第26章で学んだ交流回路と電磁波の全範囲を対象にした総合演習です。
交流の発生から実効値、各素子の特性、RLC直列回路、変圧器、送電、電磁波まで ── 章全体を横断する問題に挑戦しましょう。
まず重要公式を総復習し、そのあと入試レベルの演習問題に取り組みます。
第26章全体で登場した公式を一覧にまとめます。入試ではこれらを正確に使い分ける力が問われます。
交流起電力（瞬時値）：
$$v = V_0 \sin \omega t$$
角周波数と周波数・周期の関係：
$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$
実効値（電圧・電流）：
$$V_e = \frac{V_0}{\sqrt{2}}, \qquad I_e = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$$
$V_0$：最大値（振幅），$\omega$：角周波数 [rad/s]，$f$：周波数 [Hz]，$T$：周期 [s]
抵抗：$V_R = RI$（電圧と電流は同位相）
コンデンサー：$V_C = X_C I$, $\quad X_C = \dfrac{1}{\omega C}$（電流が電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 進む）
コイル：$V_L = X_L I$, $\quad X_L = \omega L$（電流が電圧より $\dfrac{\pi}{2}$ 遅れる）
$X_C$：容量リアクタンス，$X_L$：誘導リアクタンス（単位はいずれも $\Omega$）
| 素子 | 電圧と電流の関係 | 位相差 | 平均消費電力 |
|---|---|---|---|
| 抵抗 $R$ | $V_R = RI$ | $0$（同位相） | $P = I^2 R$ |
| コンデンサー $C$ | $V_C = X_C I$ | $-\dfrac{\pi}{2}$（電流が進む） | $0$ |
| コイル $L$ | $V_L = X_L I$ | $+\dfrac{\pi}{2}$（電流が遅れる） | $0$ |
インピーダンス：
$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$$
電圧と電流の関係：$V = ZI$
位相差：$\tan \varphi = \dfrac{X_L - X_C}{R}$
消費電力：$P = VI\cos\varphi = I^2 R$（$\cos\varphi$：力率）
共振条件：
$$X_L = X_C \quad \Longrightarrow \quad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$
共振時：$Z = R$（最小），$I$：最大，$\varphi = 0$
変圧比：$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{N_1}{N_2}$
理想変圧器のエネルギー保存：$V_1 I_1 = V_2 I_2$
送電線の電力損失：
$$P_{\text{loss}} = I^2 r = \frac{P^2 r}{V^2}$$
$N_1, N_2$：1次・2次コイルの巻数，$r$：送電線の全抵抗，$P$：送電電力，$V$：送電電圧
電磁波の速さ：$c = f\lambda = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}$
LC回路の固有振動数：$f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
電磁波は横波で、電場と磁場が互いに直交し、進行方向にも直交する
入試問題を解く際に注意すべきポイントを整理します。ここに挙げるチェックポイントは、本番で「うっかりミス」を防ぐために有効です。
① 回路に含まれる素子（$R$, $C$, $L$）を確認する
② 各素子のリアクタンスを求める（$X_C = \dfrac{1}{\omega C}$, $X_L = \omega L$）
③ インピーダンス $Z$ を計算する
④ $V = ZI$ からオームの法則を適用する
⑤ 位相差 $\varphi$ が必要なら $\tan\varphi = \dfrac{X_L - X_C}{R}$ を使う
⑥ 消費電力は $P = I^2 R$（抵抗のみが電力を消費する）
NG：$V = V_R + V_L + V_C$ と電圧を単純に足す
OK：位相が異なるため $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ とベクトル的に合成する
NG：共振時に $V_L = V_C = 0$ と考える
