第19章で学んだヤングの干渉実験・回折格子・薄膜の干渉・ニュートンリング・くさび形空気層の内容を総合的に演習します。
A（基礎）2問、B（発展）2問、C（応用）2問の計6問で、入試本番レベルの実力を確認しましょう。
ヤングの干渉実験：$\Delta x = \dfrac{\lambda L}{d}$（明線間隔）、明線条件 $d\sin\theta = m\lambda$
回折格子：$d\sin\theta = m\lambda$（$d = 1/N$：格子定数）
薄膜の干渉：光路差 $2nt$（垂直入射）、$2nt\cos\theta_r$（斜め入射）＋位相反転の考慮
ニュートンリング（暗環）：$r_m^2 = mR\lambda$（$m = 0, 1, 2, \ldots$）
ニュートンリング（明環）：$r_m^2 = (m - 1/2)R\lambda$
くさび形空気層：$\Delta x = \dfrac{\lambda}{2\theta} = \dfrac{\lambda L}{2t}$（縞の間隔）
全ての干渉問題は次の3ステップで解けます。
Step 1：干渉する2つの光の経路を特定する
Step 2：光路差を求める（幾何学的経路差 × 屈折率 ＋ 反射による位相差）
Step 3：強め合い（$m\lambda$）・弱め合い（$(m+1/2)\lambda$）の条件を適用する
まず自力で解いてから解答を確認してください。解けなかった問題は、対応する記事に戻って復習しましょう。
時間の目安：A問題 各5分、B問題 各8分、C問題 各12分
ヤングの干渉実験で、スリット間隔 $d = 0.20\,\text{mm}$、スリットからスクリーンまでの距離 $L = 1.5\,\text{m}$ のとき、スクリーン上の明線の間隔が $4.5\,\text{mm}$ であった。
(1) 使用した光の波長 $\lambda$ を求めよ。
(2) 中央明線から第3明線までの距離を求めよ。
(3) スリット間隔を $d' = 0.30\,\text{mm}$ に変更した場合、明線の間隔はいくらになるか。
(1) $\lambda = 600\,\text{nm}$
(2) $13.5\,\text{mm}$
(3) $3.0\,\text{mm}$
(1) $\Delta x = \dfrac{\lambda L}{d}$ → $\lambda = \dfrac{\Delta x \cdot d}{L} = \dfrac{4.5 \times 10^{-3} \times 0.20 \times 10^{-3}}{1.5} = 6.0 \times 10^{-7}\,\text{m} = 600\,\text{nm}$
(2) 第3明線までの距離 $= 3 \times \Delta x = 3 \times 4.5 = 13.5\,\text{mm}$
(3) $\Delta x' = \dfrac{\lambda L}{d'} = \dfrac{600 \times 10^{-9} \times 1.5}{0.30 \times 10^{-3}} = 3.0 \times 10^{-3}\,\text{m} = 3.0\,\text{mm}$
$d$ を1.5倍にすると $\Delta x$ は $1/1.5 = 2/3$ 倍になる。$4.5 \times 2/3 = 3.0\,\text{mm}$
1mm あたり 500 本の溝が刻まれた回折格子に波長 $\lambda = 550\,\text{nm}$ の単色光を垂直に照射した。
(1) 格子定数 $d$ を求めよ。
(2) 第1次の回折光の角度 $\theta_1$ を求めよ。
(3) 観察できる回折光の最大次数 $m_{\max}$ を求めよ。
(1) $d = 2.0\,\mu\text{m} = 2.0 \times 10^{-6}\,\text{m}$
(2) $\theta_1 \approx 15.9°$
(3) $m_{\max} = 3$
(1) $d = \dfrac{1\,\text{mm}}{500} = \dfrac{1.0 \times 10^{-3}}{500} = 2.0 \times 10^{-6}\,\text{m}$
(2) $d\sin\theta_1 = 1 \times \lambda$ → $\sin\theta_1 = \dfrac{\lambda}{d} = \dfrac{550 \times 10^{-9}}{2.0 \times 10^{-6}} = 0.275$
$\theta_1 = \arcsin(0.275) \approx 15.9°$
(3) $d\sin\theta = m\lambda$ で $\sin\theta \leq 1$ → $m \leq \dfrac{d}{\lambda} = \dfrac{2.0 \times 10^{-6}}{550 \times 10^{-9}} = 3.64$
$m$ は整数なので $m_{\max} = 3$
曲率半径 $R = 2.0\,\text{m}$ の平凸レンズを平面ガラスの上に置き、波長 $\lambda = 589\,\text{nm}$ のナトリウム光を上方から照射してニュートンリングを観察した。
