ニュートンのゆりかご（カチカチ玉）を見たことがありますか。
一方の端の球を持ち上げて放すと、反対側の端の球だけが飛び出します。
この不思議な現象は、運動量保存とエネルギー保存を同時に満たした結果です。
弾性衝突の公式を導き、その意味を深く理解しましょう。
衝突では運動量が常に保存されますが、運動エネルギーは必ずしも保存されません。 衝突の前後で運動エネルギーも保存される衝突を弾性衝突といいます。
弾性衝突は反発係数 $e = 1$ の衝突と同じです。 前の記事で学んだように、$e = 1$ のとき衝突前後の相対速度の大きさは変わりません。
弾性衝突では次の2つが同時に成り立ちます。
運動量保存：$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$
運動エネルギー保存：$\dfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \dfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \dfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \dfrac{1}{2}m_2 v_2'^2$
2つの式から未知数2つ（$v_1', v_2'$）を完全に決定できます。
弾性衝突では運動エネルギーが保存されますが、それは「ぶつかった物体がそのまま跳ね返る」という意味ではありません。
✕ 誤：「弾性衝突だから、ぶつかった物体は来た方向に同じ速さで戻る」
○ 正：衝突後の速度は質量比によって決まり、様々なパターンがあります
一直線上で質量 $m_1$ の物体が速度 $v_1$ で進み、静止している質量 $m_2$ の物体に弾性衝突する場合を考えます。
運動量保存：$m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$ ... (1)
反発係数 $e = 1$：$v_2' - v_1' = v_1$ ... (2)
(2)より $v_1' = v_2' - v_1$。(1)に代入：
$m_1 v_1 = m_1(v_2' - v_1) + m_2 v_2'$
$m_1 v_1 = m_1 v_2' - m_1 v_1 + m_2 v_2'$
$2m_1 v_1 = (m_1 + m_2) v_2'$
$$v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1$$
(2)より、
$$v_1' = v_2' - v_1 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1 - v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$$
$$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$$
$$v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1$$
エネルギー保存式は $v^2$ を含む2次方程式になり、計算が煩雑です。 代わりに反発係数 $e = 1$（$v_2' - v_1' = v_1 - v_2$）を使えば、1次方程式だけで解けます。
弾性衝突では $e = 1$ とエネルギー保存は同値です。 入試では $e = 1$ を使うほうが圧倒的に速いです。
$v_1' = \dfrac{m - m}{m + m} v_1 = 0$、$v_2' = \dfrac{2m}{m + m} v_1 = v_1$
衝突した球は止まり、静止していた球が元の速度で動き出します。 これがニュートンのゆりかごで観察される現象です。
$v_1' \approx v_1$（重い球はほとんど速度を変えない）、$v_2' \approx 2v_1$（軽い球は約2倍の速度で飛び出す）
トラックが停車中の自転車にぶつかるようなイメージです。
$v_1' \approx -v_1$（軽い球はほぼ同じ速さで跳ね返る）、$v_2' \approx 0$（重い球はほとんど動かない）
ボールを壁にぶつけたときと同じ状況です。
✕ 誤：「等質量なら常に速度が入れ替わる」
○ 正：等質量の弾性衝突で「速度が交換される」のは正しいですが、これは一般の場合（両方動いている場合）にも成り立ちます
等質量の弾性衝突では常に $v_1' = v_2$、$v_2' = v_1$ となります。つまり速度が完全に交換されます。
上で導いた公式は$v_2 = 0$ の場合専用です。
✕ 誤：両方の物体が動いている問題に $v_1' = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$ をそのまま使う
○ 正：$v_2 \neq 0$ の場合は、運動量保存と $e = 1$ の2式を改めて連立する
5個並んだ球の端の1個を持ち上げて放すと、反対側の1個だけが飛び出します。 なぜ端の2個が半分の速さで飛び出さないのでしょうか。
