なめらかな床の上で、ばねの先のおもりを引っ張って離す。
たったそれだけの実験が、単振動の世界への最もシンプルな入り口です。
重力を気にしなくてよいぶん、復元力の本質がくっきり見えます。
ここで周期の公式を導き、「周期が振幅に依存しない」不思議を体感しましょう。
なめらかな水平面上にばね定数 $k$ のばねを固定し、他端に質量 $m$ のおもりをつけます。 ばねの自然長の位置を原点にとり、右向きを正とします。
おもりを自然長の位置から右に $A$ だけ引っ張って静かに離します。 摩擦がないので、おもりは自然長の位置を中心に左右に往復運動します。
水平方向にはたらく力はばねの弾性力だけです。 しかも $F = -kx$ は変位に比例して逆向き。 これはまさに単振動の条件そのものです。
水平面上では重力が運動方向に影響しないため、 ばねの自然長の位置がそのままつりあいの位置になります。
鉛直ばね（M-9-4）ではこの2つが異なるので、水平と鉛直の違いを意識しておきましょう。
おもりの運動方程式を立てます。 水平方向の力はばねの弾性力のみなので、
$$ma = -kx$$
$$a = -\frac{k}{m}x$$
$\omega^2 = \dfrac{k}{m}$ と置くと、
$$a = -\omega^2 x$$
これは単振動の運動方程式そのものです。したがって、
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$
加速度 $a$（小文字）と振幅 $A$（大文字）は異なる物理量です。
✕ 誤：$mA = -kx$（大文字で書いてしまう）
○ 正：$ma = -kx$（小文字の加速度）
手書きのときは特に注意が必要です。大文字と小文字を明確に書き分けましょう。
角振動数 $\omega$ が分かれば、周期は $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ で求まります。
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
周期の公式 $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ には、振幅 $A$ が含まれていません。 大きく揺らしても小さく揺らしても、1往復にかかる時間は同じです。
これを等時性といいます。 大きく揺れるほど移動距離は長いですが、速度も大きくなるため、 結果として周期は変わらないのです。
$T = 2\pi\sqrt{m/k}$ から、2つの傾向が読み取れます。
✕ 誤：$T = 2\pi\sqrt{k/m}$
○ 正：$T = 2\pi\sqrt{m/k}$
$\omega = \sqrt{k/m}$ なので、$T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$ です。 「$\omega$ の逆数」を取るときに分子分母が入れ替わることに注意しましょう。
高校物理では「ばねの質量は無視できる」と仮定します。
実際にはばねにも質量があり、それが周期に影響します。 問題文に「ばねの質量は無視できる」と書かれていることを確認しましょう。 特に記述がなければ、無視する前提です。
公式を使いこなすために、典型的な数値で計算してみましょう。
ばね定数 $k = 50\,\text{N/m}$ のばねに質量 $m = 0.50\,\text{kg}$ のおもりをつけ、 自然長の位置から $0.10\,\text{m}$ 引いて離しました。
角振動数：$\omega = \sqrt{\dfrac{50}{0.50}} = \sqrt{100} = 10\,\text{rad/s}$
周期：$T = \dfrac{2\pi}{10} = \dfrac{\pi}{5} \approx 0.63\,\text{s}$
最大速度：$v_{\max} = A\omega = 0.10 \times 10 = 1.0\,\text{m/s}$
最大加速度：$|a_{\max}| = A\omega^2 = 0.10 \times 100 = 10\,\text{m/s}^2$
正の端から出発するので、変位の式は $x = 0.10\cos(10t)\,[\text{m}]$ です。
「なめらかな水平面」は理想化です。実際の実験では摩擦があるため、 振幅が徐々に小さくなります（減衰振動）。
摩擦を小さくするには、エアトラック（空気浮上式の台）を使うのが有効です。 また、ドライアイスの上に物体を載せて滑らせる方法もあります。
両端におもりがついたばねでも単振動は起こります。 この場合、換算質量 $\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ を使い、 $T = 2\pi\sqrt{\mu/k}$ となります。大学物理の「2体問題」への入り口です。
水平ばね振り子は単振動の最も基本的なモデルです。 ここで得た公式と考え方を土台に、次のテーマに進みましょう。
Q1. ばね定数 $k = 200\,\text{N/m}$、質量 $m = 0.50\,\text{kg}$ の水平ばね振り子の周期を求めてください。
Q2. 水平ばね振り子の振幅を2倍にすると、周期はどう変わりますか。
Q3. 周期を現在の2倍にするには、おもりの質量を何倍にすればよいですか。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
なめらかな水平面上で、ばね定数 $k = 100\,\text{N/m}$ のばねに質量 $m = 0.40\,\text{kg}$ のおもりをつけて単振動させた。振幅は $A = 0.050\,\text{m}$ である。
(1) 周期を求めよ。
(2) 最大速度を求めよ。
(1) $T = \dfrac{2\pi}{5\sqrt{10}} \approx 0.40\,\text{s}$
(2) $v_{\max} \approx 0.79\,\text{m/s}$
(1) $\omega = \sqrt{\dfrac{100}{0.40}} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \approx 15.8\,\text{rad/s}$
$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{5\sqrt{10}} \approx 0.40\,\text{s}$
(2) $v_{\max} = A\omega = 0.050 \times 5\sqrt{10} = 0.25\sqrt{10} \approx 0.79\,\text{m/s}$
なめらかな水平面上で、ばねにおもりをつけて単振動させたところ、周期が $T = 0.50\,\text{s}$ であった。おもりの質量は $m = 0.80\,\text{kg}$ である。ばね定数 $k$ を求めよ。
$k \approx 126\,\text{N/m}$
$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ を $k$ について解くと、
$T^2 = 4\pi^2 \dfrac{m}{k}$ → $k = \dfrac{4\pi^2 m}{T^2} = \dfrac{4\pi^2 \times 0.80}{0.50^2} = \dfrac{4\pi^2 \times 0.80}{0.25} = 12.8\pi^2 \approx 126\,\text{N/m}$
なめらかな水平面上で、ばね定数 $k$ のばねの一端を壁に固定し、他端に質量 $m$ のおもりAをつけて静止させた。質量 $m$ のおもりBが速度 $v_0$ でおもりAに正面衝突し、一体となって運動を始めた。
(1) 衝突直後の速度を求めよ。
(2) 衝突後の単振動の振幅を求めよ。
(3) 衝突後の単振動の周期を求めよ。
(1) $\dfrac{v_0}{2}$
(2) $A = \dfrac{v_0}{2}\sqrt{\dfrac{2m}{k}}$
(3) $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2m}{k}}$
(1) 運動量保存則より $mv_0 = (m + m)V$ → $V = \dfrac{v_0}{2}$
(2) 衝突後、合体した物体（質量 $2m$）は自然長の位置から速度 $V = v_0/2$ で単振動を開始します。 $v_{\max} = A\omega$ より $A = \dfrac{v_{\max}}{\omega} = \dfrac{v_0/2}{\sqrt{k/(2m)}} = \dfrac{v_0}{2}\sqrt{\dfrac{2m}{k}}$
(3) $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2m}{k}}$（質量が $2m$ になったため）