(1) 第5暗環の半径を求めよ。
(2) レンズとガラスの間に屈折率 $n = 1.50$ の液体を満たしたとき、第5暗環の半径を求めよ。
(3) (2)の状態で、空気中と比べて暗環の位置はどのように変化するか。また、接点が暗いか明るいかを理由とともに述べよ。
(1) $r_5 \approx 2.43\,\text{mm}$
(2) $r'_5 \approx 1.98\,\text{mm}$
(3) 暗環は内側に縮小する。接点は暗い（理由は下記）。
(1) $r_5^2 = 5 \times R\lambda = 5 \times 2.0 \times 589 \times 10^{-9} = 5.89 \times 10^{-6}\,\text{m}^2$
$r_5 = \sqrt{5.89 \times 10^{-6}} \approx 2.43 \times 10^{-3}\,\text{m} = 2.43\,\text{mm}$
(2) 液体中：$r'^2_5 = \dfrac{5R\lambda}{n} = \dfrac{5.89 \times 10^{-6}}{1.50} = 3.93 \times 10^{-6}\,\text{m}^2$
$r'_5 = \sqrt{3.93 \times 10^{-6}} \approx 1.98 \times 10^{-3}\,\text{m} = 1.98\,\text{mm}$
(3) 液体を満たすと $r'_m = r_m/\sqrt{n}$ なので、全ての暗環が内側に縮小する。
接点（$d = 0$）が暗い理由：レンズの屈折率 $>$ 液体の屈折率のとき上面で位相変化なし、液体の屈折率 $<$ ガラスの屈折率のとき下面で位相反転。片方のみ反転（奇数回）なので $d = 0$ で光路差 $\lambda/2$ → 弱め合い → 暗点。
2枚の平面ガラスの一端に直径 $t$ の細い針金を挟み、くさび形空気層をつくった。接触端から針金までの距離は $L = 60\,\text{mm}$ である。波長 $\lambda = 600\,\text{nm}$ の単色光を上方から照射したとき、干渉縞の間隔が $2.0\,\text{mm}$ であった。
(1) 針金の直径 $t$ を求めよ。
(2) 接触端から針金までに観察される暗線の本数を求めよ。
(3) 波長を $\lambda' = 450\,\text{nm}$ の光に変えたとき、干渉縞の間隔はいくらになるか。
(1) $t = 9.0\,\mu\text{m}$
(2) 30本
(3) $1.5\,\text{mm}$
(1) $t = \dfrac{\lambda L}{2\Delta x} = \dfrac{600 \times 10^{-9} \times 60 \times 10^{-3}}{2 \times 2.0 \times 10^{-3}} = \dfrac{3.6 \times 10^{-8}}{4.0 \times 10^{-3}} = 9.0 \times 10^{-6}\,\text{m} = 9.0\,\mu\text{m}$
(2) $N = \dfrac{2t}{\lambda} = \dfrac{2 \times 9.0 \times 10^{-6}}{600 \times 10^{-9}} = 30$ 本
（検算：$N = L/\Delta x = 60/2.0 = 30$ 本 ✓）
(3) $t$ と $L$ は変わらないので $\Delta x' = \dfrac{\lambda' L}{2t} = \dfrac{450 \times 10^{-9} \times 60 \times 10^{-3}}{2 \times 9.0 \times 10^{-6}} = 1.5 \times 10^{-3}\,\text{m} = 1.5\,\text{mm}$
別解：$\Delta x' = \Delta x \times \lambda'/\lambda = 2.0 \times 450/600 = 1.5\,\text{mm}$
空気中に屈折率 $n = 1.40$ の薄膜がある。白色光を垂直に照射したとき、反射光で波長 $\lambda_1 = 560\,\text{nm}$ の光が最も強く反射された。
(1) この薄膜の最小の厚さ $t_{\min}$ を求めよ。ただし、薄膜の裏面は空気に接しているものとする。
(2) この膜厚のとき、可視光範囲（380〜780 nm）で反射が最も弱くなる波長を全て求めよ。
(3) 1mm あたり 800 本の回折格子に(1)で求めた波長 $\lambda_1 = 560\,\text{nm}$ の光を照射したとき、第2次の回折光の角度 $\theta_2$ を求めよ。
(1) $t_{\min} = 100\,\text{nm}$
(2) $\lambda = 560\,\text{nm}$ は弱め合いにならない。弱め合い条件の波長は可視光範囲に存在しない。
(3) $\theta_2 \approx 63.0°$
(1) 空気（$n_0 = 1$）→ 薄膜（$n = 1.40$）→ 空気（$n_0 = 1$）の構成。
