第14章で学んだ熱力学の内容を総合的に演習します。
熱力学第一法則、各状態変化（定積・定圧・等温・断熱）、p-Vグラフ、熱サイクル、熱効率など、章全体の知識を横断的に問う問題に取り組みましょう。
基礎レベル（A）から応用レベル（C）まで、段階的に挑戦してください。
総合演習に取り組む前に、第14章の重要公式を一覧で確認しましょう。
$$Q = \Delta U + W$$
| 状態変化 | 条件 | 第一法則 | 仕事 $W$ |
|---|---|---|---|
| 定積変化 | $V$ 一定 | $Q = \Delta U$ | $0$ |
| 定圧変化 | $p$ 一定 | $Q = \Delta U + p\Delta V$ | $p\Delta V$ |
| 等温変化 | $T$ 一定 | $Q = W$ | p-V曲線の面積 |
| 断熱変化 | $Q = 0$ | $\Delta U = -W$ | $-\Delta U$ |
単原子分子理想気体：$C_v = \dfrac{3}{2}R$、$C_p = \dfrac{5}{2}R$、$\gamma = \dfrac{5}{3}$
マイヤーの関係：$C_p - C_v = R$
熱効率：$\eta = \dfrac{W}{Q_1} = 1 - \dfrac{Q_2}{Q_1}$ カルノー効率：$\eta_C = 1 - \dfrac{T_2}{T_1}$
総合問題を解くための重要な着眼点を整理します。
問題文の条件からどの状態変化かを判別することがすべての出発点です。
「体積一定」→定積、「圧力一定」→定圧、「温度一定」→等温、「断熱容器」「急激な変化」→断熱。条件を見極めたら、対応する公式を適用します。
✕ 誤：「気体がされた仕事」と「気体がした仕事」を混同する
○ 正：$W > 0$は気体が膨張して外部に仕事をした場合。$W < 0$は圧縮されて外部から仕事をされた場合
問題文が「外部にした仕事」「外部からされた仕事」のどちらを問うているか、常に注意しましょう。
p-Vグラフの問題では、次の情報を順に読み取ります。
(1) 各状態の $p$, $V$ の値 → $pV = nRT$ で温度を計算
(2) 状態変化の種類（横線→定圧、縦線→定積、双曲線→等温、急な曲線→断熱）
(3) グラフの面積 → 仕事 $W$ の計算
(4) 熱力学第一法則 $Q = \Delta U + W$ で各量を求める
総合問題では複数のテーマが組み合わされます。どの問題がどのテーマに対応するか意識しながら解きましょう。
| テーマ | よく問われる内容 | 関連記事 |
|---|---|---|
| 熱力学第一法則 | $Q$, $\Delta U$, $W$ の関係 | T-4-1 |
| 定積変化 | $W = 0$、$Q = \Delta U$ | T-4-2 |
| 定圧変化 | $W = p\Delta V$、$C_p = C_v + R$ | T-4-3 |
| 等温変化 | $\Delta U = 0$、$Q = W$、ボイルの法則 | T-4-4 |
| 断熱変化 | $Q = 0$、$\Delta U = -W$ | T-4-5 |
| モル比熱 | $C_v$, $C_p$、マイヤーの関係 | T-4-6 |
| p-Vグラフ | 面積＝仕事、温度の大小比較 | T-4-7 |
| 熱サイクル | $\Delta U = 0$、正味の仕事 | T-4-8 |
| 熱効率 | $\eta = W/Q_1$、カルノー効率 | T-4-9 |
✕ 誤：サイクル全体で $\Delta U \neq 0$ として計算する
○ 正：サイクル全体では元の状態に戻るので $\Delta U = 0$。よって $W_{\text{正味}} = Q_{\text{吸収}} - Q_{\text{放出}}$
第14章「気体の状態変化」は、熱力学第一法則を基本原理として、各状態変化の特徴を理解し、p-Vグラフの読み方、熱サイクル、熱効率まで一貫した体系を形成しています。総合演習はこの体系全体を横断する力を鍛えます。
Q1. 定積変化・定圧変化・等温変化・断熱変化のそれぞれで $0$ になる量を答えてください。
Q2. 単原子分子理想気体 $1\,\text{mol}$ の $C_v$ と $C_p$ の値、およびマイヤーの関係を答えてください。
Q3. サイクルが1周したとき、内部エネルギーの変化 $\Delta U$ はいくらですか。理由も述べてください。
