空気中の窒素分子は、秒速何メートルで飛び回っているのでしょうか？
答えは約 $500\,\text{m/s}$ ──音速を超える猛スピードです。
温度と分子の速さの関係を定量的に理解する二乗平均速度 $v_{\text{rms}}$ を学びましょう。
気体中の分子はさまざまな速さで飛び回っています。ある瞬間に速い分子もあれば遅い分子もあり、衝突のたびに速さが変わります。 では、分子の「代表的な速さ」をどう定義すればよいでしょうか？
分子は全方向にランダムに運動しているため、速度（ベクトル）の平均はゼロになります。 そこで、速さの二乗の平均値を取り、その平方根を「代表的な速さ」とします。これが二乗平均速度（root-mean-square speed, $v_{\text{rms}}$）です。
$$v_{\text{rms}} = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_N^2}{N}}$$
二乗平均速度が重要な理由は、分子の平均運動エネルギーが $\overline{v^2}$ に比例するからです。
$$\overline{E_k} = \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{1}{2}m v_{\text{rms}}^2$$
温度は分子の平均運動エネルギーの指標なので、$v_{\text{rms}}$ は温度と直接結びつきます。
気体分子運動論から、分子1個の平均運動エネルギーは $\dfrac{3}{2}k_B T$ であることが導かれます。これと $\dfrac{1}{2}m\overline{v^2}$ を等置すると、$v_{\text{rms}}$ の公式が得られます。
分子1個あたり：
$$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$$
1 mol あたりの式（$M = mN_A$, $R = k_B N_A$）：
$$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$
分子1個の平均運動エネルギー：$\overline{E_k} = \dfrac{1}{2}m\overline{v^2} = \dfrac{3}{2}k_B T$
$\overline{v^2}$ について解くと：$\overline{v^2} = \dfrac{3k_B T}{m}$
平方根をとると：$v_{\text{rms}} = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\dfrac{3k_B T}{m}}$
1 mol について考えると、$k_B = R/N_A$、$m = M/N_A$ を代入して：
$$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3(R/N_A)T}{M/N_A}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$
$v_{\text{rms}} = \sqrt{3RT/M}$ で、$M$ はモル質量を kg/mol 単位で代入します。
✕ 誤：窒素 $N_2$ の $M = 28$（g/mol のまま代入）
○ 正：窒素 $N_2$ の $M = 28 \times 10^{-3}\,\text{kg/mol} = 0.028\,\text{kg/mol}$
g/mol を使うと、$v_{\text{rms}}$ の値が約 $\sqrt{1000} \approx 32$ 倍ずれてしまいます。
$v_{\text{rms}} = \sqrt{3k_B T / m}$ から、いくつかの重要な関係が読み取れます。
$v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$（絶対温度の平方根に比例）。 温度が4倍になると、分子の速さは2倍になります。
$v_{\text{rms}} \propto 1/\sqrt{m}$（分子の質量の平方根に反比例）。 軽い分子ほど速く運動します。
同温で、分子量 $M_A$ の気体Aと分子量 $M_B$ の気体Bの $v_{\text{rms}}$ の比：
$$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{M_B}{M_A}}$$
$\dfrac{1}{2}m\overline{v^2} = \dfrac{3}{2}k_B T$ から、温度が同じなら分子の種類に関わらず平均運動エネルギーは同じです。
軽い分子は速く、重い分子は遅く動くことで、運動エネルギーが揃います。これがエネルギー等分配の法則の帰結です。
水素分子（$M = 2$）の $v_{\text{rms}}$ は約 $1900\,\text{m/s}$（$300\,\text{K}$）で、地球の脱出速度（約 $11\,\text{km/s}$）よりかなり小さいです。しかし、マクスウェル速度分布の「裾野」（高速の分子）は脱出速度を超える場合があり、長い時間をかけて水素は宇宙空間に流出します。地球大気に水素がほとんどないのはこのためです。
$v_{\text{rms}} = \sqrt{3RT/M}$ を使って、身近な気体の分子速度を計算してみましょう。$T = 300\,\text{K}$（約 $27\,\text{°C}$）とします。
| 気体 | 分子量 $M$（g/mol） | $v_{\text{rms}}$（m/s） |
|---|---|---|
| 水素 $\text{H}_2$ | $2.0$ | $\approx 1930$ |
| ヘリウム He | $4.0$ | $\approx 1370$ |
| 水蒸気 $\text{H}_2\text{O}$ | $18$ | $\approx 645$ |
| 窒素 $\text{N}_2$ | $28$ | $\approx 517$ |
| 酸素 $\text{O}_2$ | $32$ | $\approx 484$ |
