光には粒子性がある──光電効果やコンプトン効果でそれを学びました。
では逆に、電子のような粒子にも波の性質があるのではないか？
1924年、フランスの若き物理学者ド・ブロイは博士論文でこの大胆な仮説を提唱しました。そしてわずか3年後、電子が回折パターンを示すことが実験で確認されたのです。
粒子と波の二重性はミクロの世界の根本原理であり、量子力学の土台です。
光の場合、波動性を表す波長 $\lambda$ と粒子性を表す運動量 $p$ の間に $p = h/\lambda$ の関係がありました。ド・ブロイはこの関係をすべての物質粒子に拡張しました。
すなわち、運動量 $p = mv$ をもつ粒子には、次の波長が対応するという仮説です。
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$
光子では $p = h/\lambda$ → $\lambda = h/p$。電子でも $\lambda = h/p$。
同じ式が光にも物質粒子にも成り立つということは、波と粒子の二重性はミクロの世界の普遍的な性質であることを意味します。これは光だけの特殊な性質ではなく、量子力学の根本原理なのです。
✕ 誤：野球のボールにも波動性がある → 回折が観測できるはず
○ 正：原理的には波動性がありますが、質量が大きい物体のド・ブロイ波長は極端に小さく、波動的効果は一切観測できません
質量 $0.15\,\text{kg}$、速さ $40\,\text{m/s}$ の野球ボールの波長は $\lambda \approx 10^{-34}\,\text{m}$。原子核の大きさ（$\sim 10^{-15}\,\text{m}$）よりも $10^{19}$ 倍小さく、検出は絶対に不可能です。
静止状態から電圧 $V$ で加速された電子の運動エネルギーは $K = eV$ です。運動量 $p$ との関係は、
$$K = \frac{p^2}{2m} \quad \Longrightarrow \quad p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2meV}$$
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$$
加速電圧 $V = 100\,\text{V}$ で加速された電子のド・ブロイ波長：
$p = \sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 100}$
$= \sqrt{2.91 \times 10^{-47}} = 5.4 \times 10^{-24}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
$\lambda = \dfrac{6.6 \times 10^{-34}}{5.4 \times 10^{-24}} \approx 1.2 \times 10^{-10}\,\text{m} = 0.12\,\text{nm}$
これはX線の波長と同程度であり、結晶を使った回折実験で検証可能な大きさです。
✕ 誤：$K = eV$ → $v = \sqrt{2eV/m}$ → $\lambda = h/(mv)$（回りくどい計算）
○ 正：$K = p^2/(2m)$ → $p = \sqrt{2mK}$ → $\lambda = h/p$ の方がシンプル
$v$ を経由しなくても $p$ から直接 $\lambda$ が求まります。$p = \sqrt{2mK}$ を使う方が計算ミスが少なくなります。
ド・ブロイの仮説は1927年に2つの独立した実験で確認されました。
アメリカのデイヴィソンとガーマーは、ニッケルの結晶に電子線を当て、特定の角度で反射電子の強度が増大することを発見しました。この回折パターンはブラッグの条件と一致し、電子のド・ブロイ波長 $\lambda = h/p$ の式から計算される値と見事に合致しました。
イギリスのG.P.トムソン（J.J.トムソンの息子）は、薄い金属箔に電子線を透過させ、X線と同様の回折リング（同心円パターン）を観測しました。
J.J.トムソンは陰極線の実験で電子が粒子であることを示しました。その息子G.P.トムソンは電子線回折の実験で電子が波であることを示しました。
親子二代にわたって、電子の粒子性と波動性をそれぞれ証明したのです。両者ともノーベル物理学賞を受賞しています。このエピソードは、粒子と波の二重性が物理学の本質であることを象徴しています。
電子の波動性は電子顕微鏡の原理的基盤です。光学顕微鏡の分解能は光の波長（$\sim 500\,\text{nm}$）で制限されますが、加速電圧 $100\,\text{kV}$ の電子のド・ブロイ波長は約 $0.004\,\text{nm}$ であり、原子1個1個を識別できるほどの分解能が得られます。
透過型電子顕微鏡（TEM）や走査型電子顕微鏡（SEM）は、材料科学や生物学の研究に不可欠なツールです。
物質波はこの章全体の到達点であり、量子力学への入り口です。
Q1. ド・ブロイ波長の式を書いてください。
Q2. 電圧 $V$ で加速された電子のド・ブロイ波長を求める式を書いてください。
Q3. 電子の波動性を実験で確認したのは誰ですか。どのような実験でしたか。
Q4. 日常的な物体にも波動性はありますか。なぜ観測できないのですか。
物質波に関する入試レベルの問題です。
電圧 $V = 150\,\text{V}$ で加速された電子のド・ブロイ波長を求めよ。$h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$、$m = 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg}$、$e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$ とする。
$\lambda \approx 0.10\,\text{nm}$
$p = \sqrt{2meV} = \sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 150}$
$= \sqrt{4.37 \times 10^{-47}} = 6.6 \times 10^{-24}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
$\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{6.6 \times 10^{-34}}{6.6 \times 10^{-24}} = 1.0 \times 10^{-10}\,\text{m} = 0.10\,\text{nm}$
電圧 $V$ で加速した電子線を格子面間隔 $d = 0.091\,\text{nm}$ の結晶に当てたところ、ブラッグ角 $\theta = 33°$ で1次の回折が観測された。この加速電圧 $V$ を求めよ。$h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$、$m = 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg}$、$e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$、$\sin 33° = 0.545$ とする。
$V \approx 150\,\text{V}$
ブラッグの条件より $\lambda = 2d\sin\theta = 2 \times 0.091 \times 0.545 = 0.099\,\text{nm} = 9.9 \times 10^{-11}\,\text{m}$
$\lambda = h/\sqrt{2meV}$ より $\sqrt{2meV} = h/\lambda$
$V = \dfrac{h^2}{2me\lambda^2} = \dfrac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times (9.9 \times 10^{-11})^2}$
$= \dfrac{4.36 \times 10^{-67}}{2.85 \times 10^{-69}} \approx 153\,\text{V} \approx 150\,\text{V}$
電子（質量 $m_e = 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg}$）と陽子（質量 $m_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\text{kg}$）がそれぞれ同じ運動エネルギー $K$ をもつとき、ド・ブロイ波長の比 $\lambda_e / \lambda_p$ を求めよ。
$\lambda_e / \lambda_p = \sqrt{m_p / m_e} \approx 43$
$\lambda = h/p = h/\sqrt{2mK}$ より、同じ $K$ では $\lambda \propto 1/\sqrt{m}$。
$$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{1/\sqrt{m_e}}{1/\sqrt{m_p}} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}} = \sqrt{\frac{1.67 \times 10^{-27}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{1836} \approx 43$$
電子の方が陽子の約43倍長いド・ブロイ波長をもちます。同じ運動エネルギーなら、軽い粒子ほど波動性が顕著になります。