Q4. p-Vグラフにおいて、曲線と $V$ 軸で囲まれた面積は何を表しますか。
第14章の全範囲から出題される総合問題です。A基礎×2、B発展×2、C応用×2の計6問に挑戦しましょう。
単原子分子理想気体 $1\,\text{mol}$ について、以下の問いに答えよ。気体定数を $R$ とする。
(1) 定積変化で温度を $\Delta T$ だけ上昇させるのに必要な熱量 $Q_v$ を $R$ と $\Delta T$ で表せ。
(2) 定圧変化で温度を $\Delta T$ だけ上昇させるのに必要な熱量 $Q_p$ を $R$ と $\Delta T$ で表せ。
(3) $Q_p > Q_v$ となる理由を物理的に説明せよ。
(1) $Q_v = \dfrac{3}{2}R\Delta T$
(2) $Q_p = \dfrac{5}{2}R\Delta T$
(3) 定圧変化では気体が膨張して外部に仕事をするため、内部エネルギーの増加分に加えて仕事の分だけ余分に熱が必要になる。
(1) 定積変化では $W = 0$ なので $Q_v = \Delta U = nC_v\Delta T = 1 \times \frac{3}{2}R \times \Delta T = \frac{3}{2}R\Delta T$
(2) 定圧変化では $Q_p = nC_p\Delta T = 1 \times \frac{5}{2}R \times \Delta T = \frac{5}{2}R\Delta T$
(3) 定圧変化の熱量は $Q_p = \Delta U + W = \frac{3}{2}R\Delta T + R\Delta T = \frac{5}{2}R\Delta T$ と分解できます。同じ温度上昇 $\Delta T$ に対して $\Delta U$ は同じですが、定圧では気体の膨張による仕事 $W = p\Delta V = R\Delta T$ が追加されるため、$Q_p = Q_v + R\Delta T > Q_v$ となります。
ピストン付きシリンダーに単原子分子理想気体が閉じ込められている。次のそれぞれの過程で、$Q$, $\Delta U$, $W$ の符号（正・負・零）を答えよ。
(1) 等温膨張
(2) 断熱圧縮
(3) 定積冷却（温度が下がる定積変化）
(1) $Q > 0$、$\Delta U = 0$、$W > 0$
(2) $Q = 0$、$\Delta U > 0$、$W < 0$
(3) $Q < 0$、$\Delta U < 0$、$W = 0$
(1) 等温なので $T$ 一定 → $\Delta U = 0$。膨張なので $W > 0$。第一法則 $Q = \Delta U + W = W > 0$（吸熱）。
(2) 断熱なので $Q = 0$。圧縮なので $W < 0$（外部から仕事をされる）。第一法則 $\Delta U = Q - W = -W > 0$（温度上昇）。
(3) 定積なので $V$ 一定 → $W = 0$。冷却なので温度が下がり $\Delta U < 0$。第一法則 $Q = \Delta U + W = \Delta U < 0$（放熱）。
単原子分子理想気体 $1\,\text{mol}$ が、次の4つの過程からなる長方形サイクルを行う。気体定数を $R$ とする。
状態A（$p_0$, $V_0$）→ 状態B（$p_0$, $2V_0$）：定圧膨張
状態B（$p_0$, $2V_0$）→ 状態C（$2p_0$, $2V_0$）：定積加熱
状態C（$2p_0$, $2V_0$）→ 状態D（$2p_0$, $V_0$）：定圧圧縮
状態D（$2p_0$, $V_0$）→ 状態A（$p_0$, $V_0$）：定積冷却
(1) 各状態の温度 $T_A$, $T_B$, $T_C$, $T_D$ を $p_0$, $V_0$, $R$ で表せ。
(2) 過程A→Bで気体が吸収した熱量 $Q_{AB}$ を $p_0$ と $V_0$ で表せ。
(3) 過程C→Dで気体が放出した熱量の大きさ $|Q_{CD}|$ を $p_0$ と $V_0$ で表せ。
(4) このサイクル1周で気体がした正味の仕事 $W$ を $p_0$ と $V_0$ で表せ。
(5) このサイクルの熱効率 $\eta$ を求めよ。
