水に浮かぶ木片を押し込んで放すと、上下に振動します。
この振動は浮力が復元力として働く単振動です。ばねが見えなくても、浮力の変化量が変位に比例すれば単振動になります。
有効ばね定数 $\rho Sg$ を導き、周期を求めましょう。
密度 $\rho_0$ の液体に、断面積 $S$、質量 $m$ の一様な直方体の物体が浮いているとします。 つりあいの位置では、物体の沈んでいる深さを $d$ とすると、
$$mg = \rho_0 S d g$$
ここで $\rho_0 S d g$ はアルキメデスの原理による浮力です。
つりあいの位置から物体を $x$ だけ下に押し込むと、沈んでいる深さは $d + x$ になり、浮力が増加します。
増加した浮力は $\Delta F = \rho_0 S(d + x)g - \rho_0 Sdg = \rho_0 Sgx$ です。
この増加した浮力は、変位 $x$ に比例し、つりあいの位置に戻す向きに働きます。 つまり、浮力の変化分が復元力として働くのです。
浮力の変化分 $\Delta F = -\rho_0 Sg \cdot x$ は、フックの法則 $F = -kx$ と同じ形です。
つまり、液体が「ばね」の役割を果たしており、有効ばね定数は $k_{\text{eff}} = \rho_0 Sg$ です。
物体の断面積が大きいほど、液体の密度が大きいほど、「ばね」は硬くなります。
つりあいの位置を原点、下向きを正として運動方程式を書きます。
物体に働く力は、重力 $mg$（下向き）と浮力 $\rho_0 S(d + x)g$（上向き）です。
$$m\frac{d^2 x}{dt^2} = mg - \rho_0 S(d + x)g$$
つりあい条件 $mg = \rho_0 Sdg$ を使って整理すると、
$$m\frac{d^2 x}{dt^2} = -\rho_0 Sg \cdot x$$
$$m\frac{d^2 x}{dt^2} = -\rho_0 Sg \cdot x$$
有効ばね定数：$k_{\text{eff}} = \rho_0 Sg$
つりあい位置での力のつりあい $mg = \rho_0 Sdg$ をあらかじめ使って消去することで、変位 $x$ だけの式に整理できます。
これは鉛直ばね振り子でも使った手法です。つりあいの位置を原点にとると、重力の項と浮力の定数部分が打ち消し合い、変位に比例する部分だけが残ります。
この単振動が成り立つためには、振動中に物体が液面から飛び出さず、かつ完全に沈まないことが必要です。
✕ 誤：振幅がいくらでも大きくてよい
○ 正：振幅 $A$ がつりあい時の沈み深さ $d$ 以下（$A \leq d$）で、かつ物体が水面上に出ている部分の長さ以下
問題文に「振幅は十分小さい」という条件がある場合、この条件は満たされています。
角振動数 $\omega = \sqrt{\dfrac{k_{\text{eff}}}{m}} = \sqrt{\dfrac{\rho_0 Sg}{m}}$ より、
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho_0 Sg}}$$
つりあい条件 $m = \rho_0 Sd$ を使うと、
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\rho_0 Sd}{\rho_0 Sg}} = 2\pi\sqrt{\frac{d}{g}}$$
この式は単振り子の周期 $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ と同じ形をしています。 沈み深さ $d$ が振り子の糸の長さ $l$ に対応しています。
浮力の単振動（$T = 2\pi\sqrt{d/g}$）と単振り子（$T = 2\pi\sqrt{l/g}$）は、まったく異なる物理現象ですが、数学的には同じ構造です。
これは「変位に比例する復元力が働くすべての運動は単振動になる」という一般原理の表れです。
物体の密度を $\rho$、高さを $h$ とすると $m = \rho Sh$、つりあい条件は $\rho h = \rho_0 d$ で $d = \rho h / \rho_0$ です。
これを代入すると $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\rho h}{\rho_0 g}}$ とも書けます。
物体が軽い（$\rho$ が小さい）ほど沈みが浅く、$d$ が小さくなるので周期が短くなります。
密度 $\rho = 600\,\text{kg/m}^3$、断面積 $S = 0.010\,\text{m}^2$、高さ $h = 0.20\,\text{m}$ の角材が、密度 $\rho_0 = 1000\,\text{kg/m}^3$ の水に浮いています。
つりあい時の沈み深さ：$d = \dfrac{\rho h}{\rho_0} = \dfrac{600 \times 0.20}{1000} = 0.12\,\text{m}$
周期：$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{d}{g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{0.12}{9.8}} \approx 0.70\,\text{s}$
U字管に入った液体を片方だけ押し下げて放すと、液体は左右に振動します。 これも同様に、液柱の高さの差が復元力を生む単振動です。
液体全体の質量を $m = \rho SL$（$L$：液柱の全長）、変位を $x$ とすると、復元力は $\rho S \cdot 2x \cdot g$（左右の液面差が $2x$ になるため）です。
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}}$$
U字管で片方を $x$ だけ押し下げると、もう片方は $x$ だけ上がるので、液面差は $2x$ になります。
✕ 誤：復元力を $\rho Sg \cdot x$ とする
○ 正：復元力を $\rho Sg \cdot 2x = 2\rho Sg \cdot x$ とする
片方だけの変位を $x$ とするか、液面差を $x$ とするかで式が変わるので、変位の定義を明確にしましょう。
浮力による単振動は、ばねのないところにも単振動が現れる好例です。
Q1. 浮力による単振動の有効ばね定数を書いてください。
Q2. 浮力による単振動の周期を、つりあい時の沈み深さ $d$ を使って表してください。
Q3. 物体の断面積を2倍にすると、周期はどうなりますか。（質量が一定の場合）