上面：$n_0 < n$ → 位相反転あり。下面：$n > n_0$ → 位相反転なし。反転回数は奇数回（1回）。
強め合い条件：$2nt + \lambda/2 = m\lambda$ → $2nt = (m - 1/2)\lambda_1$
$m = 1$（最小）：$t_{\min} = \dfrac{\lambda_1}{4n} = \dfrac{560}{4 \times 1.40} = 100\,\text{nm}$
(2) $t = 100\,\text{nm}$ のとき $2nt = 2 \times 1.40 \times 100 = 280\,\text{nm}$
弱め合い条件（奇数回反転）：$2nt = m\lambda$ → $\lambda = 280/m$
$m = 1$：$\lambda = 280\,\text{nm}$（紫外線、可視光範囲外）
$m \geq 2$ では $\lambda \leq 140\,\text{nm}$（全て範囲外）
したがって、可視光範囲で弱め合う波長は存在しません。
(3) $d = 1/800\,\text{mm} = 1.25 \times 10^{-6}\,\text{m}$
$d\sin\theta_2 = 2\lambda$ → $\sin\theta_2 = \dfrac{2\lambda}{d} = \dfrac{2 \times 560 \times 10^{-9}}{1.25 \times 10^{-6}} = 0.896$
$\theta_2 = \arcsin(0.896) \approx 63.0°$
以下の2つの実験を行い、光の波長 $\lambda$ を測定した。
【実験A】曲率半径 $R = 1.5\,\text{m}$ の平凸レンズを平面ガラスの上に置き、単色光を照射してニュートンリングを観察した。第10暗環の半径は $r_{10} = 3.0\,\text{mm}$、第20暗環の半径は $r_{20} = 4.2\,\text{mm}$ であった。
【実験B】2枚の平面ガラスの一端に厚さ $t = 15\,\mu\text{m}$ の物体を挟み、接触端から物体までの距離を $L = 75\,\text{mm}$ とした。同じ単色光で照射すると暗線が $N$ 本観察された。
(1) 実験Aの結果から波長 $\lambda$ を求めよ。ただし $r_{10}$、$r_{20}$ の測定値には誤差が含まれるため、$r_{20}^2 - r_{10}^2$ を利用して求めよ。
(2) 実験Bで観察される暗線の本数 $N$ を求めよ。
(3) 実験Bの干渉縞の間隔 $\Delta x$ を求めよ。
(1) $\lambda = 580\,\text{nm}$
(2) $N \approx 51.7$ → 暗線は $51$ 本（接触端の $m = 0$ を含めると52本とも数えられるが、通常は接触端を除く）
(3) $\Delta x \approx 1.45\,\text{mm}$
(1) $r_m^2 = mR\lambda$ より
$r_{20}^2 - r_{10}^2 = (20 - 10)R\lambda = 10R\lambda$
$r_{20}^2 - r_{10}^2 = (4.2 \times 10^{-3})^2 - (3.0 \times 10^{-3})^2 = 17.64 \times 10^{-6} - 9.00 \times 10^{-6} = 8.64 \times 10^{-6}\,\text{m}^2$
$\lambda = \dfrac{r_{20}^2 - r_{10}^2}{10R} = \dfrac{8.64 \times 10^{-6}}{10 \times 1.5} = 5.76 \times 10^{-7}\,\text{m} \approx 580\,\text{nm}$
（この方法は、$r_m^2$ と $m$ の直線の傾きを利用しており、個々の測定値の誤差が平滑化されるため精度が高い。）
(2) $N = \dfrac{2t}{\lambda} = \dfrac{2 \times 15 \times 10^{-6}}{580 \times 10^{-9}} = \dfrac{30 \times 10^{-6}}{5.80 \times 10^{-7}} \approx 51.7$
暗線の本数は整数なので $N = 51$ 本（接触端の $m = 0$ の暗線を含めるかどうかは問題文の解釈による）。
(3) $\Delta x = \dfrac{L}{N} = \dfrac{75}{51.7} \approx 1.45\,\text{mm}$
（検算：$\Delta x = \dfrac{\lambda L}{2t} = \dfrac{580 \times 10^{-9} \times 75 \times 10^{-3}}{2 \times 15 \times 10^{-6}} = \dfrac{4.35 \times 10^{-8}}{3.0 \times 10^{-5}} = 1.45 \times 10^{-3}\,\text{m}$ ✓）