コイル（インダクター）は自己誘導によって電流の変化を妨げる性質をもちます。
直流が定常状態に達すれば抵抗ゼロですが、絶えず電流が変化する交流では話が変わります。
コイルの「交流に対する抵抗」── 誘導リアクタンス ── を学びましょう。コンデンサーとは正反対の性質をもつ素子です。
自己インダクタンス $L$ のコイルに交流電流 $i = I_0 \sin\omega t$ が流れているとき、 コイルの両端に生じる自己誘導起電力は $-L\dfrac{di}{dt}$ です。 キルヒホッフの法則より、電源電圧はこの起電力を打ち消す形になります。
コイルに流れる電流を $i = I_0\sin\omega t$ とします。
コイルの両端の電圧は、
$$v = L\frac{di}{dt} = L \cdot I_0\omega\cos\omega t = \omega L I_0 \cos\omega t$$
$\cos\omega t = \sin\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)$ を用いると、
$$v = \omega L I_0 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$$
電圧の最大値は $V_0 = \omega L I_0$ です。
電圧が $\sin(\omega t + \dfrac{\pi}{2})$ で電流が $\sin\omega t$ ですから、 電圧が電流より位相が $\dfrac{\pi}{2}$ 進んでいる（＝電流が電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れている）ことがわかります。
コイルの電圧は $v = L\dfrac{di}{dt}$、つまり電流の変化率に比例します。
電流がゼロを横切る瞬間に変化率が最大なので、そのとき電圧が最大になります。 これがコンデンサーとは逆で「電圧が電流より $\dfrac{\pi}{2}$ 進む」理由です。
$$X_L = \frac{V_0}{I_0} = \omega L = 2\pi f L$$
容量リアクタンスとは対照的に、誘導リアクタンスは周波数が高いほど大きくなります。 高周波の電流ほど変化が急で、コイルの自己誘導による抵抗が増すためです。 直流（$f = 0$）では $X_L = 0$ となり、抵抗ゼロの導線として振る舞います。
| コンデンサー | コイル | |
|---|---|---|
| リアクタンス | $X_C = \dfrac{1}{\omega C}$ | $X_L = \omega L$ |
| 周波数が増すと | $X_C$ 減少（通しやすい） | $X_L$ 増加（通しにくい） |
| 直流では | $X_C \to \infty$（遮断） | $X_L = 0$（素通り） |
| 電流の位相 | 電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 進む | 電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れる |
✕ 誤：「コイルで電流が進む」「コンデンサーで電流が遅れる」
○ 正：コイルでは電流が遅れ、コンデンサーでは電流が進む
覚え方：「コイルは変化を嫌がる → 電流がなかなかついていけない → 遅れる」「コンデンサーは電圧変化にすぐ反応 → 電流が先に流れる → 進む」
$X_L = \omega L$ は周波数に比例するので、高周波ほどコイルを通りにくくなります。 この性質を利用したローパスフィルターは、電源のノイズ除去などに利用されます。
コンデンサーのハイパスフィルターと組み合わせることで、特定の周波数帯だけを取り出すバンドパスフィルターも構成できます。
コイル回路の位相関係をまとめます。
電流：$i = I_0 \sin\omega t$
電圧：$v = V_0 \sin\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right) = V_0 \cos\omega t$
電流は電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れています。 電圧が最大になってから $\dfrac{T}{4}$ 経って、ようやく電流が最大に達します。
交流回路における位相のずれは、微分と積分の関係で統一的に理解できます。
コンデンサー：$i = C\dfrac{dv}{dt}$（電流は電圧の微分） → 電流が $\dfrac{\pi}{2}$ 進む
コイル：$v = L\dfrac{di}{dt}$（電圧は電流の微分） → 電圧が $\dfrac{\pi}{2}$ 進む（＝電流が $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れる）
$\sin$ を微分すると $\cos$（$\dfrac{\pi}{2}$ 進む）、積分すると $-\cos$（$\dfrac{\pi}{2}$ 遅れる）。これがすべての根拠です。
コイル回路の瞬時電力を計算します。
$$p = vi = V_0\cos\omega t \cdot I_0\sin\omega t = \frac{V_0 I_0}{2}\sin 2\omega t$$
$$\overline{P} = 0$$
| 素子 | 電流の位相 | 「抵抗」 | 平均消費電力 |
|---|---|---|---|
| 抵抗 $R$ | 電圧と同位相 | $R$ | $V_e I_e$（消費する） |
