ばねを2本つないで物体を振動させるとき、振動の周期はどうなるでしょうか。
直列接続では「やわらかく」、並列接続では「硬く」なります。
合成ばね定数を求めれば、あとは単振動の公式をそのまま適用できます。
ばね定数 $k_1$、$k_2$ の2本のばねを並列（左右に並べて同じ物体につなぐ）に接続した場合を考えます。
物体を $x$ だけ変位させると、それぞれのばねが独立に $F_1 = -k_1 x$、$F_2 = -k_2 x$ の力を及ぼします。 合力は、
$$F = -(k_1 + k_2)x$$
$$k = k_1 + k_2$$
並列接続では、2本のばねが同じだけ伸び（縮み）、それぞれの力が合算されます。
ばねが増えるほど復元力が強くなり、振動は速くなります（周期が短くなる）。
物体の両側にばね（$k_1$ と $k_2$）をつけ、それぞれの他端を壁に固定した場合も、実質的に並列接続です。 物体を $x$ だけ右にずらすと、右のばねは $x$ だけ縮み、左のばねは $x$ だけ伸びて、どちらも左向きに力を加えます。
合成ばね定数は $k = k_1 + k_2$ です。
ばね定数 $k_1$、$k_2$ の2本のばねを直列（端から端へ一列につなぐ）に接続した場合を考えます。
直列接続では、各ばねにかかる力は同じですが、伸びが異なります。
合力 $F$ が物体にかかるとき、各ばねの伸びは $x_1 = F/k_1$、$x_2 = F/k_2$。
全体の伸びは $x = x_1 + x_2 = \dfrac{F}{k_1} + \dfrac{F}{k_2}$
合成ばね定数 $k$ は $x = F/k$ を満たすので、
$$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$$
$$k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$$
$$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \quad \Leftrightarrow \quad k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$$
ばねの直列・並列の公式は、電気抵抗と同じ形をしています。しかし、コンデンサーとは逆になるので混乱しがちです。
✕ 誤：直列ばねで $k = k_1 + k_2$ とする
○ 正：直列ばねでは $1/k = 1/k_1 + 1/k_2$（和の逆数）
覚え方：直列 = 変位の足し算 → 逆数の和、並列 = 力の足し算 → 単純な和
直列接続では $k < k_1$ かつ $k < k_2$ となり、元のどちらのばねよりもやわらかくなります。
特に $k_1 = k_2 = k_0$ のとき、$k = k_0/2$ です。同じばねを直列にすると、ばね定数は半分になります。
合成ばね定数 $k$ が分かれば、単振動の周期は通常通り、
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
$$T_{\text{並列}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$$
$$T_{\text{直列}} = 2\pi\sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}$$
同じ2本のばねを使うとき、並列と直列の周期の比は、
$$\frac{T_{\text{直列}}}{T_{\text{並列}}} = \sqrt{\frac{(k_1 + k_2)^2}{k_1 k_2}}$$
$k_1 = k_2 = k_0$ のとき、$T_{\text{直列}}/T_{\text{並列}} = \sqrt{4} = 2$。直列の周期は並列の2倍です。
| 接続方式 | 合成ばね定数 | 周期（$k_1 = k_2 = k_0$ の場合） |
|---|---|---|
| 並列 | $k_1 + k_2$ | $T = 2\pi\sqrt{m/(2k_0)}$（硬い・周期短い） |
| 直列 | $k_1k_2/(k_1+k_2)$ | $T = 2\pi\sqrt{2m/k_0}$（やわらかい・周期長い） |
| 1本だけ | $k_0$ | $T = 2\pi\sqrt{m/k_0}$（基準） |
天井にばね $k_1$ をつけ、その下にばね $k_2$ をつなぎ、最下部に質量 $m$ の物体をつけた場合は直列です。 $k = \dfrac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$、$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$。
物体の左右にばね $k_1$、$k_2$ をつけて壁に固定する場合は並列です。 $k = k_1 + k_2$。
自然長 $L$、ばね定数 $k$ のばねを半分（長さ $L/2$）に切ると、ばね定数は $2k$ になります。
元のばねは「同じ半分のばね2本の直列」と見なせます。
半分のばねのばね定数を $k'$ とすると、直列の公式から $1/k = 1/k' + 1/k' = 2/k'$
よって $k' = 2k$。半分に切るとばね定数は2倍になります。
一般に、$n$ 等分すると各部分のばね定数は $nk$ になります。
✕ 誤：ばねを半分に切ってもばね定数は $k$ のまま
○ 正：ばねを半分に切るとばね定数は $2k$ になる
