重力が物体を落とすとき、摩擦力が物体を止めるとき、ばねが物体を弾き飛ばすとき。
それぞれの力が「どれだけの仕事をしたか」を計算できるようになると、エネルギーの移り変わりが見えてきます。
力ごとの仕事の特徴をつかむことが、エネルギー保存則への最短ルートです。
ボールを高さ $h$ の地点から落とす場面を考えましょう。 重力 $mg$ は鉛直下向きに一定で、ボールも鉛直下向きに移動します。 力と移動が同じ向き（$\theta = 0°$）なので、重力がする仕事は $W = mgh$ です。
物体が高さ $h$ だけ下降したとき：
$$W_{\text{重力}} = mgh$$
物体が高さ $h$ だけ上昇したとき：
$$W_{\text{重力}} = -mgh$$
物体が斜面に沿って距離 $L$ だけ下降する場合も、重力がする仕事を求めてみましょう。 斜面の傾き角を $\alpha$ とすると、高さの変化は $h = L\sin\alpha$ です。
重力と移動方向のなす角は $(90° - \alpha)$ なので、 $W = mgL\cos(90° - \alpha) = mgL\sin\alpha = mgh$ となります。 結局、重力がする仕事は高さの変化 $h$ だけで決まり、経路には依存しません。
まっすぐ落ちても、斜面を滑り降りても、曲がりくねった坂を転がっても、 重力がする仕事は始点と終点の高さの差だけで決まります。
この性質を「保存力」と呼びます。 重力は代表的な保存力であり、この性質が位置エネルギーを定義する根拠になります。
仕事が経路によらず始点と終点だけで決まる力を保存力と呼びます。 重力とばねの弾性力は保存力です。一方、摩擦力は保存力ではありません。
保存力に対しては位置エネルギーを定義できます。 これが M-4-5 以降で学ぶ「位置エネルギー」の土台になる重要な概念です。
重力がする仕事に必要なのは「鉛直方向の高さの変化 $h$」です。
✕ 誤：斜面の長さ $L = 5\,\text{m}$、$m = 2\,\text{kg}$ → $W = 2 \times 9.8 \times 5 = 98\,\text{J}$
○ 正：高さの変化 $h = L\sin 30° = 2.5\,\text{m}$ → $W = 2 \times 9.8 \times 2.5 = 49\,\text{J}$
床の上を滑る物体に働く動摩擦力は、常に運動の向きと逆向きです。 したがって、動摩擦力がする仕事は常に負になります。 これは、摩擦力が物体の運動エネルギーを熱エネルギーに変換していることを意味します。
$$W_{\text{摩擦}} = -f'd = -\mu' Nd$$
摩擦力は保存力ではありません。 なぜなら、同じ始点と終点を結んでも、回り道をすれば移動距離が長くなり、摩擦力の仕事の大きさも変わるからです。 摩擦力の仕事は経路に依存するのです。
摩擦力の大きさと移動距離を掛けるだけでは不十分です。
✕ 誤：$f' = 10\,\text{N}$、$d = 4\,\text{m}$ → $W = 40\,\text{J}$
○ 正：$W = -f'd = -10 \times 4 = -40\,\text{J}$（摩擦力は移動と逆向き）
「摩擦力がした仕事」と聞かれたら、答えは必ず負の値になります。
重力の仕事は往復すると打ち消し合います（行きで $+mgh$、帰りで $-mgh$）。 しかし摩擦力の仕事は往復しても打ち消し合いません。
✕ 誤：行きで $-40\,\text{J}$、帰りで $+40\,\text{J}$、合計 $0\,\text{J}$
○ 正：行きで $-40\,\text{J}$、帰りでも $-40\,\text{J}$、合計 $-80\,\text{J}$
摩擦力は常に運動と逆向きなので、どちらに動いても仕事は負です。
ばねの力は、伸び（または縮み）に比例して大きくなります（フックの法則：$F = kx$）。 つまり、物体が移動するにつれて力の大きさが変化します。 このような場合、$W = Fd\cos\theta$ をそのまま使うことはできません。
力が一定でない場合の仕事は、$F$-$x$ グラフの面積として求められます。 ばねの弾性力 $F = kx$ のグラフは原点を通る直線なので、面積は三角形です。
