第29章で学んだ原子核の構成、放射性崩壊、核反応、質量欠損、核分裂・核融合、素粒子を横断的に復習します。
公式の確認から入試レベルの総合問題まで取り組み、知識を確実に定着させましょう。
$${}^{A}_{Z}\text{X}$$
$Z$：原子番号（陽子の数）、$A$：質量数（陽子＋中性子の数）、$N = A - Z$：中性子数
同位体（アイソトープ）：$Z$ が同じで $A$ が異なる原子核
$\alpha$ 崩壊：${}^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + {}^{4}_{2}\text{He}$
$\beta^-$ 崩壊：${}^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A}_{Z+1}\text{Y} + e^- + \bar{\nu}_e$
$\gamma$ 崩壊：励起状態 $\to$ 基底状態 $+ \gamma$（$Z$, $A$ は変化なし）
半減期の公式：$N(t) = N_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$
$N_0$：初期の原子核数、$T$：半減期、$t$：経過時間
質量欠損：$\Delta m = [Z \cdot m_p + (A-Z) \cdot m_n] - M$
結合エネルギー：$B = \Delta m \cdot c^2$
反応エネルギー：$Q = (\text{反応前の質量和} - \text{反応後の質量和}) \times c^2$
単位換算：$1\,\text{u} = 931.5\,\text{MeV}/c^2$
核分裂：${}^{235}\text{U} + n \to$ 核分裂片 + 中性子 + 約200 MeV
D-T核融合：${}^{2}\text{H} + {}^{3}\text{H} \to {}^{4}\text{He} + n + 17.6\,\text{MeV}$
統一原理：$B/A$ が増える方向に進む反応でエネルギーが放出される
クォーク（u, d, c, s, t, b）：陽子 = uud、中性子 = udd
u の電荷 $= +2/3\,e$、d の電荷 $= -1/3\,e$
バリオン：クォーク3個、メソン：クォーク＋反クォーク
レプトン（$e, \mu, \tau$ + 各ニュートリノ）：強い力を受けない
湯川の中間子質量推定：$m \sim \hbar/(rc)$
原子核は陽子と中性子（核子）が核力で結合した系です。不安定な原子核は放射性崩壊を起こし、核反応では質量数・原子番号が保存されます。質量欠損が結合エネルギーの源であり、$B/A$ 曲線が核分裂と核融合の両方でエネルギーが放出される理由を統一的に説明します。さらにミクロな世界では、核子はクォークから成り、自然界には4つの基本的力が存在します。
Q1. ${}^{238}_{\ 92}\text{U}$ が $\alpha$ 崩壊を2回、$\beta^-$ 崩壊を1回行った後の原子核の質量数と原子番号を求めよ。
Q2. 半減期8日の放射性物質がある。48日後に残っている割合を求めよ。
Q3. 中性子のクォーク構成を書き、ベータ崩壊をクォークレベルで説明せよ。
Q4. $B/A$ 曲線において鉄（$A \approx 56$）が最も安定である理由を説明せよ。
Q5. 対消滅と対生成をそれぞれ反応式で書き、エネルギー条件を述べよ。
放射性元素 ${}^{232}_{\ 90}\text{Th}$（トリウム232）は、一連の $\alpha$ 崩壊と $\beta^-$ 崩壊を経て安定な ${}^{208}_{\ 82}\text{Pb}$（鉛208）になる。
(1) この崩壊系列全体で、$\alpha$ 崩壊は何回、$\beta^-$ 崩壊は何回起こるか。
(2) ある試料中の ${}^{232}\text{Th}$ の半減期は $1.4 \times 10^{10}$ 年である。現在 ${}^{232}\text{Th}$ と ${}^{208}\text{Pb}$ の原子数の比が $3:1$ であるとき、この試料が形成されてから何年経過しているか。ただし $\log_2 3 = 1.585$ とする。
(1) 質量数の変化：$232 - 208 = 24$。$\alpha$ 崩壊1回で質量数 $-4$ なので、$\alpha$ 崩壊 $= 24/4 = \boldsymbol{6}$ 回。
原子番号の変化：$\alpha$ 崩壊6回で $90 - 12 = 78$。安定核の原子番号は82なので、$\beta^-$ 崩壊 $= 82 - 78 = \boldsymbol{4}$ 回。
(2) 初期の ${}^{232}\text{Th}$ の原子数を $N_0$ とすると、現在の ${}^{232}\text{Th}$ は $N$、${}^{208}\text{Pb}$ は $N_0 - N$。
$N : (N_0 - N) = 3 : 1$ より $N = \dfrac{3}{4}N_0$
$\dfrac{N}{N_0} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T} = \dfrac{3}{4}$
$\dfrac{t}{T} = -\log_2\dfrac{3}{4} = \log_2\dfrac{4}{3} = \log_2 4 - \log_2 3 = 2 - 1.585 = 0.415$
$t = 0.415 \times 1.4 \times 10^{10} \approx \boldsymbol{5.8 \times 10^9}$ 年
(1) $\alpha$ 崩壊の回数は質量数の変化から、$\beta^-$ 崩壊の回数は原子番号のつじつま合わせから求めます。$\gamma$ 崩壊は $Z$, $A$ を変えないので回数に影響しません。
(2) 鉛208はすべてトリウム232の崩壊で生じたと仮定しています。$N_0 = N + N_{\text{Pb}}$ の関係を使い、半減期の公式から対数で $t$ を求めます。約58億年 ── 地球の年齢（約46億年）と同程度のスケールです。
以下の原子核の質量が与えられている（単位 u）。$1\,\text{u} = 931.5\,\text{MeV}/c^2$、$1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}$ とする。
