スーパーボールは高く弾み、粘土の球は地面にぺたりと張りつきます。
同じ「衝突」でも、跳ね返り方はまるで違います。
この違いを $0$ から $1$ の数値で表すのが反発係数です。
運動量保存則と組み合わせることで、衝突後の速度を完全に決定できるようになります。
2つの物体が衝突するとき、衝突前に近づく速さと衝突後に離れる速さの比を反発係数（はね返り係数）$e$ といいます。
$$e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}$$
反発係数の定義式を言葉で表すと、
$e = \dfrac{\text{衝突後に離れる速さ}}{\text{衝突前に近づく速さ}}$
分母は衝突前に2物体が近づく相対速度、分子は衝突後に離れる相対速度です。 個々の物体の速度ではなく、相対速度で考えるのがポイントです。
✕ 誤：$e = \dfrac{v_1 - v_2}{v_2' - v_1'}$（分子分母が逆）
○ 正：$e = \dfrac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}$
覚え方：分子は「ダッシュ付き（衝突後）で2が先」、分母は「ダッシュなし（衝突前）で1が先」です。
✕ 誤：$e = \dfrac{v_1'}{v_1}$（1つの物体だけで計算）
○ 正：反発係数は2物体の相対速度の比で定義されます
ただし、一方が壁や床で静止している場合は、$e = \dfrac{v'}{v}$（跳ね返る速さ / ぶつかる速さ）と簡略化できます。
反発係数の値によって、衝突は3種類に分類されます。
| 反発係数 $e$ | 衝突の種類 | 特徴 |
|---|---|---|
| $e = 1$ | 弾性衝突 | 運動エネルギーが保存される |
| $0 < e < 1$ | 非弾性衝突 | 運動エネルギーの一部が失われる |
| $e = 0$ | 完全非弾性衝突 | 2物体が一体となり、エネルギー損失が最大 |
$e = 0$ のとき、衝突後の相対速度は $0$ です。つまり2物体は同じ速度で動く、すなわち一体化します。 これが完全非弾性衝突です。
$e = 1$ のとき、衝突後の相対速度は衝突前と同じ大きさです。 このとき運動エネルギーも保存されます。これが弾性衝突です。
✕ 誤：「$e = 0$ だから衝突後に止まる」
○ 正：「$e = 0$ だから2物体が同じ速度で動く（一体化する）」
$e = 0$ は相対速度が $0$ になることを意味します。2物体の速度が等しくなるだけで、必ずしも $0$ ではありません。
物体が床や壁に衝突する場合、壁や床の質量は物体に比べてはるかに大きく、衝突の前後で動きません。 この場合、反発係数の式は簡単になります。
壁（床）が静止しているとき、
$$e = \frac{v'}{v}$$
壁の速度は衝突前後とも $0$ です。物体が壁に向かう向きを正にとると、
衝突前：物体の速度 $v_1 = v$、壁の速度 $v_2 = 0$
衝突後：物体の速度 $v_1' = -v'$（跳ね返るので負）、壁の速度 $v_2' = 0$
$$e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2} = \frac{0 - (-v')}{v - 0} = \frac{v'}{v}$$
高さ $h$ から自由落下させた物体が床で跳ね返り、高さ $h'$ まで上がった場合、反発係数は次のように求められます。
床に衝突する直前の速さは $v = \sqrt{2gh}$、跳ね返った直後の速さは $v' = \sqrt{2gh'}$ なので、
$$e = \frac{v'}{v} = \frac{\sqrt{2gh'}}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{h'}{h}}$$
$e = \sqrt{\dfrac{h'}{h}}$ なので、$e^2 = \dfrac{h'}{h}$ です。
反発係数 $0.8$ の球を $1.0\,\text{m}$ の高さから落とすと、跳ね返り高さは $h' = e^2 h = 0.64\,\text{m}$ になります。
✕ 誤：$e = \dfrac{h'}{h}$
○ 正：$e = \sqrt{\dfrac{h'}{h}}$ すなわち $e^2 = \dfrac{h'}{h}$
反発係数は速さの比です。速さは $\sqrt{2gh}$ に比例するので、平方根がつきます。
反発係数が $1$ 未満のとき、衝突で運動エネルギーの一部が失われます。 この失われたエネルギーは、音・熱・物体の変形などに変わっています。