ばねを自然長から $x$ だけ伸ばすとき、ばねの力は $F = kx$ です。 手がばねを伸ばすので、手が加える力も $kx$ です。
$F$-$x$ グラフは傾き $k$ の直線で、$0$ から $x$ までの面積は三角形になります。
$$W_{\text{手}} = \frac{1}{2} \times x \times kx = \frac{1}{2}kx^2$$
一方、ばねの弾性力は手の力と逆向きに働くので、弾性力がする仕事は：
$$W_{\text{弾性力}} = -\frac{1}{2}kx^2$$
一般に、ばねが伸び $x_1$ から伸び $x_2$ に変化するとき：
$$W_{\text{弾性力}} = \frac{1}{2}kx_1^2 - \frac{1}{2}kx_2^2$$
自然長を基準とした伸び（縮み）が $x_1$ から $x_2$ に変化するとき：
$$W_{\text{弾性力}} = \frac{1}{2}kx_1^2 - \frac{1}{2}kx_2^2$$
ばねの弾性力がする仕事は $\frac{1}{2}kx_1^2 - \frac{1}{2}kx_2^2$ で、 始めの伸びと終わりの伸びだけで決まります。途中の経路には依存しません。
つまり、弾性力も保存力です。 このことから、弾性力に対しても位置エネルギー（弾性力による位置エネルギー $\frac{1}{2}kx^2$）を定義できます。
ばねの力は位置によって変化するので、「力×距離」を単純に掛けてはいけません。
✕ 誤：$k = 100\,\text{N/m}$、$x = 0.2\,\text{m}$ の伸びの状態から自然長に戻る → $W = kx \times x = 100 \times 0.2 \times 0.2 = 4\,\text{J}$
○ 正：$W = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 0.2^2 = 2\,\text{J}$
力が変化する場合は、平均の力を使うか、$F$-$x$ グラフの面積で求めましょう。
数学の積分を使うと、ばねの弾性力がする仕事を厳密に導けます。
弾性力は $F = -kx$（復元力なので負号がつく）なので、
$$W = \int_{x_1}^{x_2} (-kx)\,dx = \left[-\frac{1}{2}kx^2\right]_{x_1}^{x_2} = \frac{1}{2}kx_1^2 - \frac{1}{2}kx_2^2$$
高校物理では「$F$-$x$ グラフの面積」として同じ結果を得られます。
物体には通常、複数の力が同時に働いています。 各力がする仕事を個別に計算し、合計したものが合力のする仕事です。
$$W_{\text{合計}} = W_1 + W_2 + W_3 + \cdots$$
傾き $30°$、長さ $4\,\text{m}$ の滑らかな斜面を、質量 $3\,\text{kg}$ の物体が滑り降りる場合を考えます。 高さの変化は $h = 4\sin 30° = 2\,\text{m}$ です。
合力を先に求めてからその合力で仕事を計算しても、各力の仕事を個別に求めて合計しても、結果は同じです。
どちらの方法を使うかは問題次第です。 力の向きがすべて同じ直線上なら合力を先に求める方が速く、 力の向きがバラバラなら個別に計算する方がミスしにくいです。
力を「保存力」と「非保存力」に分類すると、エネルギー保存則が見えてきます。
保存力（重力、弾性力）：仕事は始点と終点だけで決まる → 位置エネルギーが定義できる
非保存力（摩擦力、空気抵抗）：仕事は経路に依存する → 位置エネルギーは定義できない
M-4-7 以降で、この分類がエネルギー保存則の導出に直接使われます。
各力がする仕事の計算方法と、保存力・非保存力の区別を学びました。 この知識は、エネルギーの概念を構築する際の土台になります。
Q1. 質量 $2\,\text{kg}$ の物体を $5\,\text{m}$ の高さから落下させた。重力がした仕事はいくらですか（$g = 9.8\,\text{m/s}^2$）。
Q2. 動摩擦力 $12\,\text{N}$ が働く面上で物体を $5\,\text{m}$ 移動させた。摩擦力がした仕事はいくらですか。
