宇宙速度、人工衛星の軌道、ケプラーの法則、万有引力のエネルギー——第10章のあらゆるテーマを横断する総合問題に挑戦しましょう。
A基礎2問、B発展2問、C応用2問の計6問です。時間を計って取り組んでみてください。
A基礎（各10分）：公式の直接適用。$GM = gR^2$ の置き換えを確実に使いこなしましょう。
B発展（各15分）：複数の概念の組み合わせ。エネルギー保存と円軌道の条件を正しく使い分けましょう。
C応用（各20分）：初見の設定でも基本原理に帰着させる力が問われます。楕円軌道やホーマン遷移が登場します。
地球の半径を $R = 6.4 \times 10^6\,\text{m}$、地表での重力加速度を $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。
(1) 地表すれすれを周回する人工衛星の速さ（第一宇宙速度）$v_1$ を求めよ。
(2) この人工衛星の周期 $T$ を求めよ。
(3) 地表から高さ $h = R$ の円軌道を周回する衛星の速さ $v$ を求めよ。
(1) $v_1 \approx 7.9 \times 10^3\,\text{m/s}$（約 $7.9\,\text{km/s}$）
(2) $T \approx 5.1 \times 10^3\,\text{s}$（約85分）
(3) $v \approx 5.6 \times 10^3\,\text{m/s}$（約 $5.6\,\text{km/s}$）
(1) 地表すれすれの円軌道：$\dfrac{mv_1^2}{R} = \dfrac{GMm}{R^2}$ より $v_1 = \sqrt{\dfrac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$
$v_1 = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{6.27 \times 10^7} \approx 7.9 \times 10^3\,\text{m/s}$
(2) $T = \dfrac{2\pi R}{v_1} = \dfrac{2\pi \times 6.4 \times 10^6}{7.9 \times 10^3} \approx 5.1 \times 10^3\,\text{s} \approx 85\,\text{min}$
(3) 軌道半径 $r = R + h = 2R$ の円軌道：$v = \sqrt{\dfrac{GM}{2R}} = \sqrt{\dfrac{gR^2}{2R}} = \sqrt{\dfrac{gR}{2}} = \dfrac{v_1}{\sqrt{2}}$
$v = \dfrac{7.9 \times 10^3}{\sqrt{2}} \approx 5.6 \times 10^3\,\text{m/s}$
地球の半径を $R$、地表での重力加速度を $g$ とする。質量 $m$ の物体を地表から打ち上げる。
(1) 地球の脱出速度（第二宇宙速度）$v_2$ を $g$ と $R$ を用いて表せ。
(2) $v_2$ と第一宇宙速度 $v_1$ の関係を示せ。
(3) $R = 6.4 \times 10^6\,\text{m}$、$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ のとき、$v_2$ の値を求めよ。
(4) 速さ $v_0 = 15\,\text{km/s}$ で打ち上げた物体は脱出できるか。脱出できる場合、無限遠での速さを求めよ。
(1) $v_2 = \sqrt{2gR}$
(2) $v_2 = \sqrt{2}\,v_1$
(3) $v_2 \approx 1.12 \times 10^4\,\text{m/s}$（約 $11.2\,\text{km/s}$）
(4) 脱出できる。無限遠での速さは約 $10\,\text{km/s}$
(1) 無限遠で速さ0となる条件：$\dfrac{1}{2}mv_2^2 - \dfrac{GMm}{R} = 0$
$v_2 = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$ （$GM = gR^2$ を使用）
(2) $v_1 = \sqrt{gR}$ より $v_2 = \sqrt{2gR} = \sqrt{2}\,v_1$
(3) $v_2 = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{1.254 \times 10^8} \approx 1.12 \times 10^4\,\text{m/s}$
