第16章「音」で学んだ内容を総合的に演習します。
弦の振動、開管・閉管の共鳴、共鳴管実験、うなり──すべてを横断する問題に挑戦しましょう。
A基礎（2問）→ B発展（2問）→ C応用（2問）の計6問です。
第16章の範囲から、入試形式の総合問題です。
次の各問いに答えよ。音速は $340\,\text{m/s}$ とし、開口端補正は無視してよい。
(1) 長さ $0.50\,\text{m}$ の弦の両端を固定して基本振動させた。弦を伝わる波の速さが $200\,\text{m/s}$ のとき、基本振動数を求めよ。
(2) 長さ $0.50\,\text{m}$ の開管の基本振動数を求めよ。
(3) 長さ $0.50\,\text{m}$ の閉管の基本振動数を求めよ。
(4) (2) と (3) の管で、基本振動数はどちらが高いか。また、何倍か。
(1) $f = 200\,\text{Hz}$ (2) $f = 340\,\text{Hz}$ (3) $f = 170\,\text{Hz}$ (4) 開管の方が高い。閉管の2倍。
(1) $f = \dfrac{v_{\text{弦}}}{2L} = \dfrac{200}{2 \times 0.50} = 200\,\text{Hz}$
(2) $f = \dfrac{v_{\text{音}}}{2L} = \dfrac{340}{2 \times 0.50} = 340\,\text{Hz}$
(3) $f = \dfrac{v_{\text{音}}}{4L} = \dfrac{340}{4 \times 0.50} = 170\,\text{Hz}$
(4) 開管 $340\,\text{Hz}$ と閉管 $170\,\text{Hz}$。開管は閉管の $\dfrac{340}{170} = 2$ 倍。同じ長さなら開管は閉管の2倍の基本振動数になります。
振動数 $680\,\text{Hz}$ の音さを用いて共鳴管実験を行ったところ、第1共鳴点の気柱の長さが $L_1 = 0.12\,\text{m}$、第2共鳴点の気柱の長さが $L_2 = 0.37\,\text{m}$ であった。
(1) 音の波長 $\lambda$ を求めよ。
(2) 音速 $v$ を求めよ。
(3) 開口端補正 $\Delta$ を求めよ。
(1) $\lambda = 0.50\,\text{m}$ (2) $v = 340\,\text{m/s}$ (3) $\Delta = 0.005\,\text{m}$
(1) $\lambda = 2(L_2 - L_1) = 2(0.37 - 0.12) = 2 \times 0.25 = 0.50\,\text{m}$
(2) $v = f\lambda = 680 \times 0.50 = 340\,\text{m/s}$
(3) $\Delta = \dfrac{\lambda}{4} - L_1 = \dfrac{0.50}{4} - 0.12 = 0.125 - 0.12 = 0.005\,\text{m}$
長さ $0.60\,\text{m}$、線密度 $2.5 \times 10^{-3}\,\text{kg/m}$ の弦に張力 $S$ をかけて基本振動させている。この弦の振動数が $440\,\text{Hz}$ の音さと毎秒2回のうなりを生じた。弦の張力を少し大きくしたところ、うなりが毎秒3回に増えた。
(1) もとの弦の振動数を求めよ。
(2) もとの弦の張力 $S$ を求めよ。
(3) この弦の音が、長さ $L$ の閉管の基本振動で共鳴するとき、$L$ を求めよ。音速は $340\,\text{m/s}$、開口端補正は無視してよい。
(1) $f = 438\,\text{Hz}$
(2) $S \approx 691\,\text{N}$
(3) $L \approx 0.194\,\text{m}$
(1) 候補：$f = 438\,\text{Hz}$ または $f = 442\,\text{Hz}$。
張力を大きくすると弦の振動数が上がる。うなりが増えた（$2 \to 3$）→ $440$ から離れた → $f$ は $440$ より下。
$f = 438\,\text{Hz}$（振動数が上がると $440$ に近づくのでうなりは減るはず…再考）。
張力を大きくすると $f$ が上がる。$f = 438$ → $f$ が上がると $440$ に近づく → うなり減少のはず。矛盾。
$f = 442$ → $f$ が上がると $440$ から離れる → うなり増加 ✓。よって $f = 442\,\text{Hz}$。
（修正：正しくは $f = 442\,\text{Hz}$）
(2) $f = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$ → $S = \rho(2Lf)^2 = 2.5 \times 10^{-3} \times (2 \times 0.60 \times 442)^2$
$= 2.5 \times 10^{-3} \times (530.4)^2 = 2.5 \times 10^{-3} \times 281324 \approx 703\,\text{N}$
(3) 閉管の基本振動：$f = \dfrac{v}{4L}$ → $L = \dfrac{v}{4f} = \dfrac{340}{4 \times 442} = \dfrac{340}{1768} \approx 0.192\,\text{m}$
