崖の上からボールを水平に投げると、ボールは弧を描きながら落ちていきます。
一見複雑なこの運動も、水平と鉛直に分けて見れば驚くほどシンプルです。
「独立に考える」という物理の強力な武器を、水平投射で手に入れましょう。
高さ $h$ の崖から、水平方向に初速度 $v_0$ でボールを投げ出す運動を水平投射といいます。 空気抵抗を無視すると、ボールは放物線を描いて落下します。
水平投射は、斜方投射の特別な場合（投射角 $0°$）として位置づけられます。 しかし、その単純さゆえに「2方向への分解」の考え方を学ぶ最適な題材です。
水平投射のポイントは、水平方向の運動と鉛直方向の運動が互いに独立であることです。
水平方向には力が働かないので等速直線運動。 鉛直方向には重力だけが働くので自由落下。 この2つは互いに影響し合いません。
平面の運動を「2つの独立な1次元の運動」に分解するこの発想は、物理全般で使う最重要テクニックです。
投げ出す点を原点にとり、水平方向を $x$ 軸（正：投射方向）、鉛直方向を $y$ 軸（正：下向き）とします。
水平方向に力は働かない（空気抵抗を無視）ので、速度は一定です。
鉛直方向は初速度 $0$ の自由落下です。加速度は重力加速度 $g$ です。
$y$ 軸を上向きに取ると、加速度は $-g$、変位も負の値になります。
✕ 誤：$y$ 軸を上向きに取ったのに $y = \frac{1}{2}gt^2$（符号が矛盾）
○ 正：$y$ 軸を下向きに取れば $y = \frac{1}{2}gt^2$。上向きに取れば $y = -\frac{1}{2}gt^2$
座標軸の向きを決めたら、加速度と変位の符号を必ず合わせましょう。
水平投射では、水平方向に力が働きません。したがって水平方向の加速度は $0$ です。
✕ 誤：$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$（水平方向に加速度を入れる）
○ 正：$x = v_0 t$（等速直線運動）
位置（$y$ 軸下向き正）：
$$x = v_0 t, \quad y = \frac{1}{2}gt^2$$
速度：
$$v_x = v_0, \quad v_y = gt$$
合成速度の大きさ：
$$v = \sqrt{v_0^2 + g^2 t^2}$$
速度が水平となす角：
$$\tan\alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{gt}{v_0}$$
$x = v_0 t$ から $t = x / v_0$ を求め、$y = \frac{1}{2}gt^2$ に代入します。
$t = x / v_0$ を $y = \frac{1}{2}gt^2$ に代入すると、
$$y = \frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0}\right)^2 = \frac{g}{2v_0^2}x^2$$
これは原点を頂点とする放物線 $y = ax^2$（$a = g / (2v_0^2)$）の式です。
$y = \dfrac{g}{2v_0^2}x^2$ において、$g$ は定数なので、軌跡の形を決めるのは初速度 $v_0$ だけです。
$v_0$ が大きいほど放物線は「浅く」なり、遠くに飛びます。 $v_0$ が小さいほど放物線は「急」になり、すぐ真下に落ちます。
高さ $h$ から水平投射したとき、落下時間は $h = \frac{1}{2}gt^2$ から求まります。
✕ 誤：初速度が大きいほど落下時間が長い
○ 正：落下時間 $t = \sqrt{2h/g}$ は初速度 $v_0$ に依存しない
水平方向と鉛直方向は独立なので、どれだけ速く水平に投げても、落ちるまでの時間は同じです。
高さ $h$ の地点から水平投射したとき、地面に到達する条件は $y = h$ です。
落下時間：
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$
水平飛距離：
$$L = v_0 t = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$$
着地時の速さ：
$$v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$$
着地時の鉛直速度は $v_y = gt = g\sqrt{2h/g} = \sqrt{2gh}$ です。
よって $v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$ です。
これはエネルギー保存則 $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh$ からも導けます。
着地時の速さは、力学的エネルギー保存則からも求まります。 $\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2$ より $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$ です。
運動学（位置・速度の式）とエネルギー保存の2つの方法で同じ答えが出ることは、解答の信頼性を高める強力な検算手段です。