(4) $v_0 = 15\,\text{km/s} > v_2 = 11.2\,\text{km/s}$ なので脱出できる。
エネルギー保存：$\dfrac{1}{2}mv_0^2 - \dfrac{GMm}{R} = \dfrac{1}{2}mv_\infty^2$
$v_\infty = \sqrt{v_0^2 - v_2^2} = \sqrt{15^2 - 11.2^2} = \sqrt{225 - 125} = \sqrt{100} = 10\,\text{km/s}$
地球の半径を $R = 6.4 \times 10^6\,\text{m}$、地表での重力加速度を $g = 9.8\,\text{m/s}^2$、地球の自転周期を $T_0 = 8.64 \times 10^4\,\text{s}$（24時間）とする。
(1) 地表すれすれを周回する人工衛星の周期 $T_1$ を求めよ。
(2) ケプラーの第三法則を用いて、静止衛星の軌道半径 $r_s$ を求めよ。
(3) 静止衛星の地表からの高度 $h$ を求めよ。
(4) 静止衛星の速さを求めよ。
(1) $T_1 \approx 5.1 \times 10^3\,\text{s}$
(2) $r_s \approx 4.2 \times 10^7\,\text{m}$
(3) $h \approx 3.6 \times 10^7\,\text{m}$（約 $36{,}000\,\text{km}$）
(4) $v \approx 3.1 \times 10^3\,\text{m/s}$（約 $3.1\,\text{km/s}$）
(1) $T_1 = \dfrac{2\pi R}{\sqrt{gR}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{6.4 \times 10^6}{9.8}} \approx 5.08 \times 10^3\,\text{s}$
(2) ケプラーの第三法則 $T^2 \propto r^3$ より：
$\dfrac{T_0^2}{T_1^2} = \dfrac{r_s^3}{R^3}$ → $r_s = R\left(\dfrac{T_0}{T_1}\right)^{2/3}$
$\dfrac{T_0}{T_1} = \dfrac{8.64 \times 10^4}{5.08 \times 10^3} \approx 17.0$
$r_s = 6.4 \times 10^6 \times 17.0^{2/3} = 6.4 \times 10^6 \times 6.65 \approx 4.26 \times 10^7\,\text{m}$
(3) $h = r_s - R = 4.26 \times 10^7 - 6.4 \times 10^6 \approx 3.6 \times 10^7\,\text{m}$
(4) $v = \dfrac{2\pi r_s}{T_0} = \dfrac{2\pi \times 4.26 \times 10^7}{8.64 \times 10^4} \approx 3.1 \times 10^3\,\text{m/s}$
質量 $M$ の惑星（半径 $R$）の地表から、質量 $m$ の物体を速さ $v_0$ で鉛直に打ち上げる。万有引力定数を $G$ とする。
(1) 力学的エネルギー $E$ を $G$、$M$、$m$、$R$、$v_0$ で表せ。
(2) $E = 0$ となる $v_0$ は何を意味するか。
(3) $E > 0$、$E = 0$、$E < 0$ のそれぞれの場合について、物体の運動を説明せよ。
(4) $E < 0$ の場合、物体が到達できる最大の地表からの高さ $h$ を求めよ。
(1) $E = \dfrac{1}{2}mv_0^2 - \dfrac{GMm}{R}$
(2) 脱出速度（第二宇宙速度）
(3) $E > 0$：双曲線軌道で脱出 $E = 0$：放物線軌道で脱出 $E < 0$：楕円軌道（束縛状態）
(4) $h = \dfrac{v_0^2 R^2}{2GM - v_0^2 R}$
(1) 地表での力学的エネルギー：
$E = \dfrac{1}{2}mv_0^2 + \left(-\dfrac{GMm}{R}\right) = \dfrac{1}{2}mv_0^2 - \dfrac{GMm}{R}$
