ヤングの実験は2本のスリットを使いましたが、スリットの数を数百本、数千本と増やしたらどうなるでしょうか。
回折格子（diffraction grating）はまさにそのような装置で、非常にシャープな干渉縞を生み出し、光の波長を精密に測定できます。
CDやDVDの表面が虹色に光るのも、回折格子と同じ原理です。
回折格子は、等間隔に多数のスリット（溝）を刻んだ板です。1mmあたり数百本のスリットが刻まれています。
隣り合うスリットの間隔を格子定数 $d$と呼びます。1mmあたり $N$ 本のスリットがあれば、
$$d = \frac{1}{N}$$
各スリットからの回折光が同位相で重なる方向に、明るい干渉縞（主極大）が現れます。隣り合うスリットからの光の経路差が波長の整数倍のとき、強め合いの条件が満たされます。
ヤングの実験（2スリット）では干渉縞の明暗が緩やかに変化しますが、回折格子（多数スリット）では明線が非常にシャープになります。
スリット数が増えるほど、条件を満たさない方向の光は打ち消し合い、主極大だけが鋭く残ります。これが回折格子の分解能の高さの理由です。
$$d\sin\theta = n\lambda \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$$
隣り合うスリットからの光の経路差は、幾何学的に $d\sin\theta$ です。
強め合いの条件（経路差＝波長の整数倍）から $d\sin\theta = n\lambda$ が得られます。
これはヤングの実験の $d\sin\theta = m\lambda$ と全く同じ形です。違いは、スリット数が多いことによる明線の鋭さだけです。
$\sin\theta \leq 1$ なので、観測できる最大次数 $n_{\max}$ は
$$n_{\max} = \left\lfloor \frac{d}{\lambda} \right\rfloor$$
$d/\lambda$ の整数部分が最大次数になります。
✕ 誤：$d\sin\theta = N\lambda$（$N$ はスリットの総数）
○ 正：$d\sin\theta = n\lambda$（$n$ は干渉の次数。$N$ は格子定数の計算に使う）
スリット数 $N$ が増えると、主極大の幅は $1/N$ に比例して狭くなります。つまり干渉縞がシャープになります。
また、隣り合う主極大の間には $N-2$ 本の副極大（弱い明線）と $N-1$ 本の暗線が現れますが、$N$ が大きいとこれらは非常に弱く、実質的に主極大のみが観測されます。
回折格子の分解能（波長の差を区別する能力）は $R = nN$ です。次数 $n$ とスリット総数 $N$ の積で表されます。
たとえば、1000本のスリットの1次回折では $R = 1000$、つまり波長 $500\,\text{nm}$ の光を $500/1000 = 0.5\,\text{nm}$ の精度で区別できます。
回折格子は分光器の心臓部です。白色光を各波長に分離し、原子の線スペクトルや星の化学組成を分析できます。プリズムより分解能が高く、広い波長範囲で均一な分散が得られます。
CDの溝の間隔（トラックピッチ）は約 $1.6\,\mu\text{m}$、DVDは約 $0.74\,\mu\text{m}$ です。可視光の波長（$400$～$700\,\text{nm}$）と同程度のため、回折格子として機能し虹色に光ります。
プリズム：屈折率の波長依存性による分散。短波長（紫）が最も曲がる。
回折格子：干渉による分散。$d\sin\theta = n\lambda$ より、長波長（赤）が最も大きく回折する。
つまり色の並び順が逆になります。これは入試でよく問われるポイントです。
回折格子は波の干渉の原理を最大限に活用した精密測定装置です。
Q1. 1mmあたり500本のスリットが刻まれた回折格子の格子定数を求めてください。
Q2. 回折格子の明線条件を書いてください。
Q3. 回折格子で白色光を分光したとき、赤色と紫色のどちらが大きく回折しますか。
Q4. スリット数を増やすと干渉縞はどう変化しますか。
回折格子の問題を解きましょう。
1mmあたり600本のスリットが刻まれた回折格子に波長 $550\,\text{nm}$ の単色光を垂直に入射させた。1次回折光の回折角 $\theta$ を求めよ。$\sin^{-1}(0.330) \approx 19.3°$ を用いてよい。
$\theta \approx 19.3°$
$d = 1/600\,\text{mm} = 1.667 \times 10^{-6}\,\text{m}$
$d\sin\theta = 1 \times \lambda$ → $\sin\theta = \dfrac{550 \times 10^{-9}}{1.667 \times 10^{-6}} = 0.330$
$\theta \approx 19.3°$
