曲率半径の大きなレンズを平面ガラスに載せると、接点を中心に同心円状の明暗の縞が観察されます。
これがニュートンリングで、レンズとガラスの間の空気層による干渉現象です。
リングの半径と曲率半径・波長の関係を理解すれば、精密な測定にも応用できます。
曲率半径 $R$ の平凸レンズの曲面を下にして平面ガラスの上に置くと、レンズの曲面とガラスの平面の間に薄い空気層ができます。
上方から単色光（波長 $\lambda$）を照射すると、空気層の上面（レンズの下面）で反射する光と、空気層の下面（ガラスの上面）で反射する光が干渉します。
空気層の厚さは接点からの距離によって連続的に変化するため、干渉条件を満たす場所が同心円状に並び、ニュートンリングと呼ばれる明暗の環が観察されます。
干渉する2つの光を正確に把握しましょう。
① 光A：空気層の上面（レンズ下面）で反射。ガラスから空気へ → 自由端反射 → 位相変化なし
② 光B：空気層を透過し下面（平面ガラス上面）で反射。空気からガラスへ → 固定端反射 → 位相が $\pi$ 反転
したがって、2つの反射光の間には常に半波長分の位相差が追加されます。
接点 O を中心に半径 $r$ の位置における空気層の厚さを $d$ とします。レンズの曲率半径 $R$ を用いると、ピタゴラスの定理から
$$R^2 = r^2 + (R - d)^2$$展開すると
$$R^2 = r^2 + R^2 - 2Rd + d^2$$$d^2$ は $d \ll R$ なので無視でき（$d$ は波長程度の極めて小さい量）、
$$d = \frac{r^2}{2R}$$
$R^2 = r^2 + R^2 - 2Rd + d^2$ を整理すると $r^2 = 2Rd - d^2 = d(2R - d)$
$d \ll R$ なので $2R - d \approx 2R$。よって $r^2 \approx 2Rd$、すなわち $d = r^2/(2R)$。
例えば $R = 1\,\text{m}$、$r = 1\,\text{mm}$ のとき $d = (10^{-3})^2/(2 \times 1) = 5 \times 10^{-7}\,\text{m} = 500\,\text{nm}$（可視光の波長程度）。
空気層（屈折率 $n = 1$）の厚さが $d$ の位置では、光路差は $2d$ です。さらに、下面の反射で位相が $\pi$ 反転するため、半波長分の追加経路差 $\lambda/2$ を考慮する必要があります。
よって実効的な光路差は
$$\Delta = 2d + \frac{\lambda}{2}$$弱め合い（暗環）の条件は $\Delta = (m + 1/2)\lambda$ ですが、すでに $\lambda/2$ が含まれているので、
$$2d + \frac{\lambda}{2} = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \Rightarrow \quad 2d = m\lambda$$$d = r^2/(2R)$ を代入して
$$r_m^2 = m R \lambda \quad (m = 0, 1, 2, 3, \ldots)$$
$$r_m = \sqrt{m R \lambda}$$
強め合い（明環）の条件は $\Delta = m\lambda$（$m = 1, 2, 3, \ldots$）なので、
$$2d + \frac{\lambda}{2} = m\lambda \quad \Rightarrow \quad 2d = \left(m - \frac{1}{2}\right)\lambda$$$$r_m^2 = \left(m - \frac{1}{2}\right) R \lambda \quad (m = 1, 2, 3, \ldots)$$
$$r_m = \sqrt{\left(m - \frac{1}{2}\right) R \lambda}$$
誤：接点は光路差ゼロなので明るい
正：接点（$d = 0$）では光路差は $\lambda/2$ であり、弱め合い → 暗点
反射によるニュートンリングでは、中心は必ず暗点です。これは位相反転による半波長分のずれが原因です。
暗環の場合 $r_m^2 = mR\lambda$ なので、$r_m^2$ を $m$ に対してプロットすると原点を通る直線になります。
傾きは $R\lambda$ です。$\lambda$ が既知なら $R$ が求まり、$R$ が既知なら $\lambda$ が求まります。
入試では「グラフの傾きから $R$ を求めよ」という出題が非常に多いです。
ニュートンリングを利用すれば、レンズの曲率半径を精密に測定できます。波長 $\lambda$ の単色光で暗環の半径を測定し、