(2) $E = 0$ のとき $\dfrac{1}{2}mv_0^2 = \dfrac{GMm}{R}$ より $v_0 = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$。これは無限遠で速さ0になるちょうどの条件であり、第二宇宙速度に等しい。
(3)
(4) 最高点（$r = R + h$）で速さ0となるとき、エネルギー保存：
$\dfrac{1}{2}mv_0^2 - \dfrac{GMm}{R} = 0 - \dfrac{GMm}{R+h}$
$\dfrac{1}{2}v_0^2 = GMm\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{R+h}\right) = \dfrac{GMh}{R(R+h)}$
$\dfrac{1}{2}v_0^2 R(R+h) = GMh$
$\dfrac{1}{2}v_0^2 R^2 + \dfrac{1}{2}v_0^2 Rh = GMh$
$h\left(GM - \dfrac{1}{2}v_0^2 R\right) = \dfrac{1}{2}v_0^2 R^2$
$h = \dfrac{v_0^2 R^2}{2GM - v_0^2 R}$
質量 $M$ の地球の周りを、質量 $m$（$m \ll M$）の人工衛星が半径 $r_1$ の円軌道で周回している。この衛星を半径 $r_2$（$r_2 > r_1$）の円軌道に移すために、楕円遷移軌道（ホーマン遷移）を用いる。万有引力定数を $G$ とする。
(1) 半径 $r_1$ の円軌道での速さ $v_1$ を求めよ。
(2) 点Aで速度を $v_A$ に増速し、楕円軌道に入る。楕円軌道の近地点が $r_1$、遠地点が $r_2$ である。エネルギー保存と角運動量保存を用いて、$v_A$ を $G$、$M$、$r_1$、$r_2$ で表せ。
(3) 楕円軌道の遠地点Bでの速さ $v_B$ を求めよ。
(4) 点Bで再び増速して半径 $r_2$ の円軌道に入る。円軌道での速さ $v_2$ を求め、$v_B$ との差 $\Delta v_B = v_2 - v_B$ を $G$、$M$、$r_1$、$r_2$ で表せ。
(1) $v_1 = \sqrt{\dfrac{GM}{r_1}}$
(2) $v_A = \sqrt{\dfrac{2GMr_2}{r_1(r_1 + r_2)}}$
(3) $v_B = \sqrt{\dfrac{2GMr_1}{r_2(r_1 + r_2)}}$
(4) $v_2 = \sqrt{\dfrac{GM}{r_2}}$、$\Delta v_B = \sqrt{\dfrac{GM}{r_2}} - \sqrt{\dfrac{2GMr_1}{r_2(r_1 + r_2)}}$
(1) 円軌道の条件：$\dfrac{mv_1^2}{r_1} = \dfrac{GMm}{r_1^2}$ → $v_1 = \sqrt{\dfrac{GM}{r_1}}$
(2) 楕円軌道で、近地点A（距離 $r_1$、速さ $v_A$）と遠地点B（距離 $r_2$、速さ $v_B$）の間でエネルギー保存：
$$\frac{1}{2}mv_A^2 - \frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{GMm}{r_2} \quad \cdots (i)$$
近地点・遠地点では速度が軌道に接線方向なので、角運動量保存：
$$mv_A r_1 = mv_B r_2 \quad \cdots (ii)$$
(ii) より $v_B = \dfrac{v_A r_1}{r_2}$ を (i) に代入：
$\dfrac{1}{2}v_A^2 - \dfrac{GM}{r_1} = \dfrac{1}{2}\dfrac{v_A^2 r_1^2}{r_2^2} - \dfrac{GM}{r_2}$
$\dfrac{1}{2}v_A^2\left(1 - \dfrac{r_1^2}{r_2^2}\right) = GM\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$
$\dfrac{1}{2}v_A^2 \cdot \dfrac{r_2^2 - r_1^2}{r_2^2} = GM \cdot \dfrac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$
$\dfrac{1}{2}v_A^2 \cdot \dfrac{(r_2 - r_1)(r_2 + r_1)}{r_2^2} = GM \cdot \dfrac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$