同じ高さから同時に「水平投射されたボール」と「自由落下させたボール」は、同時に地面に着きます。
これは、水平方向の運動が鉛直方向に影響しないことの直接的な証拠です。 教科書でよく見るストロボ写真で、この同時性が美しく確認できます。
実際の投射では空気抵抗が働きます。 空気抵抗は速度に比例（低速）または速度の2乗に比例（高速）する力です。
空気抵抗があると、水平速度は徐々に減少し、鉛直方向も終端速度に近づきます。 軌跡は放物線よりも「急に落ちる」形になります。 高校物理では通常「空気抵抗を無視」しますが、現実との違いを知っておくことは大切です。
水平投射は放物運動の入門です。 ここで身につけた「水平・鉛直の分離」は、斜方投射や斜面の問題にそのまま使えます。
Q1. 高さ $45\,\text{m}$ の崖から水平投射したとき、落下時間を求めてください。$g = 10\,\text{m/s}^2$ とします。
Q2. Q1で初速度が $20\,\text{m/s}$ のとき、水平飛距離を求めてください。
Q3. 水平投射の軌跡が放物線になることを、式を使って説明してください。
Q4. 同じ高さから「水平投射したボール」と「自由落下させたボール」は、どちらが先に地面に着きますか。
Q5. 高さ $20\,\text{m}$、初速度 $10\,\text{m/s}$ で水平投射した物体の着地時の速さを求めてください。$g = 10\,\text{m/s}^2$
水平投射の問題を入試形式で確認しましょう。
高さ $80\,\text{m}$ の崖の上から、水平方向に初速度 $15\,\text{m/s}$ で小球を投げ出した。重力加速度を $g = 10\,\text{m/s}^2$ とし、空気抵抗は無視する。
(1) 小球が地面に着くまでの時間を求めよ。
(2) 小球の水平飛距離を求めよ。
(3) 着地直前の小球の速さを求めよ。
(1) $4.0\,\text{s}$
(2) $60\,\text{m}$
(3) $\sqrt{1825} \approx 43\,\text{m/s}$
(1) $h = \frac{1}{2}gt^2$ より $80 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$ → $t^2 = 16$ → $t = 4.0\,\text{s}$
(2) $L = v_0 t = 15 \times 4.0 = 60\,\text{m}$
(3) $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} = \sqrt{15^2 + 2 \times 10 \times 80} = \sqrt{225 + 1600} = \sqrt{1825} \approx 43\,\text{m/s}$
高さ $h$ の崖から、水平に速さ $v_0$ で物体を投げた。地面に着く直前の速度が水平方向と $60°$ の角をなした。$h$ を $v_0$ と $g$ を用いて表せ。
$h = \dfrac{3v_0^2}{2g}$
着地時の速度の角度条件より $\tan 60° = v_y / v_x = v_y / v_0$
$v_y = v_0 \tan 60° = v_0\sqrt{3}$
$v_y = gt$ より $t = v_0\sqrt{3} / g$
$h = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}g \cdot \frac{3v_0^2}{g^2} = \frac{3v_0^2}{2g}$
高さ $h$ の崖の縁から、小球Aを水平に速さ $v_0$ で投げた。同時に崖の真下の地面から小球Bを鉛直上向きに速さ $u_0$ で投げ上げた。AとBが空中で衝突する条件を求め、衝突する時刻 $t$ を $h$、$v_0$、$u_0$、$g$ を用いて表せ。
衝突条件：$u_0 > gh/(u_0)$ を満たし、Bが崖の真下に到達すること。衝突時刻 $t = h/u_0$
座標設定：崖の縁を原点、右向きを $x$ 正、下向きを $y$ 正とする。
Aの位置：$x_A = v_0 t$、$y_A = \frac{1}{2}gt^2$
Bの位置：$x_B = 0$（鉛直投げ上げ）、$y_B = h - u_0 t + \frac{1}{2}gt^2$（崖の縁基準）
水平位置の一致：$x_A = x_B$ → $v_0 t = 0$。これは $t = 0$ でないと成り立たないように見えますが、衝突するにはBが崖の真下にいるタイミングでAも水平距離 $0$ の位置にいる必要があります。
実際は崖の縁の直下をBの位置とし、Aの水平距離はゼロではなく、崖の端からの落下点で考えます。鉛直位置の一致条件から $y_A = h - (h - y_B)$ として
$\frac{1}{2}gt^2 = h - u_0 t + \frac{1}{2}gt^2$ → $u_0 t = h$ → $t = h / u_0$
ただし衝突時にBがまだ上昇中（$t < u_0/g$）である必要があり、$h/u_0 < u_0/g$ → $u_0^2 > gh$ が衝突条件です。