OK：共振時は $V_L = V_C$（互いに打ち消し合うだけで各々は $0$ ではない）
NG：実効値と最大値を混同する
OK：家庭用100Vは実効値。最大値は $V_0 = \sqrt{2} \times 100 \approx 141\,\text{V}$
NG：送電電圧を $n$ 倍にすると損失も $n$ 倍になると考える
OK：送電電圧を $n$ 倍にすると損失は $\dfrac{1}{n^2}$ 倍になる（$P_{\text{loss}} = \dfrac{P^2 r}{V^2}$）
NG：変圧器は直流にも使えると考える
OK：変圧器は相互誘導を利用するため、交流でなければ動作しない
この章では以下の出題パターンが頻出です：
1. RLC直列回路の電流・電圧・消費電力の計算
2. 共振周波数と $L$, $C$ の関係
3. 変圧器＋送電線の組み合わせ問題
4. 電磁波のスペクトルと波長・周波数の計算
5. 交流の発生（回転するコイルと磁束変化）
Q1. 最大値が $V_0 = 200\,\text{V}$、周波数 $f = 50\,\text{Hz}$ の交流の実効値と角周波数を求めよ。
Q2. 角周波数 $\omega = 100\pi\,\text{rad/s}$ のとき、$C = 10\,\mu\text{F}$ のコンデンサーの容量リアクタンスを求めよ。
Q3. $R = 30\,\Omega$、$X_L = 60\,\Omega$、$X_C = 20\,\Omega$ の RLC 直列回路のインピーダンスと力率を求めよ。
Q4. 1次コイル500巻、2次コイル50巻の変圧器に 1000 V の交流を加えた。2次側の電圧と、2次側に $100\,\Omega$ の負荷をつないだときの1次側の電流を求めよ。
Q5. 周波数 $6.0 \times 10^{14}\,\text{Hz}$ の電磁波の波長を求め、電磁波スペクトル上で何に分類されるか答えよ。
Q6. $L = 2.0\,\text{mH}$, $C = 5.0\,\mu\text{F}$ の LC 回路の共振周波数を求めよ。
コイルを一様な磁場中で角速度 $\omega = 120\pi\,\text{rad/s}$ で回転させたところ、最大値 $V_0 = 100\sqrt{2}\,\text{V}$ の交流起電力が得られた。
(1) この交流の周波数 $f$ と周期 $T$ を求めよ。
(2) 起電力の実効値 $V_e$ を求めよ。
(3) この交流電源に $R = 50\,\Omega$ の抵抗を接続したとき、抵抗を流れる電流の実効値と消費電力を求めよ。
(1) $f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{120\pi}{2\pi} = 60\,\text{Hz}$
$T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{60} \approx 0.017\,\text{s}$
(2) $V_e = \dfrac{V_0}{\sqrt{2}} = \dfrac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 100\,\text{V}$
(3) $I_e = \dfrac{V_e}{R} = \dfrac{100}{50} = 2.0\,\text{A}$
$P = V_e I_e = 100 \times 2.0 = 200\,\text{W}$（$= I_e^2 R = 4.0 \times 50 = 200\,\text{W}$ でも可）
交流の基本問題です。$\omega = 2\pi f$ の関係から周波数・周期を求め、実効値は最大値を $\sqrt{2}$ で割ります。
抵抗だけの回路では電圧と電流が同位相なので、直流と同様にオームの法則がそのまま使えます（ただし実効値で計算します）。
実効値 $V_e = 100\,\text{V}$、角周波数 $\omega$ の交流電源に、抵抗 $R = 40\,\Omega$、コイル（自己インダクタンス $L = 0.30\,\text{H}$）、コンデンサー（電気容量 $C = 25\,\mu\text{F}$）を直列に接続した。
(1) $\omega = 200\,\text{rad/s}$ のとき、$X_L$, $X_C$, $Z$ を求めよ。
(2) このとき回路に流れる電流の実効値 $I_e$ と、回路の消費電力 $P$ を求めよ。
(3) 共振角周波数 $\omega_0$ を求めよ。
(4) 共振時の電流の実効値と、コイルにかかる電圧の実効値を求めよ。
(1) $X_L = \omega L = 200 \times 0.30 = 60\,\Omega$