Q4. U字管の液体振動で、片方を $x$ だけ押し下げたとき、液面差はいくらですか。
浮力による単振動を入試形式で確認しましょう。
断面積 $S = 0.020\,\text{m}^2$、質量 $m = 2.0\,\text{kg}$ の一様な直方体が、密度 $\rho_0 = 1.0 \times 10^3\,\text{kg/m}^3$ の水に浮いている。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、次の問いに答えよ。
(1) つりあい時の沈み深さ $d$ を求めよ。
(2) この物体を少し押し込んで放したときの振動の周期を求めよ。
(1) $d = 0.10\,\text{m}$
(2) $T \approx 0.63\,\text{s}$
(1) つりあい条件 $mg = \rho_0 Sdg$ より $d = \dfrac{m}{\rho_0 S} = \dfrac{2.0}{1000 \times 0.020} = 0.10\,\text{m}$
(2) $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{d}{g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{0.10}{9.8}} \approx 0.63\,\text{s}$
浮力による単振動において、有効ばね定数が $k_{\text{eff}} = \rho_0 Sg$ となることを導け。
つりあいの位置から $x$ だけ下に変位すると、沈み深さが $d + x$ になり、浮力は $\rho_0 S(d+x)g$ となる。重力 $mg = \rho_0 Sdg$ を引くと、合力は $-\rho_0 Sgx$。よってフックの法則 $F = -kx$ と比較して $k_{\text{eff}} = \rho_0 Sg$。
つりあい条件を利用して定数部分を消去することがポイントです。この手法は鉛直ばね振り子でも使います。
断面積 $S$ のU字管に、密度 $\rho$ の液体が全長 $L = 0.80\,\text{m}$ だけ入っている。片方の液面を少し押し下げて放したとき、液体の振動の周期を求めよ。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。
$T \approx 1.3\,\text{s}$
片方を $x$ だけ押し下げると液面差は $2x$。復元力 $F = \rho S \cdot 2x \cdot g = 2\rho Sgx$
全質量 $m = \rho SL$ なので、$m\ddot{x} = -2\rho Sgx$
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2\rho Sg}} = 2\pi\sqrt{\frac{\rho SL}{2\rho Sg}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}}$$
$$= 2\pi\sqrt{\frac{0.80}{2 \times 9.8}} = 2\pi\sqrt{0.0408} \approx 2\pi \times 0.202 \approx 1.3\,\text{s}$$
密度 $\rho = 800\,\text{kg/m}^3$、高さ $h = 0.30\,\text{m}$、断面積 $S$ の角材が密度 $\rho_0 = 1.0 \times 10^3\,\text{kg/m}^3$ の水に浮いている。この物体を少し沈めて放したときの振動の周期を求めよ。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$。
$T \approx 0.98\,\text{s}$
沈み深さ $d = \dfrac{\rho h}{\rho_0} = \dfrac{800 \times 0.30}{1000} = 0.24\,\text{m}$
$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{d}{g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{0.24}{9.8}} \approx 2\pi \times 0.156 \approx 0.98\,\text{s}$
断面積 $S = 0.010\,\text{m}^2$、質量 $M = 1.0\,\text{kg}$ の直方体が水（密度 $\rho_0 = 1.0 \times 10^3\,\text{kg/m}^3$）に浮いている。この物体の上に質量 $m = 0.50\,\text{kg}$ のおもりを静かに載せた。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、次の問いに答えよ。
(1) おもりを載せた後の新しいつりあいの位置での沈み深さを求めよ。
(2) おもりを載せた瞬間の振動の振幅を求めよ。
(3) 振動の周期を求めよ。
(1) $d' = 0.15\,\text{m}$
(2) $A = 0.050\,\text{m}$
(3) $T \approx 0.78\,\text{s}$
(1) 新しいつりあい：$(M + m)g = \rho_0 Sd'g$ より $d' = \dfrac{M+m}{\rho_0 S} = \dfrac{1.5}{1000 \times 0.010} = 0.15\,\text{m}$
(2) 元の沈み深さ $d = M/(\rho_0 S) = 1.0/10 = 0.10\,\text{m}$
おもりを載せた瞬間は元の位置にいるので、新しいつりあいの位置との差 $A = d' - d = 0.050\,\text{m}$ が振幅。
(3) $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M+m}{\rho_0 Sg}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{1.5}{1000 \times 0.010 \times 9.8}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{1.5}{98}} \approx 0.78\,\text{s}$
（別解：$T = 2\pi\sqrt{d'/g} = 2\pi\sqrt{0.15/9.8} \approx 0.78\,\text{s}$）