前の記事では音源が動く場合を学びました。今度は音源は静止し、観測者が動く場合を考えます。
メカニズムは全く異なりますが、結果として観測振動数が変化するという点は同じです。2つのケースの違いを明確に理解することがドップラー効果を得点源にする鍵です。
音源が静止している場合、媒質中の波長 $\lambda = V/f$ は変化しません。波面は等間隔で広がっています。
観測者が波に向かって動くと、観測者は静止しているときよりも速く波面に出会うことになります。 つまり、観測者にとっての波の相対速度が変わるのです。
音源が動く場合は波長が変わりました。観測者が動く場合は波長は変わらず、観測者が波面を受け取る速さ（相対速度）が変わるのです。
観測者が音源に向かって進むと、波面に「迎えに行く」ので出会う頻度が上がり、振動数が高くなります。
音源は静止して振動数 $f$、音速 $V$ の音を出しています。観測者が速さ $v_o$ で音源に近づく場合を考えます。
音源が静止しているので、媒質中の波長は $\lambda = V/f$ で一定です。
観測者が速さ $v_o$ で音源に向かって動くと、観測者から見た音波の相対速度は
$$V_{\text{rel}} = V + v_o$$
（波は観測者に向かって速さ $V$ で進み、観測者も速さ $v_o$ で波に向かって進むため）
波長は変わらないので、観測される振動数は
$$f' = \frac{V_{\text{rel}}}{\lambda} = \frac{V + v_o}{V/f} = f \cdot \frac{V + v_o}{V}$$
$$f' = f \cdot \frac{V + v_o}{V}$$
$V + v_o > V$ なので $f' > f$（振動数が高くなる）
観測者が速さ $v_o$ で音源から遠ざかる場合、観測者は波から「逃げる」ので、波面に出会う頻度が下がります。
$$f' = f \cdot \frac{V - v_o}{V}$$
$V - v_o < V$ なので $f' < f$（振動数が低くなる）
音源移動と観測者移動では、$v_s$ や $v_o$ が式の分母と分子の違う位置に入ります。
✕ 誤：音源移動 $f' = f(V + v_s)/V$
○ 正：音源移動 $f' = fV/(V \mp v_s)$（分母に $v_s$）、観測者移動 $f' = f(V \pm v_o)/V$（分子に $v_o$）
覚え方：音源は分母、観測者は分子。
音源が動く場合と観測者が動く場合、同じ速さであっても観測振動数は一般に異なります。これはガリレイの相対性が音波では成り立たないことを意味します。
| 音源が動く場合 | 観測者が動く場合 | |
|---|---|---|
| 何が変わるか | 媒質中の波長 | 観測者にとっての相対速度 |
| 波長 | 変化する | 変化しない |
| 音速 | 変化しない | 見かけ上変化（相対速度） |
| 公式 | $f' = fV/(V - v_s)$ | $f' = f(V + v_o)/V$ |
| $v$ の位置 | 分母 | 分子 |
音波には媒質（空気）が存在します。音源の運動は媒質中の波長を物理的に変えますが、観測者の運動は波長を変えません。
これに対し、光（電磁波）には媒質がないため、音源と観測者の区別は本質的に存在しません。光のドップラー効果は相対論的に扱う必要があります。
$v_s$ や $v_o$ が音速 $V$ に比べて十分小さい場合、両者の公式はほぼ同じ値を与えます。
音源移動：$f' \approx f(1 + v_s/V)$（$v_s \ll V$ での1次近似）
観測者移動：$f' = f(1 + v_o/V)$
$v_s = v_o$ なら1次近似で同じ。差が現れるのは2次以降の項で、$v/V$ が大きいときに顕著になります。
観測者移動のドップラー効果は、次の記事で学ぶ統一公式の「分子側」を担当します。
Q1. 観測者が音源に近づくとき、観測振動数の公式を書いてください。
Q2. 観測者が動く場合、媒質中の波長は変化しますか。
Q3. 音源移動と観測者移動で、速さ $v$ が式のどこに入るか述べてください。
Q4. 音源移動と観測者移動で同じ速さのとき、観測振動数は同じになりますか。
観測者が動く場合のドップラー効果を入試形式で確認しましょう。
静止した音源が振動数 $f = 440\,\text{Hz}$ の音を出している。観測者が速さ $v_o = 17\,\text{m/s}$ で音源に近づくとき、観測者が聞く振動数を求めよ。音速を $V = 340\,\text{m/s}$ とする。
$f' = 462\,\text{Hz}$
$$f' = f \cdot \frac{V + v_o}{V} = 440 \times \frac{340 + 17}{340} = 440 \times \frac{357}{340} = 462\,\text{Hz}$$
上の条件で、観測者が同じ速さ $v_o = 17\,\text{m/s}$ で音源から遠ざかる場合の振動数を求めよ。
$f' = 418\,\text{Hz}$
$$f' = f \cdot \frac{V - v_o}{V} = 440 \times \frac{340 - 17}{340} = 440 \times \frac{323}{340} = 418\,\text{Hz}$$
音速 $V = 340\,\text{m/s}$、振動数 $f = 1000\,\text{Hz}$ のとき、次の2つの場合の観測振動数をそれぞれ求めよ。
(1) 音源が速さ $34\,\text{m/s}$ で静止した観測者に近づく場合
(2) 観測者が速さ $34\,\text{m/s}$ で静止した音源に近づく場合
(3) 両者の振動数が異なる理由を説明せよ。
(1) $f_1 \approx 1111\,\text{Hz}$
(2) $f_2 = 1100\,\text{Hz}$
(3) 解説参照
(1) $f_1 = 1000 \times \dfrac{340}{340 - 34} = 1000 \times \dfrac{340}{306} \approx 1111\,\text{Hz}$
(2) $f_2 = 1000 \times \dfrac{340 + 34}{340} = 1000 \times \dfrac{374}{340} = 1100\,\text{Hz}$
(3) 音源移動では波長が物理的に変化するため $f' = fV/(V-v_s)$、観測者移動では相対速度が変化するため $f' = f(V+v_o)/V$。式の構造が異なるため、同じ速さでも結果が異なる。これは音波に媒質（空気）が存在し、音源と観測者で「誰が動いているか」を媒質が区別できるためである。
静止した音源が振動数 $f = 680\,\text{Hz}$ の音を出している。観測者が音源に向かって走ると、音の振動数が $f' = 700\,\text{Hz}$ に聞こえた。音速を $V = 340\,\text{m/s}$ として、観測者の速さ $v_o$ を求めよ。
$v_o = 10\,\text{m/s}$
$f' = f \cdot \dfrac{V + v_o}{V}$ より
$700 = 680 \times \dfrac{340 + v_o}{340}$
$\dfrac{700}{680} = \dfrac{340 + v_o}{340}$
$\dfrac{35}{34} = \dfrac{340 + v_o}{340}$
$340 + v_o = 340 \times \dfrac{35}{34} = 350$
$v_o = 10\,\text{m/s}$