化粧鏡は顔を大きく映し出し、車のサイドミラーは広い範囲を映します。どちらも球面の一部を鏡にした球面鏡です。
凹面鏡は光を集め、凸面鏡は光を広げます。鏡の公式はレンズの公式と同じ形をしており、焦点距離は曲率半径の半分です。
レンズとの対比で理解すると、効率よくマスターできます。
球面鏡は球の内側を鏡面にした凹面鏡（concave mirror）と、球の外側を鏡面にした凸面鏡（convex mirror）の2種類があります。
$$f = \frac{R}{2}$$
光軸に平行に入射した光が鏡面で反射する場合を考えます。反射の法則より入射角＝反射角です。
球面鏡の法線は曲率中心を向くので、光軸に平行な光の入射角は、光軸と法線（曲率中心方向）のなす角 $\theta$ に等しくなります。
$\theta$ が小さいとき（近軸近似）、幾何学的な考察から、反射光が光軸と交わる点（焦点）は鏡面と曲率中心の中点、すなわち $f = R/2$ の位置になります。
凹面鏡は凸レンズに、凸面鏡は凹レンズに対応します。
鏡の公式もレンズの公式と全く同じ形（$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}$）です。ただし、鏡では像が鏡の前（反射側）にできるか後ろ（鏡の裏側）にできるかで実像/虚像が決まります。
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} = \frac{2}{R}$$
$$m = \frac{b}{a}$$
| 項目 | 凸レンズ / 凹面鏡 | 凹レンズ / 凸面鏡 |
|---|---|---|
| 焦点距離 | $f > 0$ | $f < 0$ |
| 光の作用 | 収束（光を集める） | 発散（光を広げる） |
| 公式 | $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}$（共通） | |
| 実像の位置 | 反対側 / 鏡の前方 | （単独では実像なし） |
レンズでは実像は「レンズの反対側」にできますが、鏡では実像は「鏡の前方（物体と同じ側）」にできます。
✕ 誤：鏡の実像は鏡の裏側にできる
○ 正：鏡の実像は鏡の前方（反射光が実際に集まる場所）にできる。虚像は鏡の後方（鏡の中）にできる
凹面鏡は凸レンズと同じ像のパターンを持ちます。
| 物体の位置 | 像の種類 | 像の大きさ | 像の向き |
|---|---|---|---|
| $a > 2f$（$= R$） | 実像 | 縮小 | 倒立 |
| $a = 2f$（$= R$） | 実像 | 等倍 | 倒立 |
| $f < a < 2f$ | 実像 | 拡大 | 倒立 |
| $a = f$ | 像なし | （平行光） | — |
| $a < f$ | 虚像 | 拡大 | 正立 |
球面鏡は近軸光線に対してのみ正確に焦点に集光します。光軸から離れた光線は焦点からずれ、球面収差を生じます。
これを解決するのが放物面鏡（パラボラ）で、すべての平行光線を正確に焦点に集めます。天体望遠鏡の反射鏡やパラボラアンテナに使われます。
凸面鏡は凹レンズと同様、物体の位置にかかわらず常に正立縮小の虚像を作ります。
像は常に鏡の後方（鏡の中）にでき、焦点と鏡の間に位置します。 車のサイドミラーやカーブミラーは凸面鏡で、視野が広くなる（縮小像で広い範囲が見える）利点があります。
凸面鏡は縮小像を作るため、実際の物体より小さく見えます。
✕ 誤：サイドミラーに映る車は実際の距離にある
○ 正：凸面鏡の像は実際より小さいため、「鏡に映る物体は見かけより近くにある（Objects in mirror are closer than they appear）」
凹面鏡：光を集める → 懐中電灯の反射板、天体望遠鏡、太陽炉、化粧鏡（焦点の内側に顔を置いて拡大虚像を見る）
凸面鏡：視野を広げる → カーブミラー、車のサイドミラー、店舗の防犯ミラー
球面鏡はレンズと同じ公式で扱え、両者を統一的に理解することで光学全体の見通しが良くなります。
Q1. 曲率半径 $40\,\text{cm}$ の凹面鏡の焦点距離はいくらですか。
Q2. 凹面鏡で物体を焦点の内側に置くと、どのような像ができますか。
Q3. 凸面鏡に対応するレンズは何ですか。
Q4. 球面鏡の実像は鏡のどちら側にできますか。
球面鏡の問題をレンズとの対比で解きましょう。
曲率半径 $R = 30\,\text{cm}$ の凹面鏡から $45\,\text{cm}$ の位置に物体を置いた。像の位置と倍率を求めよ。
$b = 22.5\,\text{cm}$（実像）、$m = 0.50$（倒立縮小）
$f = R/2 = 15\,\text{cm}$、$a = 45\,\text{cm}$（$a > 2f = 30$なので縮小実像）
$\dfrac{1}{45} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{15}$ → $\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{45} = \dfrac{3-1}{45} = \dfrac{2}{45}$ → $b = 22.5\,\text{cm}$
$m = \dfrac{22.5}{45} = 0.50$
曲率半径 $R = 40\,\text{cm}$ の凸面鏡から $30\,\text{cm}$ の位置に物体を置いた。像の位置と種類を求めよ。