| 二酸化炭素 $\text{CO}_2$ | $44$ | $\approx 412$ |
$M = 28 \times 10^{-3}\,\text{kg/mol}$、$T = 300\,\text{K}$、$R = 8.31\,\text{J/(mol·K)}$
$$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.31 \times 300}{28 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{7479}{0.028}} = \sqrt{267107} \approx 517\,\text{m/s}$$
これは音速（約 $340\,\text{m/s}$）よりも速い値です。
$v_{\text{rms}}$ は個々の分子のランダムな運動の速さであり、音速とは異なる量です。
✕ 誤：分子の速さ＝音速と考える
○ 正：音速は気体中の疎密波の伝播速度で、$v_{\text{rms}}$ とは概念が異なる（ただし同程度のオーダー）
理想気体の音速は $c = \sqrt{\gamma RT / M}$（$\gamma$：比熱比）で、$v_{\text{rms}}$ と同程度ですが等しくはありません。
実際の分子の速さは一定ではなく、マクスウェル-ボルツマン分布に従います。$v_{\text{rms}}$ はこの分布の「代表値」の一つで、最も確からしい速さ $v_p = \sqrt{2k_B T / m}$ や平均の速さ $\bar{v} = \sqrt{8k_B T / (\pi m)}$ とはわずかに異なります。$v_p < \bar{v} < v_{\text{rms}}$ の関係があります。
分子の速さは、温度のミクロな意味を理解するための核心的な概念です。
Q1. 二乗平均速度 $v_{\text{rms}}$ の定義を式で書いてください。
Q2. 温度が $T$ から $4T$ に上がると、$v_{\text{rms}}$ は何倍になりますか。
Q3. 同温度で、ヘリウム（$M = 4$）と酸素（$M = 32$）の $v_{\text{rms}}$ の比を求めてください。
Q4. 同温の気体で、分子の種類に関わらず等しくなる量は何ですか。
分子の速さを入試形式で確認しましょう。
$27\,\text{°C}$ における酸素分子（分子量 $32$）の二乗平均速度 $v_{\text{rms}}$ を求めよ。$R = 8.3\,\text{J/(mol·K)}$
$v_{\text{rms}} \approx 484\,\text{m/s}$
$T = 300\,\text{K}$、$M = 32 \times 10^{-3}\,\text{kg/mol}$
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}} = \sqrt{\dfrac{3 \times 8.3 \times 300}{32 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\dfrac{7470}{0.032}} = \sqrt{233438} \approx 483\,\text{m/s}$
同温で、水素分子 $\text{H}_2$（分子量 $2.0$）と窒素分子 $\text{N}_2$（分子量 $28$）の二乗平均速度の比 $v_{\text{H}_2} / v_{\text{N}_2}$ を求めよ。
$v_{\text{H}_2} / v_{\text{N}_2} = \sqrt{14} \approx 3.74$
$\dfrac{v_{\text{H}_2}}{v_{\text{N}_2}} = \sqrt{\dfrac{M_{\text{N}_2}}{M_{\text{H}_2}}} = \sqrt{\dfrac{28}{2.0}} = \sqrt{14} \approx 3.74$
水素分子は窒素分子の約 $3.7$ 倍の速さで運動している。
$27\,\text{°C}$ における窒素分子（分子量 $28$）の二乗平均速度が $v_0$ であるとき、以下の問いに答えよ。$R = 8.3\,\text{J/(mol·K)}$
(1) $v_0$ の値を求めよ。
(2) $v_{\text{rms}}$ が $v_0$ の $1.5$ 倍になるのは何 °C のときか。
(3) 同じ温度で、二酸化炭素（分子量 $44$）の $v_{\text{rms}}$ を $v_0$ を用いて表せ。
(1) $v_0 \approx 517\,\text{m/s}$
(2) $402\,\text{°C}$
(3) $v_{\text{CO}_2} = v_0\sqrt{28/44} = v_0\sqrt{7/11}$
(1) $v_0 = \sqrt{\dfrac{3 \times 8.3 \times 300}{28 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\dfrac{7470}{0.028}} = \sqrt{266786} \approx 517\,\text{m/s}$
(2) $v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$ より、$1.5v_0 = v_0\sqrt{T_2/T_1}$
$1.5 = \sqrt{T_2/300}$ → $T_2 = 300 \times 1.5^2 = 300 \times 2.25 = 675\,\text{K}$
$t = 675 - 273 = 402\,\text{°C}$
(3) 同温では $v \propto 1/\sqrt{M}$ なので：
$v_{\text{CO}_2} = v_0 \times \sqrt{\dfrac{M_{\text{N}_2}}{M_{\text{CO}_2}}} = v_0\sqrt{\dfrac{28}{44}} = v_0\sqrt{\dfrac{7}{11}}$