(1) $T_A = \dfrac{p_0 V_0}{R}$、$T_B = \dfrac{2p_0 V_0}{R}$、$T_C = \dfrac{4p_0 V_0}{R}$、$T_D = \dfrac{2p_0 V_0}{R}$
(2) $Q_{AB} = \dfrac{5}{2}p_0 V_0$
(3) $|Q_{CD}| = 5p_0 V_0$
(4) $W = p_0 V_0$
(5) $\eta = \dfrac{2}{11}$
(1) 状態方程式 $pV = nRT$（$n = 1$）より：
$T_A = p_0 V_0 / R$、$T_B = p_0 \cdot 2V_0 / R = 2p_0 V_0 / R$
$T_C = 2p_0 \cdot 2V_0 / R = 4p_0 V_0 / R$、$T_D = 2p_0 \cdot V_0 / R = 2p_0 V_0 / R$
$T_B = T_D = 2p_0 V_0 / R$ であることに注意。
(2) A→Bは定圧膨張（圧力 $p_0$）。$\Delta T = T_B - T_A = p_0 V_0 / R$。
$Q_{AB} = nC_p \Delta T = 1 \times \frac{5}{2}R \times \frac{p_0 V_0}{R} = \frac{5}{2}p_0 V_0$
(3) C→Dは定圧圧縮（圧力 $2p_0$）。$\Delta T = T_D - T_C = 2p_0 V_0/R - 4p_0 V_0/R = -2p_0 V_0/R$。
$Q_{CD} = nC_p \Delta T = \frac{5}{2}R \times (-\frac{2p_0 V_0}{R}) = -5p_0 V_0$。放出した熱量の大きさ $|Q_{CD}| = 5p_0 V_0$。
(4) p-Vグラフの長方形の面積が正味の仕事。$W = (2p_0 - p_0)(2V_0 - V_0) = p_0 V_0$。
検算：$W_{AB} = p_0 V_0$、$W_{BC} = 0$（定積）、$W_{CD} = 2p_0(V_0 - 2V_0) = -2p_0 V_0$、$W_{DA} = 0$（定積）。$W = p_0 V_0 + 0 - 2p_0 V_0 + 0 = -p_0 V_0$...は時計回りなので $W = p_0 V_0$。このサイクルはp-Vグラフ上で反時計回り（A→B→C→D→A）です。A($p_0$,$V_0$)→B($p_0$,$2V_0$)→C($2p_0$,$2V_0$)→D($2p_0$,$V_0$)→A は時計回りなので、$W_{\text{net}} = +p_0 V_0$（正味で外部に仕事をする）。
(5) 吸熱した過程は A→B と B→C。
$Q_{BC} = nC_v(T_C - T_B) = \frac{3}{2}R \times \frac{2p_0 V_0}{R} = 3p_0 V_0$（吸熱）
$Q_{\text{in}} = Q_{AB} + Q_{BC} = \frac{5}{2}p_0 V_0 + 3p_0 V_0 = \frac{11}{2}p_0 V_0$
$\eta = W / Q_{\text{in}} = p_0 V_0 / (\frac{11}{2}p_0 V_0) = \frac{2}{11} \approx 0.182$（約18%）
ある熱機関が高温熱源（$T_1 = 600\,\text{K}$）から $Q_1 = 3000\,\text{J}$ の熱を吸収し、低温熱源（$T_2 = 300\,\text{K}$）に熱を放出して動作する。
(1) この熱機関のカルノー効率を求めよ。
(2) 取り出せる仕事の最大値 $W_{\max}$ を求めよ。
(3) 実際にこの機関が $W = 1200\,\text{J}$ の仕事をした場合、低温熱源に放出される熱量 $Q_2$ を求めよ。
(4) (3)の場合の実際の熱効率を求め、カルノー効率と比較せよ。
(1) $\eta_C = 0.50$（50%）
(2) $W_{\max} = 1500\,\text{J}$
(3) $Q_2 = 1800\,\text{J}$
(4) $\eta = 0.40$（40%）。カルノー効率 50% より小さく、熱力学第二法則と矛盾しない。
(1) $\eta_C = 1 - T_2/T_1 = 1 - 300/600 = 0.50$
