虫眼鏡で太陽光を集めたり、カメラのピントを合わせたり——レンズは日常生活で最も身近な光学素子です。
凸レンズと凹レンズの2種類があり、物体の位置によって実像か虚像か、正立か倒立かが変わります。
ここではレンズの公式と倍率を学び、像の位置と大きさを定量的に求められるようになりましょう。
凸レンズ（収束レンズ）は光を集め、凹レンズ（発散レンズ）は光を広げるレンズです。
実像：実際に光が集まってできる像。スクリーンに映せる。レンズの反対側にできる。倒立。
虚像：光線を延長した先にあるように見える像。スクリーンには映せない。レンズの物体と同じ側にできる。正立。
凸レンズでは物体が焦点より遠いと実像、焦点より近いと虚像。凹レンズでは常に虚像。
これらの光線のうち2本を描けば、像の位置と大きさが作図で求まります。
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$
物体の高さを $h$、像の高さを $h'$ とします。
光軸に平行な光がレンズを通って焦点を通る光線と、レンズの中心をまっすぐ通る光線の交点が像の位置です。
相似な三角形から次の2つの関係が得られます。
$$\frac{h'}{h} = \frac{b}{a} \quad \text{…①（中心を通る光線の相似）}$$
$$\frac{h'}{h} = \frac{b - f}{f} \quad \text{…②（平行光線の焦点通過の相似）}$$
①②から $\dfrac{b}{a} = \dfrac{b - f}{f}$ → $bf = a(b - f) = ab - af$
両辺を $abf$ で割ると $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}$
レンズの公式を使うときは、符号の約束を守ることが絶対条件です。
✕ 誤：すべての距離を正の値として代入する
○ 正：凹レンズの焦点距離は負（$f < 0$）、虚像の像距離は負（$b < 0$）
符号を間違えると、実像と虚像を取り違えてしまいます。
| 量 | 正の場合 | 負の場合 |
|---|---|---|
| 物体距離 $a$ | 常に正 | （通常は負にならない） |
| 像距離 $b$ | 実像（レンズの反対側） | 虚像（レンズの物体側） |
| 焦点距離 $f$ | 凸レンズ | 凹レンズ |
$$m = \frac{b}{a}$$
| 物体の位置 | 像の種類 | 像の大きさ | 像の向き |
|---|---|---|---|
| $a > 2f$ | 実像 | 縮小（$|m| < 1$） | 倒立 |
| $a = 2f$ | 実像 | 等倍（$|m| = 1$） | 倒立 |
| $f < a < 2f$ | 実像 | 拡大（$|m| > 1$） | 倒立 |
| $a = f$ | 像なし | （平行光になる） | — |
| $a < f$ | 虚像 | 拡大（$|m| > 1$） | 正立 |
$a = 2f$ のとき、レンズの公式から $b = 2f$ となり、$m = b/a = 1$（等倍）です。
物体と像がともに焦点距離の2倍の位置にあり、左右対称な配置になります。これはカメラの1:1マクロ撮影に対応します。
物体を凸レンズの焦点より内側（$a < f$）に置くと、正立拡大の虚像ができます。これが虫眼鏡のしくみです。
倍率は $m = \dfrac{b}{a}$ ですが、虚像の場合 $b < 0$ なので実際に見える大きさは $|m| = \dfrac{|b|}{a}$ で評価します。物体を焦点に近づけるほど倍率は大きくなりますが、像がぼやけてきます。
凹レンズの焦点距離は負（$f < 0$）です。レンズの公式はそのまま使えます。
凹レンズでは、物体がどこにあっても常に正立縮小の虚像ができます。 像はレンズと物体の間にでき、$b$ は常に負になります。
単独の凹レンズでは実像はできません。
✕ 誤：凹レンズでも物体を遠くに置けば実像ができる
○ 正：凹レンズ単独では常に虚像（正立縮小）。ただし、凸レンズと組み合わせれば実像を作れる。
近視：眼球のレンズ（水晶体）の焦点距離が短すぎて、像が網膜の手前にできる。凹レンズで発散させて焦点を後ろにずらす。
遠視：焦点距離が長すぎて、像が網膜の後ろにできる。凸レンズで収束させて焦点を手前にずらす。
眼鏡やコンタクトレンズのレンズの度数は「ディオプター」（$D = 1/f$、$f$ はメートル単位）で表されます。
レンズの公式は光学の基本ツールであり、カメラ・眼鏡・顕微鏡・望遠鏡など広範な応用があります。
Q1. レンズの公式を書いてください。
Q2. 焦点距離 $20\,\text{cm}$ の凸レンズの焦点距離の2倍の位置に物体を置いたとき、像の位置と倍率を求めてください。
Q3. 凹レンズで実像はできますか。
Q4. 凸レンズで虚像ができるのは、物体をどこに置いた場合ですか。
レンズの公式を使いこなす練習をしましょう。
焦点距離 $f = 10\,\text{cm}$ の凸レンズから $30\,\text{cm}$ の位置に物体を置いた。像の位置と倍率を求めよ。
$b = 15\,\text{cm}$（レンズの反対側、実像）、$m = 0.50$（縮小倒立）
$\dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{10}$
$\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{3-1}{30} = \dfrac{2}{30}$
$b = 15\,\text{cm}$（正なので実像）
$m = \dfrac{b}{a} = \dfrac{15}{30} = 0.50$（$|m| < 1$ なので縮小、正なので倒立実像）
焦点距離 $f = 15\,\text{cm}$ の凸レンズから $10\,\text{cm}$ の位置に物体を置いた。像の位置と種類を求めよ。
