ラザフォードの原子模型は、原子核の存在を示した点で画期的でした。
しかし古典物理学では、回転する電子は電磁波を放出し続け、やがて原子核に落ち込んでしまうはずです。
1913年、ボーアは「電子は特定の軌道だけをとる」という大胆な仮説を提唱し、水素原子の線スペクトルを見事に説明しました。
ここでは、量子条件と振動数条件という2つの柱から、ボーアの原子模型を学びましょう。
ラザフォードは原子核の存在を発見しましたが、その原子模型には致命的な問題がありました。 古典電磁気学によれば、加速度運動する荷電粒子は電磁波を放出するはずです。
電子が円運動をしている以上、常に中心に向かう加速度をもっています。 したがって電子は電磁波を放出してエネルギーを失い続け、約 $10^{-11}\,\text{s}$ で原子核に落ち込んでしまいます。 原子が安定に存在できないことになるのです。
また、もし電子が連続的にエネルギーを失うなら、放出される光の波長も連続的に変化するはずです。 しかし実際には、水素原子は特定の波長の光だけを放出する線スペクトルを示します。 この2つの矛盾を解決するために、ボーアは古典物理学にはない新しいルールを導入しました。
ラザフォードモデルの問題は、古典電磁気学をそのまま適用したことにあります。
ボーアの革新的なアイデアは、「原子の世界では古典物理学のルールがそのまま成り立つわけではない」と認め、新しいルール（量子条件）を大胆に導入したことです。
1913年、ニールス・ボーアは水素原子について次の2つの仮説を提唱しました。
電子は任意の軌道ではなく、特定の軌道上だけを回ることができる。 この許された軌道上にある限り、電子は電磁波を放出しない。 この安定な状態を定常状態と呼びます。
電子の軌道の円周が、ド・ブロイ波長の整数倍に等しい：
$$2\pi r = n\lambda \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$
角運動量で表すと：
$$mvr = n\frac{h}{2\pi} = n\hbar \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$
量子数 $n$ は正の整数で、$n = 1$ の軌道が最もエネルギーが低い基底状態、 $n \geq 2$ の状態を励起状態と呼びます。
電子が高いエネルギーの定常状態から低いエネルギーの定常状態に遷移するとき、 そのエネルギー差に等しいエネルギーをもつ光子（フォトン）を1個放出します。
$$h\nu = E_n - E_m \quad (n > m)$$
逆に、外部から光を吸収して低い状態から高い状態に遷移することもできます。 この場合も $h\nu = E_n - E_m$ が成り立ちます。
✕ 誤：量子条件は光の放出に関する条件である
○ 正：量子条件は「電子がとれる軌道」を決める条件。光の放出・吸収に関する条件は「振動数条件」
この2つの仮説はセットで理解しましょう。量子条件が「どの状態が許されるか」を決め、振動数条件が「状態間の遷移で何が起こるか」を決めます。
古典物理学では、エネルギーは連続的にどんな値でもとれます。しかしボーアの理論では、電子のエネルギーは飛び飛びの値しかとれません。
この「離散的（とびとび）なエネルギー」こそが量子力学の本質であり、原子が特定の波長の光だけを出す線スペクトルの原因です。
ボーアの量子条件とクーロン力の式を組み合わせると、水素原子の電子の軌道半径とエネルギーが具体的に求まります。
電子（質量 $m$、電荷 $-e$）が原子核（電荷 $+e$）の周りを半径 $r$ で等速円運動しているとき、
円運動の方程式（クーロン力＝向心力）：
$$k_e\frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \quad \cdots (1)$$
量子条件：
$$mvr = n\hbar \quad \cdots (2)$$
(2)より $v = \dfrac{n\hbar}{mr}$ を(1)に代入すると、
$$k_e\frac{e^2}{r^2} = \frac{m}{r}\left(\frac{n\hbar}{mr}\right)^2 = \frac{n^2\hbar^2}{mr^3}$$
整理して、
$$r_n = \frac{n^2\hbar^2}{mk_e e^2} = n^2 a_0$$
$$r_n = n^2 a_0$$
$$a_0 = \frac{\hbar^2}{mk_e e^2} \approx 5.29 \times 10^{-11}\,\text{m} \approx 0.053\,\text{nm}$$
運動エネルギー $K$ と位置エネルギー $U$ の和がエネルギー $E$ です。
(1)より $mv^2 = k_e\dfrac{e^2}{r}$ なので、
$$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{k_e e^2}{2r}$$
$$U = -\frac{k_e e^2}{r}$$
$$E = K + U = \frac{k_e e^2}{2r} - \frac{k_e e^2}{r} = -\frac{k_e e^2}{2r}$$
$r_n = n^2 a_0$ を代入すると、
$$E_n = -\frac{k_e e^2}{2n^2 a_0} = -\frac{13.6}{n^2}\,\text{eV}$$
$$E_n = -\frac{13.6}{n^2}\,\text{eV} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$
| $n$ | $r_n$ | $E_n$ (eV) |
|---|---|---|
| 1 | $a_0 = 0.053\,\text{nm}$ | $-13.6$ |
| 2 | $4a_0 = 0.21\,\text{nm}$ | $-3.40$ |
| 3 | $9a_0 = 0.48\,\text{nm}$ | $-1.51$ |
| 4 | $16a_0 = 0.85\,\text{nm}$ | $-0.850$ |
