第7章で学んだ力積と運動量、運動量保存則、弾性衝突・非弾性衝突、壁・床との衝突、2次元の衝突、分裂と合体、重心の運動を横断する総合問題に挑戦しましょう。
A（基礎）2問、B（発展）2問、C（応用）2問の計6問です。
$$\vec{F}\,\Delta t = m\vec{v}' - m\vec{v} = \Delta\vec{p}$$
$$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2'$$
$$e = -\frac{v_1' - v_2'}{v_1 - v_2}$$
$$x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}, \quad v_G = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$$
運動量の問題では、次の判断が重要です。
1. 運動量保存が使えるか → 外力がゼロまたは無視できる場合に使える
2. エネルギー保存も使えるか → 弾性衝突のとき使える。非弾性衝突では使えない
3. 反発係数が与えられているか → 非弾性衝突の場合、運動量保存と反発係数で解く
1. 衝突の瞬間にエネルギー保存を使ってしまう（非弾性衝突のとき）
2. 壁衝突で速さ全体に反発係数をかける（垂直成分のみ）
3. 分裂で「エネルギーが増えるはずがない」と思い込む
4. 2次元衝突で1方向の運動量保存しか立てない
対策：問題を読んだら、まず「衝突の種類」と「使える保存則」を紙に書き出しましょう。
完全非弾性衝突：運動量保存 1式で解ける（速度が1つだけなので）
弾性衝突：運動量保存 ＋ エネルギー保存（または反発係数 $e=1$）
一般の非弾性衝突：運動量保存 ＋ 反発係数の式
壁・床衝突：反発係数のみ（垂直成分に適用）
分裂：運動量保存。エネルギーは保存しない（増加する）
第7章全体のつながりを最終確認しましょう。
Q1. 非弾性衝突で保存されるのは、運動量とエネルギーのどちらですか（あるいは両方）。
Q2. 壁に斜めに当たったボールで、反発係数が影響するのはどの成分ですか。
Q3. 同じ質量の球が弾性衝突（一方が静止）したとき、衝突後の2球の速度ベクトルの関係は何ですか。
Q4. 静止した物体が分裂するとき、運動エネルギーの合計は増えますか、減りますか。
第7章の内容を横断する総合問題です。A基礎×2、B発展×2、C応用×2の計6問。
質量 $0.15\,\text{kg}$ のボールが速さ $20\,\text{m/s}$ で壁に垂直に当たり、速さ $12\,\text{m/s}$ で跳ね返った。
(1) 反発係数を求めよ。
(2) 壁からボールが受けた力積の大きさを求めよ。
(3) 接触時間が $0.020\,\text{s}$ のとき、ボールが壁から受けた平均の力の大きさを求めよ。
(1) $e = 0.60$
(2) $4.8\,\text{N}\cdot\text{s}$
(3) $240\,\text{N}$
(1) $e = \dfrac{v'}{v} = \dfrac{12}{20} = 0.60$
(2) 壁に向かう方向を正とする。入射速度 $+20\,\text{m/s}$、反射速度 $-12\,\text{m/s}$
力積 $= m(v' - v) = 0.15 \times (-12 - 20) = -4.8\,\text{N}\cdot\text{s}$
壁からの力積の大きさは $4.8\,\text{N}\cdot\text{s}$
(3) $F = \dfrac{|\text{力積}|}{t} = \dfrac{4.8}{0.020} = 240\,\text{N}$
なめらかな水平面上で、質量 $m$ の物体 A が速度 $v$ で右に、質量 $2m$ の物体 B が速度 $\dfrac{v}{2}$ で左に進み、正面衝突して一体となった。
(1) 衝突後の速度を求めよ。
(2) 失われた運動エネルギーの、衝突前の全運動エネルギーに対する割合を求めよ。
(1) $V = 0$（静止）
(2) $100\%$
(1) 右を正とする。運動量保存：
$mv + 2m \times \left(-\dfrac{v}{2}\right) = (m + 2m)\,V$
$mv - mv = 3mV$ → $V = 0$
(2) $K_{\text{前}} = \dfrac{1}{2}mv^2 + \dfrac{1}{2} \cdot 2m \cdot \left(\dfrac{v}{2}\right)^2 = \dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{mv^2}{4} = \dfrac{3mv^2}{4}$
$K_{\text{後}} = 0$
