直流ではコンデンサーは充電が完了すると電流が止まります。しかし交流では事情が違います。
電圧が絶えず変化するため、コンデンサーは充電と放電を繰り返し、あたかも電流が流れ続けるかのように振る舞います。
この「交流に対する通しにくさ」を容量リアクタンスと呼びます。
電気容量 $C$ のコンデンサーに交流電圧 $v = V_0 \sin\omega t$ を加えます。 コンデンサーの電荷 $q$ と電圧 $v$ の関係は $q = Cv$ ですから、
$$q = CV_0 \sin\omega t$$
電流は電荷の時間変化率なので、
$$i = \frac{dq}{dt} = C V_0 \omega \cos\omega t = \omega C V_0 \cos\omega t$$
$\cos\omega t = \sin\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)$ なので、電流は電圧より位相が $\dfrac{\pi}{2}$（90度）進んでいます。
コンデンサーの基本関係式 $q = Cv$ より、
$$i = \frac{dq}{dt} = C\frac{dv}{dt} = C \cdot V_0\omega\cos\omega t$$
$\cos\omega t = \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ を用いると、
$$i = \omega C V_0 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$$
電流の最大値は $I_0 = \omega C V_0$ です。
コンデンサーでは $i = C\dfrac{dv}{dt}$、つまり電圧の変化が激しいほど大きな電流が流れます。
$\sin\omega t$ の変化率が最大なのは $\omega t = 0$（ゼロを横切る瞬間）です。このとき電圧はゼロですが電流は最大 ── だから電流が電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 進むのです。
抵抗回路では「電圧の最大値 ÷ 電流の最大値 = 抵抗」でした。 コンデンサーでも同様に、交流に対する「通しにくさ」を定義できます。
$$X_C = \frac{V_0}{I_0} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$$
容量リアクタンスの特徴は、周波数が高いほど小さくなることです。 つまり、高周波の交流ほどコンデンサーを通りやすく、低周波の交流ほど通りにくくなります。 直流（$f = 0$）では $X_C \to \infty$ となり、電流は全く流れません。
✕ 誤：$X_C = \omega C$
○ 正：$X_C = \dfrac{1}{\omega C}$
$\omega C$ は電流の最大値 $I_0 = \omega C V_0$ に現れる係数であり、リアクタンスは $\dfrac{V_0}{I_0} = \dfrac{1}{\omega C}$ です。逆数を忘れないようにしましょう。
実効値を用いると、抵抗のときと同じ形で書けます。
$$V_e = I_e X_C = \frac{I_e}{\omega C}$$
$X_C = \dfrac{1}{\omega C}$ という性質を利用して、コンデンサーは電子回路でフィルターとして使われます。
高周波成分はコンデンサーを通りやすく（$X_C$ が小さい）、低周波成分は通りにくい。 この性質を利用したハイパスフィルターは、オーディオ機器やラジオの回路で広く使われています。
コンデンサー回路の位相関係をまとめましょう。
電圧：$v = V_0 \sin\omega t$
電流：$i = I_0 \sin\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right) = I_0 \cos\omega t$
電流は電圧より位相が $\dfrac{\pi}{2}$（90度）進んでいます。 言い換えれば、電流が先に最大値に達し、$\dfrac{T}{4}$（4分の1周期）遅れて電圧が最大値に達します。
✕ 誤：コンデンサーでは電圧が電流より $\dfrac{\pi}{2}$ 進む
○ 正：コンデンサーでは電流が電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 進む
覚え方：「コンデンサーは電流が先」。電圧が変わり始めると、すぐに充放電電流が流れるイメージです。
コンデンサーの電流は $i = C\dfrac{dv}{dt}$ であり、電圧の微分に比例します。
$\sin$ の微分は $\cos$ であり、$\cos$ は $\sin$ より位相が $\dfrac{\pi}{2}$ 進んでいます。これが「電流が電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 進む」ことの数学的な根拠です。
コンデンサー回路の瞬時電力を計算してみましょう。
