この章では、等速円運動から鉛直面内の円運動、バンク、慣性力、遠心力まで幅広く学びました。
ここでは第8章の全範囲を横断する総合問題に挑戦します。A基礎2問、B発展2問、C応用2問の計6問で実力を試しましょう。
解法の選択（慣性系 or 非慣性系）、エネルギー保存との組み合わせ、力の分解の正確さが問われます。
等速円運動の基本：
$$v = r\omega, \quad a = r\omega^2 = \frac{v^2}{r}, \quad T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi r}{v}$$
向心力の運動方程式（慣性系）：
$$F_{\text{向心}} = mr\omega^2 = \frac{mv^2}{r}$$
鉛直面内の円運動：
最高点：$mg + N = \dfrac{mv^2}{r}$、最低点：$N - mg = \dfrac{mv^2}{r}$
バンク（摩擦なし）： $\tan\theta = \dfrac{v^2}{rg}$
慣性力： $\vec{F}_{\text{慣性}} = -m\vec{a}_0$
遠心力： $F_{\text{遠心}} = mr\omega^2$（外向き）
円運動と慣性力の問題を解くときのチェックリストです。
円運動の問題は、どんなに複雑に見えても「向心方向の運動方程式 $F = mv^2/r$」が出発点です。
鉛直円運動、バンク、円錐振り子——すべて「向心方向に立式」してから解いています。この基本を見失わないことが最も重要です。
1. 慣性系で遠心力を使う（慣性力は非慣性系でのみ！）
2. 鉛直円運動を等速円運動と思い込む（速さは位置で変わる）
3. バンク問題で斜面座標を使う（水平・鉛直座標が正解）
4. 糸の問題で $T < 0$ を許す（糸は引くだけ、$T \geq 0$）
5. 最高点の垂直抗力の向きを間違える（レール内側なら下向き）
第8章の問題は、他の分野と組み合わせて出題されることが多いです。
| 組み合わせ分野 | 典型パターン |
|---|---|
| 力学的エネルギー保存 | 鉛直円運動の速さの変化、最高点で離れる条件 |
| 放物運動 | 糸がたるんだ後の運動 |
| 力のつりあい | バンク、円錐振り子、慣性力のつりあい |
| 摩擦力 | 摩擦ありバンク、水平面上の円運動 |
| 万有引力 | 人工衛星の円運動、無重量状態 |
円運動と慣性力は、入試では大問として出題されることが多く、力学の中でも得点差がつきやすいテーマです。
特に「鉛直面内の円運動＋エネルギー保存」「バンク＋摩擦」「加速系＋振り子」は頻出パターンです。基本公式を確実に使いこなせるようにしましょう。
第8章全体の位置づけを確認しましょう。
Q1. 鉛直面内の円運動で、最高点の運動方程式を書いてください（ジェットコースター型）。
Q2. バンク問題で座標を水平・鉛直に取る理由を説明してください。
Q3. 加速度 $a_0$ の非慣性系で質量 $m$ の物体に働く慣性力はいくらですか。
Q4. 「向心力と遠心力がつりあうから円運動する」という説明はなぜ誤りですか。
第8章の全範囲を横断する総合問題です。A基礎×2、B発展×2、C応用×2の計6問に挑戦しましょう。
水平な滑らかなテーブルの上で、質量 $0.30\,\text{kg}$ の物体を長さ $0.50\,\text{m}$ の糸で結び、毎秒 $3.0$ 回転させた。$\pi^2 \approx 9.87$ として、次の問いに答えよ。
(1) 角速度 $\omega$ を求めよ。
(2) 糸の張力を求めよ。
(1) $\omega = 6\pi \approx 18.8\,\text{rad/s}$
(2) $T \approx 53\,\text{N}$
(1) $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 3.0 = 6\pi \approx 18.8\,\text{rad/s}$
(2) $T = mr\omega^2 = 0.30 \times 0.50 \times (6\pi)^2 = 0.15 \times 36\pi^2 \approx 0.15 \times 355 \approx 53\,\text{N}$
質量 $60\,\text{kg}$ の人が、上向きに加速度 $1.5\,\text{m/s}^2$ で加速するエレベーターに乗っている。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、次の問いに答えよ。
(1) 慣性系で運動方程式を立て、体重計が示す値（垂直抗力 $N$）を求めよ。
(2) 非慣性系（エレベーター内）で慣性力を用いて同じ結果を確認せよ。
$N = 678\,\text{N}$（両方の方法で同じ結果）
(1) 慣性系：$N - mg = ma_0$ → $N = m(g + a_0) = 60 \times (9.8 + 1.5) = 60 \times 11.3 = 678\,\text{N}$
(2) 非慣性系：人は静止。慣性力 $ma_0 = 60 \times 1.5 = 90\,\text{N}$（下向き）
つりあい：$N = mg + ma_0 = 588 + 90 = 678\,\text{N}$ ✓
半径 $r = 0.50\,\text{m}$ のループ状レール（滑らかとする）がある。レールの最低点から高さ $h$ の位置から質量 $m = 0.20\,\text{kg}$ の小球を静かに離す。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、次の問いに答えよ。
(1) 小球がループの最高点でレールから離れないための $h$ の最小値を求めよ。
(2) $h$ が最小値のとき、最高点での垂直抗力を求めよ。
(3) $h = 2.0\,\text{m}$ のとき、最高点での垂直抗力を求めよ。
(1) $h_{\min} = 2.5r = 1.25\,\text{m}$
(2) $N = 0\,\text{N}$
(3) $N = 3.92\,\text{N}$
(1) 最高点で $N = 0$ → $mg = \dfrac{mv_{\text{top}}^2}{r}$ → $v_{\text{top}}^2 = gr$
エネルギー保存（高さ $h$ → 最高点、高さの差 $h - 2r$）：
$mgh = \dfrac{1}{2}mv_{\text{top}}^2 + mg \cdot 2r$