${}^{2}\text{H}$：$2.0141$、${}^{3}\text{H}$：$3.0161$、${}^{3}\text{He}$：$3.0160$、${}^{4}\text{He}$：$4.0026$、${}^{1}\text{n}$：$1.0087$、${}^{1}\text{H}$（陽子）：$1.0078$
(1) 重水素 ${}^{2}\text{H}$ の結合エネルギーを MeV で求めよ。
(2) ${}^{4}\text{He}$ の結合エネルギーと、核子あたりの結合エネルギーを求めよ。
(3) 次の核融合反応の放出エネルギーを求めよ。
${}^{2}\text{H} + {}^{3}\text{H} \to {}^{4}\text{He} + {}^{1}\text{n}$
(1) ${}^{2}\text{H}$ は陽子1個 + 中性子1個。
$\Delta m = (1.0078 + 1.0087) - 2.0141 = 0.0024\,\text{u}$
$B = 0.0024 \times 931.5 = \boldsymbol{2.24\,\textbf{MeV}}$
(2) ${}^{4}\text{He}$ は陽子2個 + 中性子2個。
$\Delta m = (2 \times 1.0078 + 2 \times 1.0087) - 4.0026 = 4.0330 - 4.0026 = 0.0304\,\text{u}$
$B = 0.0304 \times 931.5 = \boldsymbol{28.3\,\textbf{MeV}}$
$B/A = 28.3/4 = \boldsymbol{7.07\,\textbf{MeV/核子}}$
(3) $\Delta m = (2.0141 + 3.0161) - (4.0026 + 1.0087) = 5.0302 - 5.0113 = 0.0189\,\text{u}$
$Q = 0.0189 \times 931.5 = \boldsymbol{17.6\,\textbf{MeV}}$
(1)(2) 結合エネルギーは「バラバラの核子の質量和」と「原子核の質量」の差です。${}^{4}\text{He}$ は $B/A \approx 7.07\,\text{MeV}$ と非常に安定な原子核です（魔法数 $Z = N = 2$ の二重閉殻）。
(3) D-T反応はすべての核融合反応の中で最も低い温度で起こるため、核融合炉の候補反応です。反応前後の質量差を正確に計算しましょう。
原子力発電所で ${}^{235}\text{U}$ の核分裂を利用して発電を行っている。核分裂1回あたり $200\,\text{MeV}$ のエネルギーが放出され、発電効率は33%である。$1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}$、$N_A = 6.0 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1}$ とする。
(1) 出力 $1.0\,\text{GW}$（$= 1.0 \times 10^9\,\text{W}$）の電力を発生させるために、毎秒何回の核分裂が必要か。
(2) 1年間（$3.15 \times 10^7\,\text{s}$）の運転で消費される ${}^{235}\text{U}$ の質量を kg 単位で求めよ。
(3) 同じ電力量を石炭火力発電（効率40%、石炭の発熱量 $2.9 \times 10^7\,\text{J/kg}$）で賄う場合、1年間に必要な石炭の質量を求め、原子力との比較を論ぜよ。
(1) 核分裂1回のエネルギー：$200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{-11}\,\text{J}$
発電効率33%なので、電力 $1.0 \times 10^9\,\text{W}$ を得るのに必要な熱出力：
$P_{\text{th}} = \dfrac{1.0 \times 10^9}{0.33} = 3.03 \times 10^9\,\text{W}$
毎秒の核分裂回数：$n = \dfrac{3.03 \times 10^9}{3.2 \times 10^{-11}} = \boldsymbol{9.5 \times 10^{19}}$ 回/s
(2) 1年間の核分裂回数：$N = 9.5 \times 10^{19} \times 3.15 \times 10^7 = 2.99 \times 10^{27}$ 回
${}^{235}\text{U}$ の物質量：$\dfrac{2.99 \times 10^{27}}{6.0 \times 10^{23}} = 4.98 \times 10^3\,\text{mol}$
質量：$4.98 \times 10^3 \times 235 = 1.17 \times 10^6\,\text{g} \approx \boldsymbol{1.2 \times 10^3\,\textbf{kg}}$（約1.2トン）
(3) 1年間に発電所が生む電力量：$E_{\text{elec}} = 1.0 \times 10^9 \times 3.15 \times 10^7 = 3.15 \times 10^{16}\,\text{J}$
石炭火力で同じ電力量を得るための石炭質量：
$m = \dfrac{E_{\text{elec}}}{0.40 \times 2.9 \times 10^7} = \dfrac{3.15 \times 10^{16}}{1.16 \times 10^7} = 2.72 \times 10^9\,\text{kg}$
$\approx \boldsymbol{2.7 \times 10^6}$ トン（約270万トン）
ウラン約1.2トンに対し、石炭は約270万トン。核燃料は化石燃料の約200万分の1の質量で同等のエネルギーを取り出せます。
核分裂1回あたりのエネルギー（200 MeV）は化学反応（数 eV）の約1億倍であるため、必要な燃料の質量は桁違いに小さくなります。(1)で発電効率を考慮して熱出力を求める点がポイントです。(3)では同じ電力量を基準に比較しますが、石炭火力の効率も考慮する必要があります。