| コンデンサー $C$ | 電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 進む | $X_C = \dfrac{1}{\omega C}$ | $0$（消費しない） |
| コイル $L$ | 電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れる | $X_L = \omega L$ | $0$（消費しない） |
3素子の中で平均消費電力が正なのは抵抗だけです。コンデンサーとコイルはエネルギーを蓄えて返すだけで、1周期の平均では消費しません。
これは位相差が $\dfrac{\pi}{2}$ のとき $\overline{\sin\omega t \cdot \cos\omega t} = 0$ であることの帰結です。RLC直列回路でも、消費電力は抵抗分だけで計算します。
3素子の交流特性がそろったところで、次はそれらを組み合わせた回路に進みます。
Q1. コイル回路で電圧と電流の位相関係を述べてください。
Q2. 自己インダクタンス $0.10\,\text{H}$ のコイルに $50\,\text{Hz}$ の交流を流したとき、誘導リアクタンスを求めてください。
Q3. コンデンサーとコイルで周波数依存性が逆になる理由を簡潔に説明してください。
Q4. コイルの平均消費電力がゼロである理由を述べてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
自己インダクタンス $0.20\,\text{H}$ のコイルに、実効値 $100\,\text{V}$、周波数 $50\,\text{Hz}$ の交流電圧を加えた。コイルの抵抗は無視できるとする。次の問いに答えよ。
(1) 誘導リアクタンスを求めよ。
(2) 電流の実効値を求めよ。
(1) $X_L = 20\pi \approx 62.8\,\Omega$
(2) $I_e \approx 1.59\,\text{A}$
(1) $X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times 0.20 = 20\pi \approx 62.8\,\Omega$
(2) $I_e = \dfrac{V_e}{X_L} = \dfrac{100}{20\pi} = \dfrac{5}{\pi} \approx 1.59\,\text{A}$
自己インダクタンス $L$ のコイル（抵抗は無視できる）に $i = I_0\sin\omega t$ の交流電流が流れている。次の問いに答えよ。
(1) コイルの両端の電圧 $v(t)$ を求めよ。
(2) 瞬時電力 $p(t)$ を求めよ。
(3) コイルに蓄えられるエネルギーが最大になる時刻を、最も早いもの1つ求めよ。
(1) $v = \omega L I_0 \cos\omega t$
(2) $p = \dfrac{\omega L I_0^2}{2}\sin 2\omega t$
(3) $t = \dfrac{\pi}{2\omega} = \dfrac{T}{4}$
(1) $v = L\dfrac{di}{dt} = L \cdot I_0\omega\cos\omega t = \omega L I_0\cos\omega t$
(2) $p = vi = \omega L I_0\cos\omega t \cdot I_0\sin\omega t = \dfrac{\omega L I_0^2}{2}\sin 2\omega t$
(3) コイルのエネルギーは $U = \dfrac{1}{2}Li^2 = \dfrac{1}{2}LI_0^2\sin^2\omega t$。これが最大になるのは $\sin^2\omega t = 1$、すなわち $\omega t = \dfrac{\pi}{2}$ のとき。$t = \dfrac{\pi}{2\omega} = \dfrac{T}{4}$
抵抗 $R = 40\,\Omega$ とコイル $L = \dfrac{0.3}{\pi}\,\text{H}$（抵抗無視）を直列に接続し、実効値 $100\,\text{V}$、周波数 $50\,\text{Hz}$ の交流電源につないだ。次の問いに答えよ。
(1) 誘導リアクタンス $X_L$ を求めよ。
(2) 回路のインピーダンス $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ を求めよ。
(3) 電流の実効値を求めよ。
(4) 回路の平均消費電力を求めよ。
(1) $X_L = 30\,\Omega$
(2) $Z = 50\,\Omega$
(3) $I_e = 2.0\,\text{A}$
(4) $\overline{P} = 160\,\text{W}$
(1) $X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times \dfrac{0.3}{\pi} = 100 \times 0.3 = 30\,\Omega$
(2) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\,\Omega$
(3) $I_e = \dfrac{V_e}{Z} = \dfrac{100}{50} = 2.0\,\text{A}$
(4) 消費電力は抵抗分のみ：$\overline{P} = I_e^2 R = 2.0^2 \times 40 = 160\,\text{W}$