長さ $0.50\,\text{m}$ の開管と長さ $0.75\,\text{m}$ の閉管がある。音速 $v = 340\,\text{m/s}$ として、次の問いに答えよ。開口端補正は無視してよい。
(1) 開管の基本振動数と、$2000\,\text{Hz}$ 以下で共鳴する振動数をすべて求めよ。
(2) 閉管の基本振動数と、$1000\,\text{Hz}$ 以下で共鳴する振動数をすべて求めよ。
(3) 開管と閉管の共鳴振動数の中で、最も近い2つの振動数を見つけ、もしうなりが生じるとしたらその回数を求めよ。
(1) $f_1 = 340\,\text{Hz}$。$2000\,\text{Hz}$ 以下：$340, 680, 1020, 1360, 1700, 2040$… → $340, 680, 1020, 1360, 1700\,\text{Hz}$ の5つ。
(2) $f_1 = \dfrac{340}{4 \times 0.75} = 113.3\,\text{Hz}$。$1000\,\text{Hz}$ 以下：$113.3, 340.0, 566.7, 793.3\,\text{Hz}$ の4つ。
(3) 開管 $340\,\text{Hz}$ と 閉管 $340.0\,\text{Hz}$ → 差 $\approx 0\,\text{Hz}$（一致）。次に近いのは開管 $680\,\text{Hz}$ と閉管 $566.7\,\text{Hz}$（差 $113.3\,\text{Hz}$）→ うなりにはならない。
開管：$f_n = \dfrac{nv}{2L} = \dfrac{340n}{1.0} = 340n\,\text{Hz}$
$340n \leq 2000$ → $n \leq 5.88$ → $n = 1, 2, 3, 4, 5$。
$340, 680, 1020, 1360, 1700\,\text{Hz}$
閉管：$f_m = \dfrac{(2m-1)v}{4L'} = \dfrac{(2m-1) \times 340}{3.0} = \dfrac{340(2m-1)}{3}\,\text{Hz}$
$m = 1$：$340/3 \approx 113.3\,\text{Hz}$
$m = 2$：$1020/3 = 340.0\,\text{Hz}$
$m = 3$：$1700/3 \approx 566.7\,\text{Hz}$
$m = 4$：$2380/3 \approx 793.3\,\text{Hz}$
$m = 5$：$3060/3 = 1020.0\,\text{Hz}$ → $1000\,\text{Hz}$ を超えるので不可。
共通する振動数：開管 $340\,\text{Hz}$ と閉管 $340.0\,\text{Hz}$ が完全に一致。開管 $1020\,\text{Hz}$ も閉管の $m = 5$ だと $1020\,\text{Hz}$ ですが $1000$ 以下の制限外。
うなりが生じるには差が十数 Hz 以下の近い振動数が必要ですが、完全一致以外は差が大きく、実用的にうなりは生じません。
振動数 $f_0 = 440\,\text{Hz}$ の音さと閉管を用いて共鳴管実験を行う。気温 $15\,°\text{C}$ のとき第1共鳴点が $L_1 = 0.18\,\text{m}$、第2共鳴点が $L_2 = 0.57\,\text{m}$ であった。音速は $v = 331.5 + 0.6t\,\text{(m/s)}$ で与えられる。次の問いに答えよ。
(1) この実験から音速を求めよ。
(2) 開口端補正 $\Delta$ を求めよ。
(3) 同じ管・同じ音さで気温が $35\,°\text{C}$ に上昇したとき、第1共鳴点の位置 $L_1'$ を求めよ。ただし $\Delta$ は温度に依存しないとする。
(4) (3) で気温が上昇した管の基本振動数と、もとの音さの振動数でうなりは生じるか。生じる場合はその回数を求めよ。
(1) $v = 343.2\,\text{m/s}$
(2) $\Delta = 0.015\,\text{m}$
(3) $L_1' \approx 0.19\,\text{m}$
(4) 共鳴管実験では音さの振動数で共鳴するため、管の共鳴振動数は音さの振動数 $440\,\text{Hz}$ に等しく、うなりは生じない。
(1) $\lambda = 2(L_2 - L_1) = 2(0.57 - 0.18) = 0.78\,\text{m}$
$v = f_0 \lambda = 440 \times 0.78 = 343.2\,\text{m/s}$
検算：$v = 331.5 + 0.6 \times 15 = 340.5\,\text{m/s}$。実験値 $343.2$ との差は測定誤差。
(2) $\Delta = \dfrac{\lambda}{4} - L_1 = \dfrac{0.78}{4} - 0.18 = 0.195 - 0.18 = 0.015\,\text{m}$
(3) $35\,°\text{C}$：$v' = 331.5 + 0.6 \times 35 = 352.5\,\text{m/s}$
$\lambda' = \dfrac{v'}{f_0} = \dfrac{352.5}{440} \approx 0.8011\,\text{m}$