$X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{200 \times 25 \times 10^{-6}} = \dfrac{1}{5.0 \times 10^{-3}} = 200\,\Omega$
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{40^2 + (60 - 200)^2} = \sqrt{1600 + 19600} = \sqrt{21200} \approx 146\,\Omega$
(2) $I_e = \dfrac{V_e}{Z} = \dfrac{100}{146} \approx 0.685\,\text{A}$
$P = I_e^2 R = (0.685)^2 \times 40 \approx 18.8\,\text{W}$
(3) 共振条件 $X_L = X_C$ より $\omega_0 L = \dfrac{1}{\omega_0 C}$
$\omega_0^2 = \dfrac{1}{LC} = \dfrac{1}{0.30 \times 25 \times 10^{-6}} = \dfrac{1}{7.5 \times 10^{-6}} \approx 1.33 \times 10^5$
$\omega_0 \approx 365\,\text{rad/s}$
(4) 共振時 $Z = R = 40\,\Omega$ なので $I_e = \dfrac{V_e}{R} = \dfrac{100}{40} = 2.5\,\text{A}$
$V_L = X_L I_e = \omega_0 L \times I_e = 365 \times 0.30 \times 2.5 \approx 274\,\text{V}$
(1) $\omega = 200\,\text{rad/s}$ では $X_C \gg X_L$ なので容量性（電流が進む位相）です。
(2) 消費電力は抵抗のみが負担します。力率 $\cos\varphi = R/Z = 40/146 \approx 0.274$ を使って $P = V_e I_e \cos\varphi$ で求めても同じ結果です。
(3) 共振周波数は $L$ と $C$ のみで決まり、$R$ の値には依存しません。
(4) 共振時、コイルの電圧は電源電圧 100 V より大きい 274 V にもなります。これが共振による電圧増幅効果です。$V_L = V_C$ で互いに打ち消しあい、抵抗には電源電圧がすべてかかります。
発電所で $P = 1.0 \times 10^6\,\text{W}$ の電力を、全抵抗 $r = 10\,\Omega$ の送電線で工場に送る。
(1) 送電電圧 $V = 1000\,\text{V}$ のとき、送電線での電力損失 $P_{\text{loss}}$ と損失率を求めよ。
(2) 送電電圧を $V = 10000\,\text{V}$ に昇圧したとき、電力損失と損失率を求めよ。
(3) 発電所側の変圧器の1次コイルが200巻のとき、(2) の送電電圧を得るための2次コイルの巻数を求めよ。ただし、発電機の出力電圧は $500\,\text{V}$ とする。
(1) $P_{\text{loss}} = \dfrac{P^2 r}{V^2} = \dfrac{(1.0 \times 10^6)^2 \times 10}{(1000)^2} = \dfrac{10^{12} \times 10}{10^6} = 1.0 \times 10^7\,\text{W}$
これは送電電力 $10^6$ W を超えてしまい、物理的にあり得ない。実際には送電線の電圧降下で工場に電力が届かないことを意味する。
（形式的な損失率は $P_{\text{loss}}/P = 10^7 / 10^6 = 1000\%$ だが、現実には送電不可能。）
(2) $P_{\text{loss}} = \dfrac{(1.0 \times 10^6)^2 \times 10}{(10000)^2} = \dfrac{10^{13}}{10^8} = 1.0 \times 10^5\,\text{W}$
損失率 $= \dfrac{P_{\text{loss}}}{P} = \dfrac{1.0 \times 10^5}{1.0 \times 10^6} = 0.10 = 10\%$
(3) $\dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{10000}{500} = 20$
$N_2 = 20 \times N_1 = 20 \times 200 = 4000$ 巻
(1) は「低電圧で大電力を送ると、送電線で膨大な損失が生じる」ことを示す典型問題です。$P_{\text{loss}} = P^2 r/V^2$ の $V^2$ が分母にあるため、送電電圧が低いと損失が爆発的に大きくなります。