格子定数 $d = 2.0\,\mu\text{m}$ の回折格子に波長 $600\,\text{nm}$ の光を入射させた。観測できる最大次数を求めよ。
$n_{\max} = 3$
$n_{\max} = \lfloor d/\lambda \rfloor = \lfloor 2000/600 \rfloor = \lfloor 3.33 \rfloor = 3$
$\sin\theta \leq 1$ より $n \leq d/\lambda = 3.33$ なので、最大次数は3です。
1mmあたり500本の回折格子に未知の単色光を垂直に入射させたところ、2次回折光が回折角 $34.0°$ の方向に観測された。この光の波長を求めよ。$\sin 34.0° = 0.559$ とする。
$\lambda = 559\,\text{nm}$
$d = 1/500\,\text{mm} = 2.0 \times 10^{-6}\,\text{m}$
$d\sin\theta = n\lambda$ → $\lambda = \dfrac{d\sin\theta}{n} = \dfrac{2.0 \times 10^{-6} \times 0.559}{2} = 5.59 \times 10^{-7}\,\text{m} = 559\,\text{nm}$
格子定数 $d = 1.5\,\mu\text{m}$ の回折格子に白色光（$400$～$700\,\text{nm}$）を入射させた。2次のスペクトルと3次のスペクトルが重なる波長の範囲があるか調べよ。あれば重なる波長の組を具体的に述べよ。
2次の $600$～$700\,\text{nm}$ と3次の $400$～$467\,\text{nm}$ が重なる。
$d\sin\theta = n\lambda$ で同じ $\theta$ に異なる次数の光が来る条件：$2\lambda_2 = 3\lambda_3$
$\lambda_3 = \dfrac{2}{3}\lambda_2$
$\lambda_2 = 600\,\text{nm}$ → $\lambda_3 = 400\,\text{nm}$（可視光範囲内）
$\lambda_2 = 700\,\text{nm}$ → $\lambda_3 = 467\,\text{nm}$（可視光範囲内）
よって2次の $600$～$700\,\text{nm}$ の光と3次の $400$～$467\,\text{nm}$ の光が同じ角度方向に現れ、重なります。
格子定数 $d$ の回折格子に、法線から角度 $\alpha$ の方向から単色光（波長 $\lambda$）を入射させる。回折光の明線条件を求め、$\alpha = 30°$、$d = 2.0\,\mu\text{m}$、$\lambda = 500\,\text{nm}$ のとき1次回折光の回折角を求めよ。
明線条件：$d(\sin\theta + \sin\alpha) = n\lambda$（入射側と同じ側の場合）、または $d(\sin\theta - \sin\alpha) = n\lambda$
$n=1$：$\sin\theta = \dfrac{\lambda}{d} - \sin\alpha = 0.250 - 0.500 = -0.250$ → $\theta \approx -14.5°$（入射光と反対側）
斜め入射の場合、隣り合うスリットへの光の到達に経路差が生じます。
入射光による経路差：$d\sin\alpha$、回折光による経路差：$d\sin\theta$
全体の経路差：$d(\sin\theta - \sin\alpha) = n\lambda$（回折角の正の方向を入射方向と同じ側に取る場合）
$\sin\theta = \dfrac{n\lambda}{d} + \sin\alpha = \dfrac{500 \times 10^{-9}}{2.0 \times 10^{-6}} + 0.500 = 0.250 + 0.500 = 0.750$（$n=1$の場合は入射方向と同じ側ならこの計算）
符号の取り方により結果が変わるので、問題の設定を正確に読み取ることが重要です。
CDの表面に波長 $650\,\text{nm}$ のレーザー光を垂直に当てたところ、1次回折光が $24.0°$ の方向に観測された。CDのトラックピッチ（溝の間隔）を求めよ。$\sin 24.0° = 0.407$ とする。
$d \approx 1.60\,\mu\text{m}$
$d\sin\theta = n\lambda$ → $d = \dfrac{n\lambda}{\sin\theta} = \dfrac{1 \times 650 \times 10^{-9}}{0.407} = 1.60 \times 10^{-6}\,\text{m} = 1.60\,\mu\text{m}$
実際のCDのトラックピッチは $1.6\,\mu\text{m}$ なので、よく一致します。この実験は身近な材料で回折格子の公式を検証できる好例です。