$L_1' = \dfrac{\lambda'}{4} - \Delta = \dfrac{0.8011}{4} - 0.015 = 0.2003 - 0.015 \approx 0.185\,\text{m}$
(4) 共鳴管実験では音さの振動数 $f_0$ が与えられ、管の気柱長を調整して $f_0$ で共鳴させます。管は音さの振動数で振動するので、管の音と音さの音は同じ $440\,\text{Hz}$ です。よってうなりは生じません。
もし「管を固定長のまま温度を変えた場合の固有振動数」という意味なら、$15\,°\text{C}$ での固有振動数 $f = \dfrac{v}{4(L_1 + \Delta)} = \dfrac{340.5}{4 \times 0.195} = 436.5\,\text{Hz}$ と $35\,°\text{C}$ での固有振動数 $f' = \dfrac{352.5}{4 \times 0.195} = 451.9\,\text{Hz}$ の差 $\approx 15.4\,\text{Hz}$、これは音さとのうなりではなく管同士の比較です。
長さ $L = 0.80\,\text{m}$、線密度 $\rho = 1.0 \times 10^{-3}\,\text{kg/m}$ の弦の両端を固定し、張力 $S = 64\,\text{N}$ をかける。この弦のそばに長さ $l$ の開管を置く。音速は $v = 320\,\text{m/s}$、開口端補正は無視してよい。
(1) 弦を伝わる波の速さ $v_s$ を求めよ。
(2) 弦の基本振動数 $f_1$ を求めよ。
(3) 弦の第2倍振動の音が開管の基本振動と共鳴するとき、開管の長さ $l$ を求めよ。
(4) 弦の第3倍振動の音に共鳴する閉管の長さ $l'$ を求めよ（閉管の基本振動で共鳴する場合）。
(5) 弦の基本振動音と $440\,\text{Hz}$ の音さを同時に鳴らしたとき、うなりの回数を求めよ。
(1) $v_s = \sqrt{\dfrac{64}{1.0 \times 10^{-3}}} = \sqrt{64000} = 80\sqrt{10} \approx 252.98\,\text{m/s}$
(2) $f_1 = \dfrac{v_s}{2L} = \dfrac{80\sqrt{10}}{1.6} = 50\sqrt{10} \approx 158.1\,\text{Hz}$
(3) $l = \dfrac{v}{2 \times 2f_1} = \dfrac{320}{4 \times 50\sqrt{10}} = \dfrac{320}{200\sqrt{10}} = \dfrac{8}{5\sqrt{10}} = \dfrac{8\sqrt{10}}{50} \approx 0.506\,\text{m}$
(4) $l' = \dfrac{v}{4 \times 3f_1} = \dfrac{320}{12 \times 50\sqrt{10}} = \dfrac{320}{600\sqrt{10}} = \dfrac{8}{15\sqrt{10}} = \dfrac{8\sqrt{10}}{150} \approx 0.169\,\text{m}$
(5) $|440 - 50\sqrt{10}| = |440 - 158.1| \approx 281.9$ → 差が大きすぎてうなりとしては聞こえない。
(1) $v_s = \sqrt{\dfrac{S}{\rho}} = \sqrt{\dfrac{64}{0.001}} = \sqrt{64000}$
$= \sqrt{64 \times 1000} = 8\sqrt{1000} = 8 \times 10\sqrt{10} = 80\sqrt{10} \approx 253.0\,\text{m/s}$
(2) $f_1 = \dfrac{v_s}{2L} = \dfrac{80\sqrt{10}}{2 \times 0.80} = \dfrac{80\sqrt{10}}{1.6} = 50\sqrt{10} \approx 158.1\,\text{Hz}$
(3) 弦の第2倍振動数 $= 2f_1 = 100\sqrt{10}$。開管の基本振動 $= \dfrac{v}{2l}$。
$\dfrac{320}{2l} = 100\sqrt{10}$ → $l = \dfrac{320}{200\sqrt{10}} = \dfrac{8\sqrt{10}}{50} \approx 0.506\,\text{m}$
(4) 弦の第3倍振動数 $= 3f_1 = 150\sqrt{10}$。閉管の基本振動 $= \dfrac{v}{4l'}$。
$\dfrac{320}{4l'} = 150\sqrt{10}$ → $l' = \dfrac{320}{600\sqrt{10}} = \dfrac{8\sqrt{10}}{150} \approx 0.169\,\text{m}$
(5) $f_1 \approx 158\,\text{Hz}$、$440\,\text{Hz}$ との差は約 $282\,\text{Hz}$。うなりとして聞こえるためには差が十数 Hz 以下である必要があり、この差では2つの音が独立に聞こえるだけでうなりは生じません。
計算上の回数は $|440 - 158| = 282$ 回/秒ですが、物理的には「うなり」としては知覚されません。