(2) $W_{\max} = \eta_C \times Q_1 = 0.50 \times 3000 = 1500\,\text{J}$
(3) エネルギー保存より $Q_2 = Q_1 - W = 3000 - 1200 = 1800\,\text{J}$
(4) $\eta = W/Q_1 = 1200/3000 = 0.40$（40%）。$\eta = 0.40 < \eta_C = 0.50$ であり、実際の熱機関の効率はカルノー効率を超えないという熱力学第二法則に整合しています。
単原子分子理想気体 $n\,\text{mol}$ が次の3つの過程からなるサイクルを行う。気体定数を $R$ とする。
状態A（$p_0$, $V_0$）→ 状態B（$p_0$, $3V_0$）：定圧膨張
状態B（$p_0$, $3V_0$）→ 状態C（$3p_0$, $V_0$）：直線的変化（p-Vグラフ上で直線）
状態C（$3p_0$, $V_0$）→ 状態A（$p_0$, $V_0$）：定積変化
(1) 各状態の温度 $T_A$, $T_B$, $T_C$ を $p_0$, $V_0$, $n$, $R$ で表せ。
(2) 過程A→Bで気体が吸収した熱量 $Q_{AB}$ を $p_0$, $V_0$ で表せ。
(3) 過程B→Cで気体がした仕事 $W_{BC}$ を $p_0$, $V_0$ で表せ。（ヒント：p-Vグラフの台形の面積）
(4) 過程C→Aで気体が放出する熱量の大きさ $|Q_{CA}|$ を $p_0$, $V_0$ で表せ。
(5) このサイクルで正味で外部にした仕事 $|W_{\text{net}}|$ と、このサイクルを逆向き（A→C→B→A）に回した場合の熱効率 $\eta$ を求めよ。
(1) $T_A = \dfrac{p_0 V_0}{nR}$、$T_B = \dfrac{3p_0 V_0}{nR}$、$T_C = \dfrac{3p_0 V_0}{nR}$
(2) $Q_{AB} = 5p_0 V_0$
(3) $W_{BC} = -4p_0 V_0$
(4) $|Q_{CA}| = 3p_0 V_0$
(5) $|W_{\text{net}}| = 2p_0 V_0$、逆向きサイクルの $\eta = \dfrac{2}{7}$
(1) 状態方程式 $pV = nRT$ より：
$T_A = p_0 V_0 / (nR)$、$T_B = p_0 \cdot 3V_0 / (nR) = 3T_A$、$T_C = 3p_0 \cdot V_0 / (nR) = 3T_A$
注目：$T_B = T_C = 3T_A$ です。
(2) A→Bは定圧膨張（圧力 $p_0$）。
$Q_{AB} = nC_p(T_B - T_A) = n \cdot \frac{5}{2}R \cdot 2T_A = 5nRT_A = 5p_0 V_0$
(3) B→Cはp-Vグラフ上で直線。体積が $3V_0 \to V_0$ に減少（圧縮）なので仕事は負です。台形の面積（符号付き）を計算します。
$W_{BC} = \frac{1}{2}(p_B + p_C)(V_C - V_B) = \frac{1}{2}(p_0 + 3p_0)(V_0 - 3V_0) = \frac{1}{2} \cdot 4p_0 \cdot (-2V_0) = -4p_0 V_0$
(4) C→Aは定積変化（$V = V_0$ 一定）なので $W_{CA} = 0$。
$Q_{CA} = nC_v(T_A - T_C) = n \cdot \frac{3}{2}R \cdot (T_A - 3T_A) = -3nRT_A = -3p_0 V_0$（放熱）
$|Q_{CA}| = 3p_0 V_0$
(5) 各過程の仕事の合計：$W_{AB} = p_0 \cdot 2V_0 = 2p_0 V_0$、$W_{BC} = -4p_0 V_0$、$W_{CA} = 0$。
$W_{\text{net}} = 2p_0 V_0 - 4p_0 V_0 = -2p_0 V_0$（負＝反時計回りの逆サイクル）
p-Vグラフで囲まれた三角形の面積は $\frac{1}{2} \times (3V_0 - V_0) \times (3p_0 - p_0) = 2p_0 V_0$ と一致します。
A→B→C→Aは反時計回り（逆サイクル）なので、正サイクルは逆向きの A→C→B→A（時計回り）。