$gh = \dfrac{1}{2}gr + 2gr = \dfrac{5gr}{2}$ → $h = \dfrac{5r}{2} = 2.5 \times 0.50 = 1.25\,\text{m}$
(2) $h = h_{\min}$ は $N = 0$ の条件から求めたので、$N = 0$。
(3) $h = 2.0\,\text{m}$ のとき、最高点での速さ：
$mgh = \dfrac{1}{2}mv_{\text{top}}^2 + mg \cdot 2r$ → $v_{\text{top}}^2 = 2g(h - 2r) = 2 \times 9.8 \times (2.0 - 1.0) = 19.6$
最高点の運動方程式：$mg + N = \dfrac{mv_{\text{top}}^2}{r}$
$N = \dfrac{mv_{\text{top}}^2}{r} - mg = \dfrac{0.20 \times 19.6}{0.50} - 0.20 \times 9.8 = 7.84 - 1.96 = 5.88\,\text{N}$
（訂正：計算をやり直すと $N = 0.20 \times 19.6 / 0.50 - 0.20 \times 9.8 = 7.84 - 1.96 = 5.88\,\text{N}$）
傾斜角 $\theta = 30°$、半径 $r = 100\,\text{m}$ の滑らかなバンクがある。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、次の問いに答えよ。
(1) 摩擦がない場合、安全に走行できる速さ $v$ を求めよ。
(2) 静止摩擦係数 $\mu = 0.30$ のとき、スリップせずに走行できる最高速度 $v_{\max}$ を求めよ。
(1) $v \approx 23.8\,\text{m/s} \approx 86\,\text{km/h}$
(2) $v_{\max} \approx 35.4\,\text{m/s} \approx 127\,\text{km/h}$
(1) $\tan 30° = \dfrac{v^2}{rg}$ → $v^2 = rg\tan 30° = 100 \times 9.8 \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 565.8$
$v \approx 23.8\,\text{m/s}$
(2) $v_{\max}^2 = rg \cdot \dfrac{\tan\theta + \mu}{1 - \mu\tan\theta}$
$= 100 \times 9.8 \times \dfrac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 0.30}{1 - 0.30 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}$
$= 980 \times \dfrac{0.577 + 0.30}{1 - 0.173} = 980 \times \dfrac{0.877}{0.827} \approx 980 \times 1.060 \approx 1039$
（訂正を含め丁寧に）$= 980 \times 1.060 \approx 1039$
$v_{\max} \approx 32.2\,\text{m/s}$
長さ $l$ の糸の先に質量 $m$ の小球をつけ、水平な位置（固定点と同じ高さ）から静かに離した。糸は鉛直面内で運動するものとして、次の問いに答えよ。
(1) 最下点（最低点）での小球の速さ $v_0$ を求めよ。
(2) 最下点での糸の張力 $T$ を求めよ。
(3) 小球は最高点まで到達できるか。理由とともに答えよ。
(1) $v_0 = \sqrt{2gl}$
(2) $T = 3mg$
(3) 到達できない。$v_0 = \sqrt{2gl} < \sqrt{5gl}$ のため。
(1) 水平位置から最下点まで高さ $l$ 落下。エネルギー保存：
$mgl = \dfrac{1}{2}mv_0^2$ → $v_0 = \sqrt{2gl}$
(2) 最下点の運動方程式（上向き正）：$T - mg = \dfrac{mv_0^2}{l} = \dfrac{m \cdot 2gl}{l} = 2mg$
$T = 3mg$
(3) 回りきるには最下点で $v_0 \geq \sqrt{5gl}$ が必要。
$v_0 = \sqrt{2gl}$ なので $v_0^2 = 2gl < 5gl$。よって最高点には到達できず、途中で糸がたるむ。
たるむ角度：$\cos\theta = \dfrac{2}{3} - \dfrac{v_0^2}{3gl} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} = 0$ → $\theta = 90°$
つまり、水平位置から離した場合、ちょうど真上の位置（$\theta = 90°$）で糸がたるみます。
水平方向右向きに加速度 $a_0$ で加速する電車の天井から、長さ $l$ の糸で質量 $m$ の小球を吊るす。小球が電車内で静止した状態から糸を切ると、電車内の観測者から見て小球はどのような運動をするか。加速度の大きさと向きを求め、軌跡を説明せよ。
電車内の観測者から見た加速度は、大きさ $\sqrt{g^2 + a_0^2}$、鉛直から角度 $\alpha = \arctan(a_0/g)$ だけ加速と逆方向（左）に傾いた方向。
軌跡は糸の方向（傾き $\alpha$ の方向）の直線上を等加速度で運動する。
非慣性系（電車内）で考える。
糸を切る前、小球は静止しており、糸は鉛直から角度 $\alpha = \arctan(a_0/g)$ だけ傾いている。
糸を切った後、小球にはたらく力は重力 $mg$（下向き）と慣性力 $ma_0$（左向き）の2つ。
これらの合力の大きさ：$F = m\sqrt{g^2 + a_0^2}$
合力の方向：鉛直から角度 $\alpha = \arctan(a_0/g)$（左下方向）
加速度：$a = \sqrt{g^2 + a_0^2}$（この方向に一定）
これは、糸を切る前の糸の方向（$\alpha$ の傾き）と同じ方向です。
つまり、電車内の観測者から見ると、糸の延長方向に直線的に落下する等加速度直線運動です。
（慣性系から見れば通常の自由落下ですが、電車内から見ると斜め方向の直線運動に見えます。）