等質量 $m$ の2物体が一直線上で衝突する場合を考えます。
運動量保存：$v_1 + v_2 = v_1' + v_2'$
反発係数：$e(v_1 - v_2) = v_2' - v_1'$
衝突前のエネルギー：$K = \frac{1}{2}m(v_1^2 + v_2^2)$
衝突後のエネルギー：$K' = \frac{1}{2}m(v_1'^2 + v_2'^2)$
計算すると、エネルギーの損失率は $(1 - e^2)$ に比例します。 $e = 1$ なら損失ゼロ、$e = 0$ なら損失が最大です。
反発係数は2つの物体の材質の組み合わせによって決まる固有の値です。 温度や衝突速度によっても多少変化しますが、高校物理では一定とみなします。
プロのテニス選手がラケットのガットの素材にこだわるのは、反発係数がボールの飛び方に直接影響するからです。
通常の衝突では $e \leq 1$ ですが、衝突時に内部のエネルギーが解放される場合（爆薬付きの衝突など）は $e > 1$ になりえます。 ただし、高校物理の範囲では $0 \leq e \leq 1$ として扱います。
反発係数は、運動量保存則と組み合わせて衝突問題を解くための道具です。 次の記事以降で、具体的な衝突問題に取り組みます。
Q1. 反発係数 $e = 1$ のとき、衝突を何と呼びますか。
Q2. 高さ $1.25\,\text{m}$ から落としたボールが、床で跳ね返って $0.80\,\text{m}$ まで上がりました。反発係数を求めてください。
Q3. 反発係数 $e = 0$ のとき、衝突後の2物体はどうなりますか。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
速度 $6.0\,\text{m/s}$ で右向きに進む物体Aが、速度 $2.0\,\text{m/s}$ で右向きに進む物体Bに追突した。衝突後、Aの速度は $3.0\,\text{m/s}$（右向き）、Bの速度は $5.0\,\text{m/s}$（右向き）であった。反発係数を求めよ。
$e = 0.50$
右向きを正とする。$v_1 = 6.0$, $v_2 = 2.0$, $v_1' = 3.0$, $v_2' = 5.0$
$e = \dfrac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2} = \dfrac{5.0 - 3.0}{6.0 - 2.0} = \dfrac{2.0}{4.0} = 0.50$
反発係数 $e = 0.70$ の球を高さ $2.0\,\text{m}$ から自由落下させた。重力加速度を $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として次の問いに答えよ。
(1) 1回目の跳ね返り後に到達する最高点の高さを求めよ。
(2) 2回目の跳ね返り後に到達する最高点の高さを求めよ。
(1) $0.98\,\text{m}$
(2) $0.48\,\text{m}$
$h' = e^2 h$ を繰り返し使います。
(1) $h_1 = e^2 \times h = 0.70^2 \times 2.0 = 0.49 \times 2.0 = 0.98\,\text{m}$
(2) $h_2 = e^2 \times h_1 = 0.49 \times 0.98 = 0.48\,\text{m}$（有効数字2桁）
なめらかな水平面上で、質量 $2.0\,\text{kg}$ の物体Aが速度 $5.0\,\text{m/s}$ で右向きに進み、静止している質量 $3.0\,\text{kg}$ の物体Bに衝突した。反発係数を $e = 0.60$ として、衝突後のA、Bの速度をそれぞれ求めよ。
A：右向きに $0.20\,\text{m/s}$、B：右向きに $3.2\,\text{m/s}$
右向きを正とする。運動量保存則と反発係数の式を連立します。
運動量保存：$2.0 \times 5.0 + 3.0 \times 0 = 2.0 v_A' + 3.0 v_B'$ → $10 = 2v_A' + 3v_B'$ ...
反発係数：$e = \dfrac{v_B' - v_A'}{5.0 - 0} = 0.60$ → $v_B' - v_A' = 3.0$ ...
②より $v_B' = v_A' + 3.0$。①に代入：$10 = 2v_A' + 3(v_A' + 3.0) = 5v_A' + 9.0$
$v_A' = 0.20\,\text{m/s}$、$v_B' = 3.2\,\text{m/s}$