Q3. ばね定数 $200\,\text{N/m}$ のばねを自然長から $0.1\,\text{m}$ 伸ばしたとき、弾性力がした仕事はいくらですか。
Q4. 重力がする仕事が「経路によらない」のはなぜですか。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
質量 $4.0\,\text{kg}$ の物体を、高さ $3.0\,\text{m}$ の位置から斜面（傾き $30°$）に沿って滑らかに滑り降ろした。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。
(1) 重力がした仕事を求めよ。
(2) 垂直抗力がした仕事を求めよ。
(1) $W_g = mgh = 4.0 \times 9.8 \times 3.0 = 117.6\,\text{J} \approx 118\,\text{J}$
(2) $W_N = 0\,\text{J}$
(1) 重力の仕事は高さの変化だけで決まる。$h = 3.0\,\text{m}$（下降）なので正の仕事。
(2) 垂直抗力は斜面に垂直、移動は斜面に沿う方向。両者は直角なので仕事はゼロ。
ばね定数 $k = 400\,\text{N/m}$ のばねがある。
(1) 自然長から $0.15\,\text{m}$ 縮めるために外力がする仕事を求めよ。
(2) $0.15\,\text{m}$ 縮んだ状態から自然長に戻るまでに弾性力がする仕事を求めよ。
(1) $W_{\text{外力}} = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 400 \times 0.15^2 = 4.5\,\text{J}$
(2) $W_{\text{弾性}} = \frac{1}{2}kx_1^2 - \frac{1}{2}kx_2^2 = 4.5 - 0 = 4.5\,\text{J}$
(1) 外力はばねの弾性力と逆向きに働く。弾性力のする仕事は $-\frac{1}{2}kx^2$ なので、外力のする仕事はその逆で $+\frac{1}{2}kx^2$。
(2) 縮み $x_1 = 0.15\,\text{m}$ から自然長 $x_2 = 0$ に戻るので、弾性力の仕事は $\frac{1}{2}k(0.15)^2 - 0 = 4.5\,\text{J}$（正の仕事）。
質量 $m = 5.0\,\text{kg}$ の物体が、傾き $\alpha = 30°$、長さ $L = 4.0\,\text{m}$ の粗い斜面を滑り降りた。動摩擦係数を $\mu' = 0.30$、$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。
(1) 重力がした仕事を求めよ。
(2) 垂直抗力の大きさを求め、摩擦力がした仕事を求めよ。
(3) すべての力がした仕事の合計を求めよ。
(1) $W_g = mgL\sin 30° = 5.0 \times 9.8 \times 4.0 \times 0.5 = 98\,\text{J}$
(2) $N = mg\cos 30° = 5.0 \times 9.8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 42.4\,\text{N}$、$W_f = -\mu' NL = -0.30 \times 42.4 \times 4.0 \approx -50.9\,\text{J}$
(3) $W_{\text{合計}} = 98 + (-50.9) + 0 \approx 47.1\,\text{J}$
(1) 高さの変化 $h = L\sin 30° = 4.0 \times 0.5 = 2.0\,\text{m}$。$W_g = mgh = 98\,\text{J}$
(2) 斜面に垂直な方向のつり合い：$N = mg\cos 30°$。動摩擦力 $f' = \mu' N$。移動と逆向きなので $W_f = -f'L$。
(3) 垂直抗力の仕事は $0$（移動と垂直）。合計は $W_g + W_f + W_N = 98 - 50.9 + 0 \approx 47.1\,\text{J}$。