$b = -12\,\text{cm}$（正立縮小の虚像、鏡の後方）
凸面鏡なので $f = -R/2 = -20\,\text{cm}$
$\dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{-20}$
$\dfrac{1}{b} = -\dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{-3-2}{60} = -\dfrac{5}{60}$
$b = -12\,\text{cm}$（負なので虚像。鏡の後方 $12\,\text{cm}$）
$m = \dfrac{-12}{30} = -0.40$（正立縮小の虚像）
凹面鏡の前方 $24\,\text{cm}$ に物体を置いたところ、前方 $8.0\,\text{cm}$ の位置に実像ができた。この凹面鏡の曲率半径を求めよ。
$R = 12\,\text{cm}$
$\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1+3}{24} = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6}$ → $f = 6\,\text{cm}$
$R = 2f = 12\,\text{cm}$
焦点距離 $f = 30\,\text{cm}$ の凹面鏡を化粧鏡として使い、顔を鏡から $20\,\text{cm}$ の位置に置いた。像の位置、倍率、像の種類を求めよ。
$b = -60\,\text{cm}$（虚像）、$|m| = 3.0$（正立拡大の虚像）
$a = 20 < f = 30$ なので虚像です。
$\dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{30}$ → $\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{30} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{2-3}{60} = -\dfrac{1}{60}$ → $b = -60\,\text{cm}$
$|m| = \dfrac{60}{20} = 3.0$。鏡の後方 $60\,\text{cm}$ の位置に正立で3倍の虚像が見えます。
反射望遠鏡は凹面鏡（主鏡）で遠方の天体からの光を集める。曲率半径 $R = 2.0\,\text{m}$ の凹面鏡について次の問いに答えよ。
(1) 焦点距離を求めよ。
(2) 非常に遠方（$a \to \infty$）の天体の像はどこにできるか。
(3) 月（見かけの角度 $0.52°$）の像の大きさを求めよ。
(1) $f = 1.0\,\text{m}$ (2) 焦点の位置（鏡の前方 $1.0\,\text{m}$） (3) 約 $9.1\,\text{mm}$
(1) $f = R/2 = 2.0/2 = 1.0\,\text{m}$
(2) $a \to \infty$ のとき $\dfrac{1}{a} \to 0$ なので $b \to f$。像は焦点の位置にできます。
(3) 像の大きさ $h' = f \times \tan\theta \approx f\theta$（$\theta$がラジアンで小さいとき）
$\theta = 0.52° = 0.52 \times \dfrac{\pi}{180} \approx 0.00907\,\text{rad}$
$h' = 1.0 \times 0.00907 \approx 0.0091\,\text{m} = 9.1\,\text{mm}$
焦点距離 $f_L = 20\,\text{cm}$ の凸レンズの後方 $10\,\text{cm}$ の位置に焦点距離 $f_M = 15\,\text{cm}$ の凹面鏡を置いた。凸レンズの前方 $30\,\text{cm}$ に物体を置いたとき、最終的な像の位置を求めよ。
凹面鏡の前方 $30\,\text{cm}$（凸レンズの後方 $20\,\text{cm}$）の位置に実像ができる。
Step1：凸レンズによる像
$\dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{b_1} = \dfrac{1}{20}$ → $b_1 = 60\,\text{cm}$（レンズの後方）
Step2：この像が凹面鏡の物体になる
凹面鏡はレンズの後方 $10\,\text{cm}$ にあるので、凸レンズの像は凹面鏡の後方 $60 - 10 = 50\,\text{cm}$ にあります。
鏡の後方にある像は虚物体なので $a_2 = -50\,\text{cm}$
$\dfrac{1}{-50} + \dfrac{1}{b_2} = \dfrac{1}{15}$
$\dfrac{1}{b_2} = \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{50} = \dfrac{10+3}{150} = \dfrac{13}{150}$
$b_2 \approx 11.5\,\text{cm}$（鏡の前方に実像）
（注：レンズと鏡の組み合わせでは、反射光が再びレンズを通るケースも考えられますが、本問ではここまでとします。）