$$R = \frac{r_m^2}{m\lambda}$$から $R$ を計算します。複数の $m$ について測定して平均を取ると、精度が向上します。
逆に、曲率半径 $R$ が既知のレンズを用いれば、光の波長を測定することもできます。
$$\lambda = \frac{r_m^2}{mR}$$空気層の代わりに屈折率 $n$ の液体を満たすと、光路差が $2nd$ に変わるため、暗環の公式は
$$r_m^2 = \frac{m R \lambda}{n}$$
反射光ではなく透過光で観察すると、明暗が反転します。つまり、接点は明点になり、反射光の暗環が明環に、明環が暗環になります。
ニュートンリングの問題を解く際は、以下の3点を必ず確認しましょう。
① 反射光か透過光か（明暗が反転する）
② 空気層か液体（屈折率 $n$）か → 光路差が $2d$ か $2nd$ か
③ 位相反転は何回か → 通常は1回（奇数回）だが、液体の種類によって変わる可能性あり
Q1. ニュートンリングで中心（接点）が暗くなる理由を述べよ。
Q2. 暗環の半径の公式 $r_m = \sqrt{mR\lambda}$ において、$m = 4$ の暗環の半径は $m = 1$ の暗環の半径の何倍か。
Q3. 空気層の代わりに屈折率 $n = 1.5$ の液体を満たすと、暗環の半径はもとの何倍になるか。
Q4. ニュートンリングを透過光で観察すると、反射光の場合と比較して明暗はどうなるか。
曲率半径 $R = 2.0\,\text{m}$ の平凸レンズを平面ガラスの上に置き、波長 $\lambda = 600\,\text{nm}$ の単色光を上方から照射した。反射光で観察される第3暗環の半径を求めよ。
$r_3 \approx 1.90\,\text{mm}$
暗環の公式：$r_m^2 = mR\lambda$
$r_3^2 = 3 \times 2.0 \times 600 \times 10^{-9} = 3.6 \times 10^{-6}\,\text{m}^2$
$r_3 = \sqrt{3.6 \times 10^{-6}} = 1.90 \times 10^{-3}\,\text{m} = 1.90\,\text{mm}$
ニュートンリングの実験で波長 $\lambda = 550\,\text{nm}$ の単色光を使い、第5暗環の半径が $r_5 = 2.5\,\text{mm}$ と測定された。レンズの曲率半径 $R$ を求めよ。
$R \approx 2.27\,\text{m}$
$r_m^2 = mR\lambda$ より $R = \dfrac{r_m^2}{m\lambda}$
$R = \dfrac{(2.5 \times 10^{-3})^2}{5 \times 550 \times 10^{-9}} = \dfrac{6.25 \times 10^{-6}}{2.75 \times 10^{-6}} \approx 2.27\,\text{m}$
曲率半径 $R = 1.5\,\text{m}$ の平凸レンズを平面ガラスの上に置き、波長 $\lambda = 589\,\text{nm}$ のナトリウムD線を照射して第10暗環の半径を測定したところ $r_{10} = 2.85\,\text{mm}$ であった。次に、レンズとガラスの間に未知の液体を満たしたところ、第10暗環の半径が $r'_{10} = 2.33\,\text{mm}$ になった。この液体の屈折率 $n$ を求めよ。
$n \approx 1.50$
空気中：$r_{10}^2 = 10R\lambda$
液体中：$r'^2_{10} = \dfrac{10R\lambda}{n}$
2式の比を取ると：$\dfrac{r'^2_{10}}{r_{10}^2} = \dfrac{1}{n}$ → $n = \dfrac{r_{10}^2}{r'^2_{10}}$
$n = \dfrac{(2.85)^2}{(2.33)^2} = \dfrac{8.1225}{5.4289} \approx 1.50$
ニュートンリングの実験において、暗環の次数 $m$ と暗環の半径の2乗 $r_m^2$ の関係を測定し、以下のデータを得た。
| $m$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $r_m^2\,[\text{mm}^2]$ | 1.20 | 2.38 | 3.60 | 4.78 | 5.98 |
使用した光の波長は $\lambda = 589\,\text{nm}$ である。
(1) $r_m^2$ と $m$ のグラフが直線になる理由を説明せよ。