$b = -30\,\text{cm}$（虚像）、$m = -3.0$（正立拡大の虚像、像の大きさは3倍）
$a = 10 < f = 15$ なので虚像になることが予測されます。
$\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{15}$
$\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{2-3}{30} = -\dfrac{1}{30}$
$b = -30\,\text{cm}$（負なので虚像）
$m = \dfrac{-30}{10} = -3.0$。像の大きさは物体の3倍で、正立の虚像です。
焦点距離の大きさが $20\,\text{cm}$ の凹レンズから $60\,\text{cm}$ の位置に物体を置いた。像の位置、倍率、像の種類を求めよ。
$b = -15\,\text{cm}$（虚像）、$m = -0.25$（正立縮小）
凹レンズなので $f = -20\,\text{cm}$
$\dfrac{1}{60} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{-20}$
$\dfrac{1}{b} = -\dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{60} = \dfrac{-3-1}{60} = -\dfrac{4}{60}$
$b = -15\,\text{cm}$（負なので虚像。物体と同じ側にできる。）
$m = \dfrac{-15}{60} = -0.25$（正立縮小の虚像）
ある凸レンズから $24\,\text{cm}$ の位置に物体を置いたところ、レンズの反対側 $40\,\text{cm}$ の位置に実像ができた。このレンズの焦点距離を求めよ。
$f = 15\,\text{cm}$
$\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{40}$
$= \dfrac{5 + 3}{120} = \dfrac{8}{120} = \dfrac{1}{15}$
$f = 15\,\text{cm}$
焦点距離 $f_1 = 20\,\text{cm}$ の凸レンズと焦点距離 $f_2 = -30\,\text{cm}$ の凹レンズが $10\,\text{cm}$ の間隔で並んでいる。凸レンズから $60\,\text{cm}$ の位置に物体を置いたとき、最終的な像の位置を求めよ。
凹レンズから $60\,\text{cm}$ の位置に実像ができる。
Step1：凸レンズによる像
$\dfrac{1}{60} + \dfrac{1}{b_1} = \dfrac{1}{20}$ → $b_1 = 30\,\text{cm}$
凸レンズの反対側 $30\,\text{cm}$ の位置に実像。
Step2：この像が凹レンズの物体になる
凹レンズは凸レンズから $10\,\text{cm}$ 先なので、凸レンズの作った像は凹レンズの $30 - 10 = 20\,\text{cm}$ 先。
$\dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{b_2} = \dfrac{1}{-30}$
$\dfrac{1}{b_2} = -\dfrac{1}{30} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{-2-3}{60} = -\dfrac{5}{60}$
$b_2 = -12\,\text{cm}$
...おっと、$b_2$ が負ということは虚像です。凹レンズの物体側 $12\,\text{cm}$（凸レンズと凹レンズの間）に虚像ができます。
（計算を見直し）実際には凸レンズが作る実像は凹レンズの先（反対側）にあるので、凹レンズにとっては虚物体（$a_2 = -20\,\text{cm}$）として扱うべきです。
$\dfrac{1}{-20} + \dfrac{1}{b_2} = \dfrac{1}{-30}$
$\dfrac{1}{b_2} = -\dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{20} = \dfrac{-2+3}{60} = \dfrac{1}{60}$
$b_2 = 60\,\text{cm}$（正なので実像。凹レンズから $60\,\text{cm}$ 先に実像ができる。）
屈折率 $n$ のガラスで作られた薄い凸レンズの曲率半径が、一方の面で $R_1$（凸面）、他方の面で $R_2$（凸面）であるとき、レンズメーカーの式 $\dfrac{1}{f} = (n-1)\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right)$ が成り立つ。$n = 1.50$、$R_1 = 20\,\text{cm}$、$R_2 = 30\,\text{cm}$ のとき焦点距離を求めよ。
$f = 24\,\text{cm}$
$\dfrac{1}{f} = (1.50 - 1)\left(\dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{30}\right) = 0.50 \times \dfrac{3+2}{60} = 0.50 \times \dfrac{5}{60} = \dfrac{5}{120} = \dfrac{1}{24}$
$f = 24\,\text{cm}$
レンズメーカーの式は、レンズの形状（曲率半径）と材質（屈折率）から焦点距離を決定する式です。屈折率が大きいほど、曲率半径が小さいほど焦点距離が短く（レンズの度数が強く）なります。