| $\infty$ | $\infty$ | $0$ |
✕ 誤：$E_1 = -13.6\,\text{eV}$ なので、電子はエネルギーをもっていない
○ 正：エネルギーの基準を $n \to \infty$（電離状態）で $E = 0$ と定めているため負になる。$|E_1| = 13.6\,\text{eV}$ が電子を引き離すのに必要なエネルギー（イオン化エネルギー）
負のエネルギーは「束縛されている」ことを意味します。絶対値が大きいほど強く束縛されています。
振動数条件 $h\nu = E_n - E_m$ と $E_n = -13.6/n^2\,\text{eV}$ を組み合わせると、水素原子のスペクトル系列が説明できます。
$m = 1$ に遷移する系列をライマン系列（紫外線）、$m = 2$ をバルマー系列（可視光）、$m = 3$ をパッシェン系列（赤外線）と呼びます。
波長の逆数（波数）は $\dfrac{1}{\lambda} = R\left(\dfrac{1}{m^2} - \dfrac{1}{n^2}\right)$ で表され、$R$ はリュードベリ定数と呼ばれます。
これらの限界は、のちに量子力学（シュレーディンガー方程式）によって克服されます。 ボーアモデルは、古典物理学から量子力学への架け橋として重要な役割を果たしました。
ボーアモデルは、エネルギーが飛び飛びの値をとるという量子化の概念を原子の世界に初めて持ち込みました。
高校物理では、ボーアモデルの結果（$E_n = -13.6/n^2\,\text{eV}$）を使って水素原子のスペクトルやイオン化エネルギーを計算できれば十分です。
ボーアの原子模型は、原子の構造を理解する上で不可欠な理論です。
Q1. ボーアの量子条件を式で書いてください。
Q2. 振動数条件 $h\nu = E_n - E_m$ で、$n > m$ のとき何が起こりますか。
Q3. 水素原子の基底状態（$n = 1$）のエネルギーはいくらですか。
Q4. $n = 3$ の軌道半径はボーア半径 $a_0$ の何倍ですか。
ボーアの原子模型に関する入試形式の問題です。
水素原子のエネルギー準位は $E_n = -\dfrac{13.6}{n^2}\,\text{eV}$ で与えられる。
(1) $n = 2$ のエネルギー準位を求めよ。
(2) $n = 3$ から $n = 2$ に遷移するとき放出される光子のエネルギーを求めよ。
(1) $E_2 = -3.40\,\text{eV}$
(2) $1.89\,\text{eV}$
(1) $E_2 = -\dfrac{13.6}{2^2} = -\dfrac{13.6}{4} = -3.40\,\text{eV}$
(2) $E_3 = -\dfrac{13.6}{9} = -1.51\,\text{eV}$
$h\nu = E_3 - E_2 = (-1.51) - (-3.40) = 1.89\,\text{eV}$
これはバルマー系列の $H_\alpha$ 線に対応し、赤色の可視光です。
水素原子中の電子が $n = 2$ の定常状態から $n = 1$ の基底状態に遷移するとき放出される光の波長を求めよ。ただし、$h = 6.63 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$、$c = 3.00 \times 10^8\,\text{m/s}$、$1\,\text{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\text{J}$ とする。
$\lambda \approx 1.22 \times 10^{-7}\,\text{m} = 122\,\text{nm}$（紫外線）
放出される光子のエネルギー：
$h\nu = E_2 - E_1 = (-3.40) - (-13.6) = 10.2\,\text{eV}$
$= 10.2 \times 1.60 \times 10^{-19} = 1.632 \times 10^{-18}\,\text{J}$
$\lambda = \dfrac{hc}{h\nu} = \dfrac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.00 \times 10^8}{1.632 \times 10^{-18}}$
$= \dfrac{1.989 \times 10^{-25}}{1.632 \times 10^{-18}} = 1.22 \times 10^{-7}\,\text{m} = 122\,\text{nm}$
これはライマン系列の $L_\alpha$ 線で、紫外線領域です。
水素原子の基底状態にある電子に $12.5\,\text{eV}$ のエネルギーをもつ光子を照射した。
(1) この光子は水素原子に吸収されるか。理由とともに答えよ。
(2) 水素原子を基底状態から電離させるために必要な光子の最小エネルギーはいくらか。
(3) $n = 4$ の励起状態にある水素原子から放出されうる光のスペクトル線は最大何本か。
(1) 吸収されない。$12.5\,\text{eV}$ はどの2つのエネルギー準位の差にも一致しないため。
(2) $13.6\,\text{eV}$
(3) 6本
(1) $n = 1$ から遷移できる準位のエネルギー差は $E_2 - E_1 = 10.2\,\text{eV}$、$E_3 - E_1 = 12.1\,\text{eV}$、$E_4 - E_1 = 12.75\,\text{eV}$ …であり、$12.5\,\text{eV}$ と一致するものがない。光子はエネルギー準位の差とぴったり一致するエネルギーでなければ吸収されない。
(2) 電離エネルギーは $E_\infty - E_1 = 0 - (-13.6) = 13.6\,\text{eV}$。
(3) $n = 4$ から $n = 3, 2, 1$、$n = 3$ から $n = 2, 1$、$n = 2$ から $n = 1$ の遷移が可能。合計 ${}_4C_2 = 6$ 本。