高速道路のカーブやサーキットのコーナーでは、道路が内側に傾いています。これをバンク（傾斜路面）と呼びます。
バンクがあると、摩擦がなくても安全にカーブを曲がれます。なぜでしょうか？
その答えは、垂直抗力の水平成分が向心力を提供するからです。力の分解と円運動の見事な融合を見ていきましょう。
水平な道路でカーブを曲がるとき、向心力を提供するのはタイヤと路面の間の摩擦力です。 しかし摩擦力には上限があり、速度が大きすぎると摩擦力だけでは足りずにスリップしてしまいます。
道路をカーブの内側に傾けると（バンクをつけると）、垂直抗力の水平成分が向心力に寄与します。 摩擦に頼らなくてもカーブを曲がれるようになるのです。
バンクのある円運動のポイントは、垂直抗力 $N$ を鉛直成分と水平成分に分解することです。
鉛直成分 $N\cos\theta$ が重力を支え、水平成分 $N\sin\theta$ が向心力を提供します。1つの力が2つの役割を果たすのです。
傾斜角 $\theta$ のバンクで、半径 $r$ の水平面内の等速円運動をする質量 $m$ の車を考えます。 摩擦がない場合、車にはたらく力は重力 $mg$（鉛直下向き）と垂直抗力 $N$（路面に垂直）の2つだけです。
ここでは水平方向と鉛直方向に座標をとります（斜面座標ではありません）。 なぜなら、円運動の向心方向は水平だからです。
✕ 誤：斜面に平行・垂直に座標を取る（斜面上の静止問題と混同）
○ 正：円運動の向心方向（水平）と鉛直方向に座標を取る
バンク問題では加速度の方向（水平）に合わせて座標を取るのが正解です。
鉛直方向（つりあい）：
$$N\cos\theta = mg \quad \cdots ①$$
水平方向（向心方向の運動方程式）：
$$N\sin\theta = \frac{mv^2}{r} \quad \cdots ②$$
②÷① を計算すると、
$$\tan\theta = \frac{v^2}{rg}$$
①式と②式の比をとります。
$$\frac{N\sin\theta}{N\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg}$$
$$\tan\theta = \frac{v^2}{rg}$$
$N$ と $m$ が消えるので、バンク角は車の質量によらないことがわかります。
この式は「ちょうど良い速度」と傾斜角の関係を表しています。
この速度より速いと外側に滑り落ち（もっと急な傾斜が必要）、この速度より遅いと内側に滑り落ちます（傾斜が急すぎる）。
摩擦なしバンクでは、特定の速度でしか安全に走れません。摩擦があれば速度の幅が広がります。
①式から $N = \dfrac{mg}{\cos\theta}$ です。バンク角 $\theta > 0$ では $\cos\theta < 1$ なので、$N > mg$ となります。
傾斜が急なほど垂直抗力は大きくなります。これは直感とも合います——急傾斜のバンクでは路面に強く押しつけられるからです。
実際の道路には摩擦があります。摩擦力 $f$ が加わると、設計速度と異なる速度でもカーブを曲がれます。
車は外側（上側）に滑ろうとするので、摩擦力は斜面に沿って内側（下向き）に働きます。 水平方向の運動方程式は、
$$N\sin\theta + f\cos\theta = \frac{mv^2}{r}$$
車は内側（下側）に滑ろうとするので、摩擦力は斜面に沿って外側（上向き）に働きます。 水平方向の運動方程式は、
$$N\sin\theta - f\cos\theta = \frac{mv^2}{r}$$
✕ 誤：摩擦力は常に斜面を下る方向
○ 正：速度が設計速度より速いか遅いかで摩擦力の方向が変わる
まず摩擦なしの場合を考え、そのときの速度より速いか遅いかで摩擦の向きを判断します。
実際のバンク角の設計例を見てみましょう。
| 場面 | 速度 | 半径 | バンク角 |
|---|---|---|---|
| 高速道路 | $100\,\text{km/h} \approx 28\,\text{m/s}$ | $300\,\text{m}$ | $\approx 15°$ |
| 自転車トラック | $60\,\text{km/h} \approx 17\,\text{m/s}$ | $25\,\text{m}$ | $\approx 47°$ |
バンクのある円運動は、円錐振り子と同じ構造をしています。
円錐振り子では糸の張力が $N$ の役割を果たし、$\tan\theta = v^2/(rg)$ がそのまま成り立ちます。