(2) 送電電圧を10倍にすると、損失は $1/100$ になりました。これが高圧送電の原理です。
(3) 変圧器で出力電圧 500 V を 10000 V に昇圧するため、巻数比は $10000/500 = 20$ 倍です。
図のように、実効値 $V_e = 200\,\text{V}$、周波数 $f$ を変えられる交流電源に、抵抗 $R = 20\,\Omega$、自己インダクタンス $L = 0.10\,\text{H}$、電気容量 $C = 10\,\mu\text{F}$ を直列に接続した回路がある。
(1) この回路の共振周波数 $f_0$ を求めよ。
(2) 共振時の電流の実効値 $I_0$、消費電力 $P_0$、力率 $\cos\varphi$ を求めよ。
(3) 共振時のコンデンサーにかかる電圧の実効値 $V_C$ を求め、電源電圧 $V_e$ と比較せよ。
(4) この回路の共振を利用して特定の周波数の電磁波を受信できる。共振周波数 $f_0$ に対応する電磁波の波長と、それが電磁波スペクトルのどの領域に属するかを答えよ。
(5) 共振時の回路出力を 1次コイル200巻、2次コイル2000巻の変圧器を通して送電線（全抵抗 $5.0\,\Omega$）に接続した。送電線での電力損失を求めよ。
(1) $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{0.10 \times 10 \times 10^{-6}}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{10^{-6}}} = \dfrac{1}{2\pi \times 10^{-3}} = \dfrac{10^3}{2\pi} \approx 159\,\text{Hz}$
(2) 共振時 $Z = R = 20\,\Omega$ なので
$I_0 = \dfrac{V_e}{R} = \dfrac{200}{20} = 10\,\text{A}$
$P_0 = I_0^2 R = 100 \times 20 = 2000\,\text{W} = 2.0\,\text{kW}$
$\cos\varphi = 1$（共振時は $\varphi = 0$）
(3) 共振角周波数 $\omega_0 = 2\pi f_0 = 10^3\,\text{rad/s}$
$X_C = \dfrac{1}{\omega_0 C} = \dfrac{1}{10^3 \times 10 \times 10^{-6}} = \dfrac{1}{10^{-2}} = 100\,\Omega$
$V_C = X_C I_0 = 100 \times 10 = 1000\,\text{V}$
$V_C = 1000\,\text{V}$ は電源電圧 $V_e = 200\,\text{V}$ の 5倍。これが共振による電圧増幅効果である。増幅率は $Q = X_C/R = 100/20 = 5$ に等しい。
(4) $\lambda = \dfrac{c}{f_0} = \dfrac{3.0 \times 10^8}{159} \approx 1.9 \times 10^6\,\text{m} \approx 1900\,\text{km}$
これは超長波（VLF: Very Low Frequency）領域の電波に属する。
(5) 変圧器2次側の電圧：$V_2 = V_e \times \dfrac{N_2}{N_1} = 200 \times \dfrac{2000}{200} = 2000\,\text{V}$
共振時の消費電力は $P_0 = 2000\,\text{W}$ であるが、これは回路内の抵抗 $R$ で消費される電力。変圧器に入力される電力は電源の出力 $P = V_e I_0 = 200 \times 10 = 2000\,\text{W}$ である。
$P_{\text{loss}} = \dfrac{P^2 r}{V_2^2} = \dfrac{(2000)^2 \times 5.0}{(2000)^2} = 5.0\,\text{W}$
この問題は交流回路の共振、変圧器、電磁波を横断的に扱う総合問題です。
(1)-(2) 共振の基本計算。共振時はインピーダンスが最小 $Z = R$ で、力率は1です。
(3) 共振の電圧増幅は $Q$ 値（Quality factor）で表されます。$Q = X_C/R = X_L/R$ で、この値が大きいほど電圧増幅が大きくなります。ラジオの同調回路はこの原理を利用しています。
