ替えたものが反作用です。
氷の上に質量 $60\,\text{kg}$ の人Aと質量 $40\,\text{kg}$ の人Bが向き合って静止している。AがBを水平に $120\,\text{N}$ の力で押した。氷面はなめらかとし、重力加速度は $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。
(1) AがBを押す瞬間、Bに生じる加速度の大きさと向きを求めよ。
(2) 同じ瞬間にAに生じる加速度の大きさと向きを求めよ。
(3) (2)の加速度が生じる理由を、ニュートンの第3法則を用いて説明せよ。
(1) $3.0\,\text{m/s}^2$、Aから離れる向き
(2) $2.0\,\text{m/s}^2$、Bから離れる向き
(3) 下記参照
(1) Bについて $F = ma$ を適用：$120 = 40 \times a_B$ → $a_B = 3.0\,\text{m/s}^2$（Aから離れる向き）
(2) 第3法則により、BはAに $120\,\text{N}$ の反作用の力（AがBを押す力と逆向き）を及ぼす。 Aについて $F = ma$ を適用：$120 = 60 \times a_A$ → $a_A = 2.0\,\text{m/s}^2$（Bから離れる向き）
(3) ニュートンの第3法則（作用・反作用の法則）により、AがBを押す力と同じ大きさで逆向きの力が、BからAにはたらく。この力 $120\,\text{N}$ がAを加速させるため、Aにも加速度が生じる。AはBより質量が大きいため、同じ大きさの力を受けても加速度は小さくなる。