$$p = vi = V_0\sin\omega t \cdot I_0\cos\omega t = \frac{V_0 I_0}{2}\sin 2\omega t$$
$\sin 2\omega t$ の1周期平均はゼロですから、
$$\overline{P} = 0$$
コンデンサーは電場にエネルギーを蓄え、次の半周期でそのエネルギーを電源に返します。 1周期全体で見ると、エネルギーの出入りがちょうど相殺されてゼロになります。
これは位相差が $\dfrac{\pi}{2}$ であることの直接的な帰結です。位相差が正確に $\dfrac{\pi}{2}$ のとき、$\sin\omega t \cdot \cos\omega t = \dfrac{1}{2}\sin 2\omega t$ の平均がゼロになるのです。
コンデンサーの交流特性は、コイルとの対比で理解が深まります。
Q1. コンデンサー回路で、電圧と電流の位相関係を述べてください。
Q2. 容量リアクタンスの公式を書き、周波数との関係を述べてください。
Q3. コンデンサーの平均消費電力がゼロになる理由を説明してください。
Q4. $10\,\mu\text{F}$ のコンデンサーに $50\,\text{Hz}$ の交流を加えたとき、容量リアクタンスを求めてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
電気容量 $20\,\mu\text{F}$ のコンデンサーに、実効値 $100\,\text{V}$、周波数 $50\,\text{Hz}$ の交流電圧を加えた。次の問いに答えよ。
(1) 容量リアクタンスを求めよ。
(2) 電流の実効値を求めよ。
(1) $X_C \approx 159\,\Omega$
(2) $I_e \approx 0.628\,\text{A}$
(1) $X_C = \dfrac{1}{2\pi f C} = \dfrac{1}{2\pi \times 50 \times 20 \times 10^{-6}} = \dfrac{1}{6.28 \times 10^{-3}} \approx 159\,\Omega$
(2) $I_e = \dfrac{V_e}{X_C} = \dfrac{100}{159} \approx 0.628\,\text{A}$
電気容量 $C$ のコンデンサーに実効値 $V_e$ の交流電圧を加える。周波数を $f_1$ から $f_2 = 2f_1$ に変えたとき、次の問いに答えよ。
(1) 容量リアクタンスはもとの何倍になるか。
(2) 電流の実効値はもとの何倍になるか。
(3) この結果から、コンデンサーが高周波をよく通す素子であることを説明せよ。
(1) $\dfrac{1}{2}$ 倍
(2) $2$ 倍
(3) 下記参照
(1) $X_C = \dfrac{1}{2\pi f C}$ は $f$ に反比例する。$f$ が2倍になると $X_C$ は $\dfrac{1}{2}$ 倍。
(2) $I_e = \dfrac{V_e}{X_C}$ で $V_e$ が一定なら $X_C$ が半分になると $I_e$ は2倍。
(3) 周波数が高いほど $X_C$ が小さくなり電流が大きくなるので、高周波ほどコンデンサーを通りやすい。逆に直流（$f = 0$）では $X_C \to \infty$ で全く通さない。
抵抗 $R = 30\,\Omega$ とコンデンサー $C = 100\,\mu\text{F}$ を直列に接続し、実効値 $100\,\text{V}$、周波数 $\dfrac{50}{\pi}\,\text{Hz}$ の交流電源につないだ。次の問いに答えよ。
(1) 容量リアクタンス $X_C$ を求めよ。
(2) 回路のインピーダンス $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ を求めよ。
(3) 電流の実効値を求めよ。
(1) $X_C = 100\,\Omega$
(2) $Z \approx 104\,\Omega$
(3) $I_e \approx 0.960\,\text{A}$
角周波数 $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \dfrac{50}{\pi} = 100\,\text{rad/s}$
(1) $X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{100 \times 100 \times 10^{-6}} = \dfrac{1}{0.01} = 100\,\Omega$
(2) $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{30^2 + 100^2} = \sqrt{900 + 10000} = \sqrt{10900} \approx 104\,\Omega$
(3) $I_e = \dfrac{V_e}{Z} = \dfrac{100}{104} \approx 0.960\,\text{A}$