(4) 共振周波数の電磁波の波長を求めます。約 159 Hz は非常に低い周波数で、対応する波長は約 1900 km と非常に長い電波です。実際のラジオ放送はもっと高い周波数（AM: 約 500 kHz ～ 1.6 MHz、FM: 約 76 ～ 90 MHz）を使います。
(5) 変圧器で昇圧して送電すると、損失が小さくなります。$P_{\text{loss}} = P^2 r/V^2$ を使って計算します。
磁束密度 $B = 0.50\,\text{T}$ の一様な磁場中に、面積 $S = 0.040\,\text{m}^2$、巻数 $N = 100$ の長方形コイルを、磁場に垂直な軸のまわりに角速度 $\omega = 100\pi\,\text{rad/s}$ で回転させる。
(1) コイルに発生する交流起電力の最大値 $V_0$ を求めよ。
(2) この交流電源に $R = 50\,\Omega$ の抵抗と $C = 20\,\mu\text{F}$ のコンデンサーを直列に接続した RC 回路を考える。インピーダンス $Z$ と電流の実効値を求めよ。
(3) この RC 回路の位相差 $\varphi$（電圧に対する電流の進み）を求めよ。$\tan\varphi$ の値を示すこと。
(4) コンデンサーを $L = 0.50\,\text{H}$ のコイルに取り替えて RL 回路にした。このときのインピーダンス、電流の実効値、消費電力をそれぞれ求めよ。
(1) $V_0 = NBS\omega = 100 \times 0.50 \times 0.040 \times 100\pi = 200\pi \approx 628\,\text{V}$
(2) 実効値 $V_e = \dfrac{V_0}{\sqrt{2}} = \dfrac{200\pi}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{2}\pi \approx 444\,\text{V}$
$X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{100\pi \times 20 \times 10^{-6}} = \dfrac{1}{2\pi \times 10^{-3}} = \dfrac{500}{\pi} \approx 159\,\Omega$
RC回路なので $X_L = 0$ であり
$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{50^2 + 159^2} = \sqrt{2500 + 25281} = \sqrt{27781} \approx 167\,\Omega$
$I_e = \dfrac{V_e}{Z} = \dfrac{444}{167} \approx 2.66\,\text{A}$
(3) RC回路では $X_L = 0$ なので
$\tan\varphi = \dfrac{X_L - X_C}{R} = \dfrac{0 - 159}{50} = -3.18$
$\varphi \approx -72.5°$（電流が電圧より約 $72.5°$ 進む）
(4) $X_L = \omega L = 100\pi \times 0.50 = 50\pi \approx 157\,\Omega$
RL回路なので $X_C = 0$ であり
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{50^2 + 157^2} = \sqrt{2500 + 24649} = \sqrt{27149} \approx 165\,\Omega$
$I_e = \dfrac{V_e}{Z} = \dfrac{444}{165} \approx 2.69\,\text{A}$
$P = I_e^2 R = (2.69)^2 \times 50 \approx 362\,\text{W}$
(1) 交流の発生公式 $V_0 = NBS\omega$ は、ファラデーの電磁誘導の法則から導かれます。磁束 $\Phi = NBS\cos\omega t$ を時間微分すると $v = NBS\omega\sin\omega t$ です。
(2)-(3) RC回路はRLC回路で $L = 0$ の場合です。コンデンサーがあるため電流が電圧より進みます。$\tan\varphi$ が負であることは電流の位相が進んでいることを意味します。
(4) RL回路はRLC回路で $C = 0$（$X_C = 0$）の場合です。コイルがあるため電流は電圧より遅れます。消費電力は抵抗のみが担い、$P = I_e^2 R$ で求めます。
RC回路とRL回路のインピーダンスがほぼ同じ値（167 と 165）になったのは、$X_C \approx X_L$ であったためです。もし $L$ と $C$ を同時に接続すれば、共振に近い状態になることが予想されます。