ばね定数は「ばねの長さに反比例する」と覚えましょう。短いばねほど硬くなります。
直列・並列ばねの概念は、単振動だけでなく、電気回路の合成抵抗・合成容量と同じ発想で理解できます。
Q1. ばね定数 $k_1 = 100\,\text{N/m}$ と $k_2 = 200\,\text{N/m}$ を並列に接続した合成ばね定数はいくらですか。
Q2. 同じ2本のばねを直列に接続した合成ばね定数はいくらですか。
Q3. 直列接続と並列接続、どちらの方が合成ばね定数が大きいですか。
Q4. ばね定数 $k$ のばねを3等分すると、各部分のばね定数はいくらですか。
直列・並列ばねの単振動を入試形式で確認しましょう。
ばね定数 $k_1 = 80\,\text{N/m}$ と $k_2 = 120\,\text{N/m}$ の2本のばねを並列に接続し、質量 $m = 2.0\,\text{kg}$ の物体をつけて水平面上で振動させた。周期を求めよ。
$T \approx 0.63\,\text{s}$
合成ばね定数：$k = k_1 + k_2 = 80 + 120 = 200\,\text{N/m}$
$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2.0}{200}} = 2\pi\sqrt{0.010} = 2\pi \times 0.100 \approx 0.63\,\text{s}$
同じ2本のばねを直列に接続し、同じ質量の物体をつけて振動させた。周期を求めよ。
$T \approx 1.1\,\text{s}$
合成ばね定数：$k = \dfrac{80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{9600}{200} = 48\,\text{N/m}$
$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2.0}{48}} = 2\pi\sqrt{0.0417} \approx 2\pi \times 0.204 \approx 1.3\,\text{s}$
質量 $m = 0.50\,\text{kg}$ の物体の左右にばね定数 $k_1 = 100\,\text{N/m}$、$k_2 = 300\,\text{N/m}$ のばねをつけ、それぞれの他端を壁に固定した。この物体を右に $x_0 = 0.020\,\text{m}$ だけずらして静かに放した。
(1) 振動の周期を求めよ。
(2) 最大速さを求めよ。
(1) $T \approx 0.22\,\text{s}$
(2) $v_{\max} \approx 0.57\,\text{m/s}$
壁に挟まれたので並列接続。$k = 100 + 300 = 400\,\text{N/m}$
(1) $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0.50}{400}} = 2\pi\sqrt{1.25 \times 10^{-3}} \approx 2\pi \times 0.0354 \approx 0.22\,\text{s}$
(2) $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{400/0.50} = \sqrt{800} \approx 28.3\,\text{rad/s}$
$v_{\max} = A\omega = 0.020 \times 28.3 \approx 0.57\,\text{m/s}$
ばね定数 $k = 50\,\text{N/m}$、自然長 $L$ のばねを $1:2$ の長さの比に切った。それぞれのばね定数を求めよ。
短い方（$L/3$）：$k_1 = 150\,\text{N/m}$、長い方（$2L/3$）：$k_2 = 75\,\text{N/m}$
ばね定数は長さに反比例する。元のばねの長さを $L$ とすると、
長さ $L/3$ の部分：$k_1 = k \times \dfrac{L}{L/3} = 3k = 150\,\text{N/m}$
長さ $2L/3$ の部分：$k_2 = k \times \dfrac{L}{2L/3} = \dfrac{3k}{2} = 75\,\text{N/m}$
検算：$\dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2} = \dfrac{1}{150} + \dfrac{1}{75} = \dfrac{1}{150} + \dfrac{2}{150} = \dfrac{3}{150} = \dfrac{1}{50} = \dfrac{1}{k}$ ✓
ばね定数 $k$ のばねを半分に切り、2本のばねを並列に接続して質量 $m$ の物体をつけた。元のばね1本で振動させたときの周期 $T_0$ を使って、この場合の周期 $T$ を表せ。
$T = \dfrac{T_0}{2}$
半分に切ると各ばねのばね定数は $2k$。
並列接続なので合成ばね定数は $2k + 2k = 4k$。
$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{4k}} = \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} = \dfrac{T_0}{2}$
元の周期の半分になります。ばねを切って並列にすると、ばね定数は4倍になるので周期は半分です。