逆向きサイクル A→C→B→A では：A→Cで定積加熱 $Q_{AC} = 3p_0 V_0$（吸熱）、C→Bで直線膨張 $W_{CB} = 4p_0 V_0$、$\Delta U_{CB} = 0$（$T_C = T_B$）なので $Q_{CB} = W_{CB} = 4p_0 V_0$（吸熱）。
$Q_{\text{in}} = Q_{AC} + Q_{CB} = 3p_0 V_0 + 4p_0 V_0 = 7p_0 V_0$
$\eta = |W_{\text{net}}| / Q_{\text{in}} = 2p_0 V_0 / 7p_0 V_0 = 2/7 \approx 0.286$（約29%）
単原子分子理想気体 $1\,\text{mol}$ を用いた以下のサイクルを考える。気体定数を $R$ とする。
状態A（$T_A = 300\,\text{K}$）から出発し、次の3つの過程を行う。
A → B：断熱圧縮（温度が $300\,\text{K}$ → $600\,\text{K}$ に上昇）
B → C：定圧膨張（温度が $600\,\text{K}$ → $1200\,\text{K}$ に上昇）
C → A：定積冷却（温度が $1200\,\text{K}$ → $300\,\text{K}$ に低下）
(1) 過程A→Bで外部から気体にされた仕事の大きさ $|W_{AB}|$ を $R$ を用いて表せ。
(2) 過程B→Cで気体が吸収した熱量 $Q_{BC}$ を $R$ を用いて表せ。
(3) 過程C→Aで気体が放出した熱量の大きさ $|Q_{CA}|$ を $R$ を用いて表せ。
(4) このサイクルで気体が正味でした仕事 $W_{\text{net}}$ を $R$ を用いて表せ。
(5) このサイクルの熱効率 $\eta$ を求めよ。
(1) $|W_{AB}| = 450R\,\text{J}$
(2) $Q_{BC} = 1500R\,\text{J}$
(3) $|Q_{CA}| = 1350R\,\text{J}$
(4) $W_{\text{net}} = 150R\,\text{J}$
(5) $\eta = 0.10$（10%）
(1) A→Bは断熱圧縮なので $Q = 0$。第一法則より $\Delta U = -W$。
$\Delta U_{AB} = nC_v(T_B - T_A) = 1 \times \frac{3}{2}R \times (600 - 300) = 450R$
断熱なので $W_{AB} = -\Delta U_{AB} = -450R$（$W < 0$：圧縮なので気体は仕事をされている）。外部から気体にされた仕事の大きさは $|W_{AB}| = 450R\,\text{J}$。
(2) B→Cは定圧膨張。
$Q_{BC} = nC_p(T_C - T_B) = 1 \times \frac{5}{2}R \times (1200 - 600) = 1500R\,\text{J}$（$Q > 0$：吸熱）
(3) C→Aは定積冷却。$W = 0$ なので $Q_{CA} = \Delta U_{CA}$。
$Q_{CA} = nC_v(T_A - T_C) = 1 \times \frac{3}{2}R \times (300 - 1200) = -1350R$
$Q_{CA} < 0$（放熱）。放出した熱量の大きさは $|Q_{CA}| = 1350R\,\text{J}$。
(4) サイクル1周で $\Delta U = 0$ なので $W_{\text{net}} = Q_{\text{net}}$。
$W_{\text{net}} = Q_{AB} + Q_{BC} + Q_{CA} = 0 + 1500R + (-1350R) = 150R\,\text{J}$
(5) 吸収した熱量の合計 $Q_{\text{in}} = Q_{BC} = 1500R$（A→Bは $Q = 0$、C→Aは放熱）。
$\eta = W_{\text{net}} / Q_{\text{in}} = 150R / 1500R = 0.10$（10%）
検算：カルノー効率 $\eta_C = 1 - T_{\text{low}}/T_{\text{high}} = 1 - 300/1200 = 0.75$。実際の効率 $\eta = 0.10 < 0.75 = \eta_C$（OK）。