単振動のエネルギー
─ 位置エネルギーと運動エネルギーの交換

1単振動における力学的エネルギー保存

ばね定数 $k$ のばねに取り付けられた質量 $m$ の物体が、摩擦のない面上で単振動しているとします。 自然長の位置を原点とし、変位を $x$ とします。

物体に働く力はばねの弾性力 $F = -kx$ のみで、これは保存力です。したがって力学的エネルギーが保存されます。

2位置エネルギーと運動エネルギーの式

変位が $x = A\sin\omega t$、速度が $v = A\omega\cos\omega t$ のとき、各エネルギーは次のようになります。

位置エネルギー

$$U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\sin^2\omega t$$

運動エネルギー

$$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(A\omega)^2\cos^2\omega t = \frac{1}{2}kA^2\cos^2\omega t$$

ここで $\omega^2 = k/m$ を使いました。

全エネルギー

$$E = K + U = \frac{1}{2}kA^2(\sin^2\omega t + \cos^2\omega t) = \frac{1}{2}kA^2$$

3エネルギーの時間変化とグラフ

位置エネルギー $U = \frac{1}{2}kA^2\sin^2\omega t$ と運動エネルギー $K = \frac{1}{2}kA^2\cos^2\omega t$ を時間のグラフに描くと、両者は振動の周期の半分の周期で振動します。

エネルギーの振動周期

三角関数の半角の公式を使うと、

$$U = \frac{1}{4}kA^2(1 - \cos 2\omega t), \quad K = \frac{1}{4}kA^2(1 + \cos 2\omega t)$$

どちらも角振動数 $2\omega$、つまり周期 $T/2$ で振動します。 エネルギーは常に正なので、1周期の間にエネルギーの変換は2回起こります。

4振幅とエネルギーの関係

$E = \frac{1}{2}kA^2$ より、全エネルギーは振幅の2乗に比例します。

• 振幅を2倍にすると → エネルギーは4倍
• エネルギーを2倍にすると → 振幅は $\sqrt{2}$ 倍
• 最大速さは $v_{\max} = A\omega$ なので、振幅を2倍にすると最大速さも2倍

エネルギーから振動を読み取る

入試では、初期条件（初速度と初期変位）からエネルギーを求め、振幅を求めるパターンが頻出です。

たとえば、$x = x_0$ で速さ $v_0$ を与えたとき、

$$E = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}kA^2$$

$$A = \sqrt{x_0^2 + \frac{m}{k}v_0^2} = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}$$

5この章を俯瞰する

単振動のエネルギーは、力学的エネルギー保存則の代表的な応用例であり、振動現象を統一的に理解するカギです。

つながりマップ

• ← M-5 力学的エネルギー保存則：保存力（ばねの弾性力）のもとでエネルギーが保存される。
• ← M-9-1 単振動の基礎：$x = A\sin\omega t$、$v = A\omega\cos\omega t$ を使う。
• ← M-9-5 単振り子：単振り子でもエネルギー保存則は成り立つ（重力の位置エネルギーと運動エネルギーの交換）。
• → M-9-7 浮力による単振動：浮力の復元力でもエネルギー保存が成り立つ。
• → 波動・電磁気：振動のエネルギーの考え方は波動のエネルギー、LC回路の電磁エネルギーに拡張される。

📋まとめ

• 単振動では $E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2 = $ 一定
• 振動の端（$x = \pm A$）で位置エネルギー最大、中心（$x = 0$）で運動エネルギー最大
• 全エネルギーは 振幅の2乗に比例：$E = \frac{1}{2}kA^2$
• 任意の位置での速さ：$v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$
• $K = U$ となる位置は $x = \pm A/\sqrt{2}$
• エネルギーが増えても周期は変わらない（等時性）

8入試問題演習

単振動のエネルギーを入試形式で確認しましょう。

A 基礎レベル

B 発展レベル

C 応用レベル