第28章で学んだ内容（ラザフォードの原子模型、水素原子のスペクトル、ボーアの原子模型、エネルギー準位）を
総合的に確認する演習問題集です。
基礎レベルから入試レベルまで段階的に取り組みましょう。
最近接距離（ラザフォード散乱）：$d = \dfrac{4k_e Ze^2}{mv_0^2}$
ボーアの量子条件：$mvr = n\hbar = n\dfrac{h}{2\pi}$
振動数条件：$h\nu = E_n - E_m$
水素原子の軌道半径：$r_n = n^2 a_0$ （$a_0 \approx 0.053\,\text{nm}$）
水素原子のエネルギー準位：$E_n = -\dfrac{13.6}{n^2}\,\text{eV}$
リュードベリの公式：$\dfrac{1}{\lambda} = R\left(\dfrac{1}{m^2} - \dfrac{1}{n^2}\right)$
スペクトル線の最大本数：${}_nC_2 = \dfrac{n(n-1)}{2}$
トムソンモデル（正電荷が均一に分布）→ ラザフォードモデル（原子核の発見）→ ボーアモデル（量子条件で安定性を説明）→ エネルギー準位（線スペクトルの定量的説明）
原子模型の発展を「なぜ前のモデルでは不十分だったか」を軸に整理しておくと、論述問題にも強くなります。
Q1. ラザフォードの散乱実験で、α粒子が大角度に散乱された理由を述べよ。
Q2. ボーアの量子条件と振動数条件をそれぞれ式で書け。
Q3. 水素原子の $n = 4$ から $n = 2$ への遷移で放出される光子のエネルギーを求めよ。
Q4. ラザフォードモデルが古典物理学で抱える問題点を2つ述べよ。
Q5. 吸収スペクトル（暗線）が現れる理由をエネルギー準位を用いて説明せよ。
第28章全体の内容を入試形式で確認します。
次の(ア)〜(オ)の記述のうち、ラザフォードの原子模型に関する正しい記述をすべて選べ。
(ア) 正電荷は原子全体に一様に分布している
(イ) 原子の中心に正電荷と質量が集中した原子核がある
(ウ) 原子核の大きさは原子全体の約 $10^{-5}$ 倍である
(エ) 電子は特定の軌道上のみを運動する
(オ) 古典物理学では原子の安定性を説明できない
(イ)、(ウ)、(オ)
(ア)はトムソンの原子模型。(エ)はボーアの原子模型の量子条件。ラザフォードモデルの特徴は(イ)原子核の存在、(ウ)原子核の小ささ、(オ)古典物理での不安定性です。
水素原子のエネルギー準位は $E_n = -13.6/n^2\,\text{eV}$ で与えられる。$h = 6.63 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$、$c = 3.00 \times 10^8\,\text{m/s}$、$1\,\text{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\text{J}$ として、次の問いに答えよ。
(1) $n = 3$ の励起状態から基底状態へ直接遷移するとき放出される光の波長を求めよ。
(2) $n = 3$ から $n = 2$、さらに $n = 2$ から $n = 1$ へ段階的に遷移した場合、放出される2つの光の波長をそれぞれ求めよ。
(3) (1)と(2)の光子のエネルギーの関係を式で示し、その物理的意味を述べよ。
(1) $\lambda_{31} \approx 103\,\text{nm}$
(2) $\lambda_{32} \approx 656\,\text{nm}$、$\lambda_{21} \approx 122\,\text{nm}$
(3) $h\nu_{31} = h\nu_{32} + h\nu_{21}$（エネルギー保存則）
(1) $h\nu = E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09\,\text{eV} = 1.934 \times 10^{-18}\,\text{J}$
$\lambda = \dfrac{hc}{h\nu} = \dfrac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.00 \times 10^8}{1.934 \times 10^{-18}} = 1.03 \times 10^{-7}\,\text{m} = 103\,\text{nm}$
(2) $h\nu_{32} = E_3 - E_2 = 1.89\,\text{eV}$ → $\lambda_{32} = 656\,\text{nm}$
$h\nu_{21} = E_2 - E_1 = 10.2\,\text{eV}$ → $\lambda_{21} = 122\,\text{nm}$
(3) 直接遷移のエネルギーは段階的遷移のエネルギーの合計に等しい。$(E_3 - E_1) = (E_3 - E_2) + (E_2 - E_1)$。ただし、波長については $1/\lambda_{31} = 1/\lambda_{32} + 1/\lambda_{21}$ではなく（これは正しい関係式）、$\lambda_{31} \neq \lambda_{32} + \lambda_{21}$ である点に注意。
次の問いに答えよ。
(1) トムソンの原子模型、ラザフォードの原子模型、ボーアの原子模型について、それぞれの特徴と限界を簡潔に述べよ。
(2) 水素原子の $n = 4$ の励起状態にある多数の原子から放出されうるスペクトル線の最大本数を求め、それぞれの遷移がどのスペクトル系列に属するか答えよ。
(3) 基底状態の水素原子に電子を衝突させて $n = 3$ の励起状態にしたい。電子に最低限必要な運動エネルギーを求めよ。光子の吸収との違いは何か。
(1) トムソン：正電荷が一様に分布。α線散乱実験の大角度散乱を説明できない。ラザフォード：原子核を発見。古典物理で原子の安定性を説明できない。ボーア：量子条件で安定な軌道を説明。多電子原子に適用できない。
(2) ${}_4C_2 = 6$ 本。ライマン系列：$2\to1$, $3\to1$, $4\to1$（3本）。バルマー系列：$3\to2$, $4\to2$（2本）。パッシェン系列：$4\to3$（1本）。
(3) $E_3 - E_1 = 12.09\,\text{eV}$。光子は「ぴったり」のエネルギーが必要だが、電子の衝突では「以上」のエネルギーがあればよい。
(1) 原子模型の変遷は「何が説明できなかったか」を軸に整理する。各模型の功績と限界を対比して述べることが重要。
(2) 6本の遷移を系統的に列挙する。$4 \to 1, 3, 2$ で3本、$3 \to 1, 2$ で2本、$2 \to 1$ で1本。系列の分類は遷移先で決まる。
(3) 電子の衝突による励起では、余分なエネルギーは衝突後の電子の運動エネルギーとして持ち去られる。光子の吸収とは異なり、エネルギーがぴったり一致する必要はない。ただし $12.09\,\text{eV}$ は最低限必要。