損失率 $= \dfrac{K_{\text{前}} - K_{\text{後}}}{K_{\text{前}}} = \dfrac{3mv^2/4}{3mv^2/4} = 1 = 100\%$
2物体の運動量が等しく逆向きの場合、完全非弾性衝突で全エネルギーが失われる。
高さ $h$ のテーブルの端から、質量 $m$ の球 A を水平に速さ $v_0$ で発射した。床の上に質量 $M$ の球 B が静止している。A は B に正面衝突し（弾性衝突、$e = 1$）、B は水平に飛び出した。$g$ を重力加速度とする。
(1) A が床に達するまでの落下時間 $t$ を求めよ。
(2) 衝突直前の A の速さを求めよ。
(3) 衝突直後の A, B の速度を求めよ（水平成分のみ考える。$m = M$ とする）。
(4) $m = M$ のとき、B が床に沿って飛ぶ距離を求めよ（B は床上で滑らかに動くとする）。
(1) $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$
(2) $\sqrt{v_0^2 + 2gh}$
(3) $m = M$ のとき：A の水平速度 $= 0$、B の水平速度 $= v_0$
(4) B は等速で $v_0$ で滑るので、距離は問題の追加条件（時間や摩擦の条件）に依存する。
(1) 鉛直方向の自由落下：$h = \dfrac{1}{2}gt^2$ → $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$
(2) 着地時の速度：水平 $v_0$、鉛直 $gt = \sqrt{2gh}$
速さ $= \sqrt{v_0^2 + 2gh}$
(3) 衝突は水平方向のみ考える（瞬間的な衝突で鉛直成分は変わらない）。
$m = M$ の弾性衝突では速度が入れ替わる：A の水平速度 → $0$、B の水平速度 → $v_0$
(4) B はなめらかな床上を速さ $v_0$ で水平に進む。B は床上なので、水平方向に等速運動する（摩擦なしの場合）。
なめらかな水平面上で、静止している質量 $4m$ の物体が爆発して質量 $m$ の破片 A と質量 $3m$ の破片 B に分裂した。A は速さ $6v$ で右に飛んだ。その後、B は壁に衝突し、反発係数 $e = 0.50$ で跳ね返った。
(1) 分裂直後の B の速度を求めよ。
(2) 壁で跳ね返った後の B の速度を求めよ。
(3) 跳ね返った B がやがて A に追いつくことはあるか。理由とともに答えよ。
(1) $v_B = -2v$（左向きに $2v$）
(2) $v_B' = v$（右向き）
(3) 追いつかない
(1) 運動量保存：$0 = m \times 6v + 3m \times v_B$
$v_B = -2v$（左向き）
(2) 壁に垂直に衝突するので、$v_B' = e \times |v_B| = 0.50 \times 2v = v$（右向き）
(3) A は $6v$ で右に進み、B は壁で跳ね返った後 $v$ で右に進む。A の方が速いので、B は A に追いつかない。
（B が壁に向かっている間に A はさらに遠くに行っているので、壁から跳ね返った後も A との距離は開き続ける。）
なめらかな水平面上に質量 $M$ の木片が置かれている。質量 $m$ の弾丸を水平に速さ $v_0$ で木片に撃ち込み、一体となった（完全非弾性衝突）。一体となった物体は水平面上を滑り、角度 $\theta$ のなめらかな斜面を高さ $h$ まで上った。$g$ を重力加速度とする。
(1) 衝突直後の一体の速度 $V$ を求めよ。
(2) $V$ を $g$, $h$ で表せ。
(3) 弾丸の初速度 $v_0$ を $m$, $M$, $g$, $h$ で表せ。
(4) 衝突で失われたエネルギー $\Delta K$ を $m$, $M$, $g$, $h$ で表せ。
(1) $V = \dfrac{mv_0}{m+M}$
(2) $V = \sqrt{2gh}$
(3) $v_0 = \dfrac{m+M}{m}\sqrt{2gh}$
(4) $\Delta K = \dfrac{M(m+M)gh}{m}$
(1) 運動量保存：$mv_0 = (m+M)V$ → $V = \dfrac{mv_0}{m+M}$
(2) 斜面を上る過程でエネルギー保存（滑らかな面）：
$\dfrac{1}{2}(m+M)V^2 = (m+M)gh$ → $V = \sqrt{2gh}$
(3) (1)と(2)を等置：$\dfrac{mv_0}{m+M} = \sqrt{2gh}$ → $v_0 = \dfrac{m+M}{m}\sqrt{2gh}$
(4) $K_{\text{前}} = \dfrac{1}{2}mv_0^2 = \dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{m+M}{m}\right)^2 \cdot 2gh = \dfrac{(m+M)^2 gh}{m}$