「傾斜した面の垂直抗力」と「傾いた糸の張力」は物理的に全く同じ関係式を満たすのです。
バンクをつけることで、重力に逆らって走るのではなく、重力を利用してカーブの内側に向かう力を生み出しています。
これは力学の知恵を工学に活かした美しい例です。
バンクのある円運動は、力の分解と円運動の運動方程式の融合問題として入試で頻出です。
Q1. バンクのある円運動で座標をどのように取るべきですか。その理由も答えてください。
Q2. 摩擦なしバンクで $\tan\theta = v^2/(rg)$ を導くために使う2つの式を書いてください。
Q3. バンク角はなぜ車の質量によらないのですか。
Q4. 設計速度より速い速度でバンクを走るとき、摩擦力はどの方向に働きますか。
バンクのある円運動を入試形式で確認しましょう。
半径 $r = 200\,\text{m}$ のカーブを速さ $v = 20\,\text{m/s}$ で安全に走行するためのバンク角 $\theta$ を求めよ。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$、摩擦はないものとする。
$\theta \approx 11.5°$
$\tan\theta = \dfrac{v^2}{rg} = \dfrac{20^2}{200 \times 9.8} = \dfrac{400}{1960} \approx 0.204$
$\theta = \arctan(0.204) \approx 11.5°$
傾斜角 $30°$ のバンクで半径 $r = 50\,\text{m}$ の水平面内の等速円運動をしている質量 $1000\,\text{kg}$ の車がある。摩擦はないものとして、$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ で次の問いに答えよ。
(1) 車の速さを求めよ。
(2) 車が路面から受ける垂直抗力の大きさを求めよ。
(1) $v \approx 16.8\,\text{m/s}$
(2) $N \approx 11300\,\text{N}$
(1) $\tan 30° = \dfrac{v^2}{rg}$ → $v^2 = rg\tan 30° = 50 \times 9.8 \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 283$
$v \approx 16.8\,\text{m/s}$（約 $60\,\text{km/h}$）
(2) $N = \dfrac{mg}{\cos 30°} = \dfrac{1000 \times 9.8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{9800}{0.866} \approx 11300\,\text{N}$
傾斜角 $\theta$ のバンク（半径 $r$）で、路面との静止摩擦係数が $\mu$ のとき、スリップせずに走行できる最高速度 $v_{\max}$ を $r$, $g$, $\theta$, $\mu$ で表せ。
$$v_{\max} = \sqrt{rg \cdot \frac{\tan\theta + \mu}{1 - \mu\tan\theta}}$$
速度が大きいとき、摩擦力 $f$ は斜面の下向き（内側向き）に働く。$f = \mu N$（最大静止摩擦力）とする。
鉛直方向のつりあい：$N\cos\theta - \mu N\sin\theta = mg$ …①
水平方向の運動方程式：$N\sin\theta + \mu N\cos\theta = \dfrac{mv_{\max}^2}{r}$ …②
①より $N = \dfrac{mg}{\cos\theta - \mu\sin\theta}$
②に代入：$\dfrac{mg(\sin\theta + \mu\cos\theta)}{\cos\theta - \mu\sin\theta} = \dfrac{mv_{\max}^2}{r}$
$$v_{\max}^2 = rg \cdot \frac{\sin\theta + \mu\cos\theta}{\cos\theta - \mu\sin\theta} = rg \cdot \frac{\tan\theta + \mu}{1 - \mu\tan\theta}$$
$\mu = 0$ のとき $v_{\max}^2 = rg\tan\theta$ となり、摩擦なしの結果と一致します（検算 ✓）。