それは「運動量保存」だけでなく「エネルギー保存」も同時に満たす解が、「1個が同じ速さで飛び出す」パターンしかないからです。 もし2個が飛び出すとすると、運動量は保存されますがエネルギーが保存されません。
弾性衝突の問題を解く手順を整理しておきます。
運動量保存は「速度の重み付き和」が一定であることを、反発係数の式は「速度の差」の関係を与えます。
この2つは「和と差の連立方程式」の形をしているので、足し引きで簡単に解けます。 実際の計算では、(1)と(2)を足す式・引く式を作るのが効率的です。
重心と一緒に動く座標系（重心系）から見ると、弾性衝突では2つの物体がそれぞれ逆向きに同じ速さで跳ね返ります。 まるで鏡に映したような対称的な運動になります。
この見方は M-7-9 の重心の運動で再び登場します。
Q1. 弾性衝突の定義を述べてください。
Q2. 等質量の2球が弾性衝突するとき、衝突後の速度はどうなりますか。
Q3. 質量 $3m$ の球が速度 $v_0$ で、静止している質量 $m$ の球に弾性衝突しました。衝突後の各球の速度を求めてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
なめらかな水平面上で、質量 $2.0\,\text{kg}$ の球Aが速度 $6.0\,\text{m/s}$ で右向きに進み、静止している質量 $4.0\,\text{kg}$ の球Bに弾性衝突した。衝突後の各球の速度を求めよ。
A：左向きに $2.0\,\text{m/s}$、B：右向きに $4.0\,\text{m/s}$
$v_1' = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1 = \dfrac{2.0 - 4.0}{2.0 + 4.0} \times 6.0 = \dfrac{-2.0}{6.0} \times 6.0 = -2.0\,\text{m/s}$（左向き）
$v_2' = \dfrac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1 = \dfrac{2 \times 2.0}{6.0} \times 6.0 = 4.0\,\text{m/s}$（右向き）
なめらかな水平面上で、質量 $m$ の球Aが速度 $3v_0$ で右向きに、質量 $2m$ の球Bが速度 $v_0$ で左向きに進み、弾性衝突した。衝突後の各球の速度を求めよ。
A：左向きに $\dfrac{7}{3}v_0$、B：右向きに $\dfrac{5}{3}v_0$
右向きを正。$v_A = 3v_0$, $v_B = -v_0$。
運動量保存：$m \cdot 3v_0 + 2m(-v_0) = mv_A' + 2mv_B'$ → $v_0 = v_A' + 2v_B'$ ... (1)
$e = 1$：$v_B' - v_A' = 3v_0 - (-v_0) = 4v_0$ ... (2)
(1)+(2)：$v_0 + 4v_0 = 3v_B'$ → $v_B' = \dfrac{5v_0}{3}$
(2)より：$v_A' = v_B' - 4v_0 = \dfrac{5v_0}{3} - 4v_0 = -\dfrac{7v_0}{3}$
A：左向きに $\dfrac{7}{3}v_0$、B：右向きに $\dfrac{5}{3}v_0$。
なめらかな水平面上に、質量 $m$, $2m$, $m$ の3球A, B, Cがこの順に一直線上に並んで静止している。球Aを速度 $v_0$ で右向きに打ち出し、Bに弾性衝突させた。その後、Bが移動してCに弾性衝突した。最終的なA, B, Cの速度をそれぞれ求めよ。
A：左向きに $\dfrac{v_0}{3}$、B：右向きに $\dfrac{2v_0}{9}$、C：右向きに $\dfrac{8v_0}{9}$
第1衝突（A→B）：$m_1 = m$, $m_2 = 2m$, $v_1 = v_0$, $v_2 = 0$
$v_A' = \dfrac{m - 2m}{m + 2m}v_0 = -\dfrac{v_0}{3}$（左向き）
$v_B' = \dfrac{2m}{3m}v_0 = \dfrac{2v_0}{3}$（右向き）
第2衝突（B→C）：$m_1 = 2m$, $m_2 = m$, $v_1 = \dfrac{2v_0}{3}$, $v_2 = 0$
$v_B'' = \dfrac{2m - m}{2m + m} \cdot \dfrac{2v_0}{3} = \dfrac{m}{3m} \cdot \dfrac{2v_0}{3} = \dfrac{2v_0}{9}$（右向き）
$v_C' = \dfrac{2 \times 2m}{3m} \cdot \dfrac{2v_0}{3} = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{2v_0}{3} = \dfrac{8v_0}{9}$（右向き）
Aは第1衝突後 $v_A' = -\dfrac{v_0}{3}$ のまま変わりません。