$K_{\text{後}} = (m+M)gh$（斜面で高さ $h$ まで上ったエネルギー）
$\Delta K = \dfrac{(m+M)^2 gh}{m} - (m+M)gh = (m+M)gh\left(\dfrac{m+M}{m} - 1\right) = \dfrac{M(m+M)gh}{m}$
水平面上の原点 O から、質量 $2m$ の砲弾を速さ $v_0$、仰角 $60°$ で打ち上げた。砲弾は最高点で質量 $m$ の破片 A と質量 $m$ の破片 B に分裂した。A は水平方向（発射方向と同じ向き）に速さ $v_0$ で飛んだ。$g$ を重力加速度とする。
(1) 最高点の高さ $H$ と、原点からの水平距離 $d$ を求めよ。
(2) 分裂直後の B の速度ベクトル（水平・鉛直成分）を求めよ。
(3) 分裂しなかった場合の砲弾の落下地点（原点からの水平距離）を求めよ。
(4) 重心の考え方を利用して、A と B の落下地点（原点からの水平距離）をそれぞれ求めよ。
(1) $H = \dfrac{3v_0^2}{8g}$、$d = \dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{4g}$
(2) 水平成分 $0$、鉛直成分 $0$（静止）
(3) $\dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{2g}$
(4) A：$d + v_0 \cdot \sqrt{\dfrac{3v_0^2}{4g^2}} = \dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{4g} + \dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{2g} = \dfrac{3\sqrt{3}\,v_0^2}{4g}$、B：$\dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{4g}$
(1) 最高点の高さ：$H = \dfrac{v_0^2\sin^2 60°}{2g} = \dfrac{v_0^2 \cdot 3/4}{2g} = \dfrac{3v_0^2}{8g}$
水平距離：$d = v_0\cos 60° \times \dfrac{v_0\sin 60°}{g} = \dfrac{v_0}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}\,v_0}{2g} = \dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{4g}$
(2) 最高点では砲弾の速度は水平成分のみ：$v_x = v_0\cos 60° = \dfrac{v_0}{2}$
運動量保存（水平）：$2m \cdot \dfrac{v_0}{2} = m \cdot v_0 + m \cdot v_{Bx}$ → $v_{Bx} = 0$
運動量保存（鉛直）：$0 = 0 + m \cdot v_{By}$ → $v_{By} = 0$
B は分裂直後に静止する。
(3) 分裂なしの飛距離：$R = \dfrac{v_0^2\sin 120°}{g} = \dfrac{v_0^2 \cdot \sqrt{3}/2}{g} = \dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{2g}$
(4) 重心の落下位置 $= R = \dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{2g}$
B は最高点（水平距離 $d$）で静止して自由落下するので、真下に落ちる：$x_B = d = \dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{4g}$
重心の条件：$\dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{2g} = \dfrac{m \cdot x_A + m \cdot x_B}{2m} = \dfrac{x_A + x_B}{2}$
$x_A = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{2g} - \dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{4g} = \dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{g} - \dfrac{\sqrt{3}\,v_0^2}{4g} = \dfrac{3\sqrt{3}\,v_0^2}{4g}$