(2) グラフの傾きからレンズの曲率半径 $R$ を求めよ。
(1) $r_m^2 = mR\lambda$ より、$r_m^2$ は $m$ の1次関数であるため。
(2) $R \approx 2.03\,\text{m}$
(1) 暗環の公式 $r_m^2 = mR\lambda$ は $r_m^2 = (R\lambda) \cdot m$ と書けるので、$r_m^2$ は $m$ に比例し、グラフは原点を通る直線になる。
(2) 傾き $= R\lambda$ を求める。データから平均的な傾きを計算する。
$m = 1$ と $m = 5$ のデータを使うと、傾き $= \dfrac{5.98 - 1.20}{5 - 1} = \dfrac{4.78}{4} = 1.195\,\text{mm}^2$
$R\lambda = 1.195 \times 10^{-6}\,\text{m}^2$
$R = \dfrac{1.195 \times 10^{-6}}{589 \times 10^{-9}} \approx 2.03\,\text{m}$
曲率半径 $R$ の平凸レンズを平面ガラスの上に置き、波長 $\lambda$ の単色光を上方から照射する。
(1) 反射光で観察される第 $m$ 明環の半径 $r_m$ を $m$、$R$、$\lambda$ で表せ。
(2) $m$ が十分大きいとき、隣り合う明環の間隔 $\Delta r = r_{m+1} - r_m$ が $m$ の増加とともに狭くなることを示せ。
(1) $r_m = \sqrt{\left(m - \dfrac{1}{2}\right) R \lambda}$
(2) 下記解説参照
(1) 明環の条件：$2d + \lambda/2 = m\lambda$ → $2d = (m - 1/2)\lambda$ → $r_m^2/(R) = (m - 1/2)\lambda$
$r_m = \sqrt{(m - 1/2)R\lambda}$
(2) $m$ が十分大きいとき $m - 1/2 \approx m$ と近似でき、$r_m \approx \sqrt{mR\lambda}$
$\Delta r = r_{m+1} - r_m = \sqrt{(m+1)R\lambda} - \sqrt{mR\lambda} = \sqrt{R\lambda}\left(\sqrt{m+1} - \sqrt{m}\right)$
$= \sqrt{R\lambda} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{m+1} + \sqrt{m}} \approx \sqrt{R\lambda} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{m}}$
よって $\Delta r \propto 1/\sqrt{m}$ であり、$m$ が大きくなるほど $\Delta r$ は小さくなる。外側のリングほど間隔が詰まる。
曲率半径 $R = 1.0\,\text{m}$ の平凸レンズを平面ガラスの上に置き、波長 $\lambda_1 = 600\,\text{nm}$ と $\lambda_2 = 500\,\text{nm}$ の2色の光を同時に照射した。
(1) 接点に最も近い位置で、2色の暗環が重なるのは何番目の暗環か。
(2) その重なりの位置（半径）を求めよ。
(1) $\lambda_1$ の第5暗環と $\lambda_2$ の第6暗環
(2) $r \approx 1.73\,\text{mm}$
2色の暗環が重なる条件：$r_{m_1}^2(\lambda_1) = r_{m_2}^2(\lambda_2)$
$m_1 R \lambda_1 = m_2 R \lambda_2$ → $m_1 \lambda_1 = m_2 \lambda_2$
$600 m_1 = 500 m_2$ → $6 m_1 = 5 m_2$ → $m_2 / m_1 = 6/5$
最小の整数解：$m_1 = 5$、$m_2 = 6$
半径：$r^2 = m_1 R \lambda_1 = 5 \times 1.0 \times 600 \times 10^{-9} = 3.0 \times 10^{-6}\,\text{m}^2$
$r = \sqrt{3.0 \times 10^{-6}} \approx 1.73 \times 10^{-3}\,\text{m} = 1.73\,\text{mm}$
検算：$m_2 R \lambda_2 = 6 \times 1.0 \times 500 \times 10^{-9} = 3.0 \times 10^{-6}\,\text{m}^2$ ✓