$r_2 - r_1 \neq 0$ で割って：$\dfrac{1}{2}v_A^2 \cdot \dfrac{r_1 + r_2}{r_2^2} = \dfrac{GM}{r_1 r_2}$
$v_A^2 = \dfrac{2GMr_2}{r_1(r_1 + r_2)}$ → $v_A = \sqrt{\dfrac{2GMr_2}{r_1(r_1 + r_2)}}$
(3) (ii) より $v_B = \dfrac{v_A r_1}{r_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\sqrt{\dfrac{2GMr_2}{r_1(r_1 + r_2)}} = \sqrt{\dfrac{2GMr_1}{r_2(r_1 + r_2)}}$
(4) $v_2 = \sqrt{\dfrac{GM}{r_2}}$ であり、
$\Delta v_B = v_2 - v_B = \sqrt{\dfrac{GM}{r_2}} - \sqrt{\dfrac{2GMr_1}{r_2(r_1 + r_2)}} = \sqrt{\dfrac{GM}{r_2}}\left(1 - \sqrt{\dfrac{2r_1}{r_1 + r_2}}\right)$
地球は太陽（質量 $M_s$）の周りを半径 $r_E$ の円軌道で公転している（周期 $T_E = 365$ 日）。火星は半径 $r_M = 1.52\,r_E$ の円軌道で公転している。万有引力定数を $G$ とする。
(1) ケプラーの第三法則を用いて、火星の公転周期 $T_M$ を日数で求めよ。
(2) 地球の公転速度 $v_E$ を $G$、$M_s$、$r_E$ で表せ。
(3) 地球軌道から火星軌道へのホーマン遷移に要する時間を求めよ。
(4) 探査機が地球軌道上で太陽の周りを公転しているとき、ホーマン遷移軌道に入るために必要な太陽に対する速さ $v_A$ を $v_E$、$r_E$、$r_M$ を用いて表せ。
(1) $T_M \approx 684$ 日（約1.87年）
(2) $v_E = \sqrt{\dfrac{GM_s}{r_E}}$
(3) 約259日
(4) $v_A = v_E\sqrt{\dfrac{2r_M}{r_E + r_M}}$
(1) ケプラーの第三法則：$\dfrac{T_M^2}{T_E^2} = \dfrac{r_M^3}{r_E^3}$
$T_M = T_E \left(\dfrac{r_M}{r_E}\right)^{3/2} = 365 \times 1.52^{3/2}$
$1.52^{3/2} = 1.52\sqrt{1.52} = 1.52 \times 1.233 = 1.874$
$T_M = 365 \times 1.874 \approx 684\,\text{日}$
(2) 円軌道の条件：$\dfrac{m v_E^2}{r_E} = \dfrac{GM_s m}{r_E^2}$ → $v_E = \sqrt{\dfrac{GM_s}{r_E}}$
(3) ホーマン遷移軌道は、近日点 $r_E$、遠日点 $r_M$ の楕円軌道。長半径 $a = \dfrac{r_E + r_M}{2}$
ケプラーの第三法則より遷移軌道の周期：$T_t = T_E\left(\dfrac{a}{r_E}\right)^{3/2} = T_E\left(\dfrac{r_E + r_M}{2r_E}\right)^{3/2}$
$= 365 \times \left(\dfrac{1 + 1.52}{2}\right)^{3/2} = 365 \times 1.26^{3/2} = 365 \times 1.414 \approx 516\,\text{日}$
遷移に要する時間は楕円の半周分：$\dfrac{T_t}{2} \approx 258 \approx 259\,\text{日}$
(4) 楕円遷移軌道の近日点（$r = r_E$）での速さ $v_A$ を求める。
前問10-8-5と同じ方法で、エネルギー保存と角運動量保存より：
$v_A = \sqrt{\dfrac{2GM_s r_M}{r_E(r_E + r_M)}}$
$v_E = \sqrt{\dfrac{GM_s}{r_E}}$ を用いて $GM_s = v_E^2 r_E$ と置き換えると：
$v_A = \sqrt{\dfrac{2v_E^2 r_E \cdot r_M}{r_E(r_E + r_M)}} = v_E\sqrt{\dfrac{2r_M}{r_E + r_M}}$