ハンマー投げの選手は、鋼線を握って全力で回転します。
手を離した瞬間、ハンマーは接線方向に飛んでいきます。
円を描き続けるには、中心へ引き戻す力が必要なのです。
その力の正体と使い方を、この記事で明らかにしましょう。
前の記事で、等速円運動には中心方向の加速度（向心加速度）があることを学びました。 ニュートンの運動の第2法則 $F = ma$ によれば、加速度があるところには力があります。
円運動する物体に中心方向にはたらく力の合力を向心力といいます。 これは新しい種類の力ではなく、張力・重力・垂直抗力・摩擦力など、 すでに知っている力の合力が中心方向に向いたもののことです。
「向心力」とは、円運動の中心方向にはたらく力の合力に与えた名前です。 重力が向心力になることもあれば、張力がなることも、摩擦力がなることもあります。
力の図に「向心力」を追加で描いてはいけません。 すでにある力の合力の中心方向成分が向心力なのです。
中心方向（向心方向）：$$F = m\frac{v^2}{r} = mr\omega^2$$
力の図を描くとき、向心力を重力や張力とは別に追加する誤りがよくあります。
✕ 誤：力の図に「重力」「張力」「向心力」を3本描く
○ 正：「重力」「張力」を描き、その合力が向心力の役割を果たすと考える
向心力は合力の別名であり、独立した力ではありません。
「向心力の正体は何か」を見抜く力が、円運動の問題を解くうえで最も大切です。 場面ごとに、中心方向にはたらく力を整理しましょう。
| 場面 | 向心力の正体 |
|---|---|
| ひもにつけた物体を水平に回す | ひもの張力 |
| カーブを曲がる自動車 | タイヤと路面の摩擦力 |
| 人工衛星の周回 | 万有引力 |
| バンクのある道路 | 垂直抗力の水平成分 |
| 鉛直面内で回るバケツ | 重力と張力の合力 |
円運動の問題を解く手順は決まっています。
Step 1：物体にはたらくすべての力を図に描く
Step 2：中心方向を正として、力の合力を求める
Step 3：$F = m\frac{v^2}{r}$ に代入する
この3ステップを守れば、あらゆる円運動の問題を統一的に扱えます。
円運動では、座標軸を「中心方向」と「接線方向」にとるのが便利です。 等速円運動では接線方向の合力はゼロ、中心方向の合力が向心力です。
向心方向は「外向き」ではなく「中心に向かう向き」を正にとります。
✕ 誤：中心から外向きを正として $T - mg = m\frac{v^2}{r}$
○ 正：中心に向かう向きを正として方程式を立てる
符号の間違いは致命的です。方向を明記してから立式しましょう。
ここでは、具体的な例で運動方程式の立て方を練習します。
質量 $m$ の物体を長さ $r$ のひもで水平面上の円軌道で回します。 物体にはたらく力は、重力 $mg$（下向き）、面からの垂直抗力 $N$（上向き）、 ひもの張力 $T$（中心方向）です。
鉛直方向は釣り合い：$N = mg$。 水平方向（中心方向）の運動方程式は、
$$T = m\frac{v^2}{r}$$
この場合、張力 $T$ がそのまま向心力です。
質量 $m$ の自動車が半径 $r$ のカーブを速さ $v$ で走ります。 水平面上で曲がれるのは、タイヤと路面の間の静止摩擦力のおかげです。
中心方向の運動方程式は、
$$f = m\frac{v^2}{r}$$
静止摩擦力には上限 $f_{\max} = \mu N = \mu mg$ があります。 $m\frac{v^2}{r} > \mu mg$ となると摩擦力が足りず、車はスリップします。 このとき速さの上限は、
$$v_{\max} = \sqrt{\mu gr}$$
向心力として必要な力は $m\frac{v^2}{r}$ です。 これが最大静止摩擦力 $\mu mg$ 以下であればスリップしません。
$$m\frac{v^2}{r} \leq \mu mg$$
両辺を $m$ で割ると $\frac{v^2}{r} \leq \mu g$ 、つまり
$$v \leq \sqrt{\mu gr}$$
カーブを走る車のタイヤは、路面に対して滑っていません（滑ったらスリップ）。
✕ 誤：向心力 = 動摩擦力 $\mu' mg$
○ 正：向心力 = 静止摩擦力 $f$（上限は $\mu mg$）
タイヤが路面を「つかんでいる」あいだは静止摩擦力です。
向心力は速度ベクトルに対してつねに垂直です。 力と変位が垂直のとき、仕事は $W = F \cdot d \cdot \cos 90° = 0$ です。
だから、向心力は物体の運動エネルギーを変えません。 等速円運動で速さが変わらない理由は、ここにあります。
ハンマー投げでひもが切れた瞬間を考えましょう。 向心力（張力）がゼロになると、物体は接線方向にまっすぐ飛んでいきます。
これは慣性の法則そのものです。 力がなくなれば、物体はその瞬間の速度を保って直進します。 円運動は力による「強制的な方向転換」なのです。
直線運動は力がなくても続きますが、円運動は違います。 向きを変え続けるには、常に中心方向に力が必要です。
力が消えた瞬間、物体は接線方向に直進を始めます。 「回り続ける」には絶え間ない力の供給が不可欠です。
映画やアニメでは、回転物が外向きに飛んでいくように描かれることがあります。
✕ 誤：ひもが切れると物体は中心から放射状（外向き）に飛ぶ
○ 正：ひもが切れると物体は切れた瞬間の速度方向（接線方向）に飛ぶ
速度ベクトルは接線方向なので、その方向に直進します。
速さが変化する円運動では、加速度に接線方向の成分も生じます。 中心方向は向心加速度 $a_n = \frac{v^2}{r}$、接線方向は $a_t = \frac{dv}{dt}$ です。
接線方向の合力がゼロでないとき、物体は加速または減速しながら曲がります。 この場合は「等速」円運動ではなくなります。
向心力の考え方は、これ以降のすべての円運動の問題の基盤になります。 具体的な場面にどう適用するか、次の記事から見ていきましょう。
Q1. 「向心力」とはどのような力ですか。新しい種類の力かどうかも含めて説明してください。
Q2. 質量 $2.0\,\text{kg}$ の物体が半径 $0.50\,\text{m}$、速さ $3.0\,\text{m/s}$ で等速円運動しています。向心力の大きさを求めてください。
Q3. カーブを走る自動車の向心力の正体は何ですか。
Q4. ひもにつけた物体を円運動させているとき、ひもが切れると物体はどの方向に飛びますか。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
質量 $0.20\,\text{kg}$ の物体を長さ $0.80\,\text{m}$ の軽いひもの先端につけ、滑らかな水平面上で等速円運動させたところ、周期が $0.40\,\text{s}$ であった。ひもの張力を求めよ。
$T \approx 39\,\text{N}$
角速度 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.40} = 5\pi\,\text{rad/s}$
向心力 = 張力より、$T = mr\omega^2 = 0.20 \times 0.80 \times (5\pi)^2 = 0.16 \times 25\pi^2 = 4\pi^2 \approx 39\,\text{N}$
質量 $1200\,\text{kg}$ の自動車が、半径 $50\,\text{m}$ の水平なカーブを走行する。タイヤと路面の静止摩擦係数を $\mu = 0.40$、重力加速度を $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、次の問いに答えよ。
(1) スリップせずに曲がれる最大の速さを求めよ。
(2) (1)の速さのとき、向心力の大きさを求めよ。
(1) $v_{\max} = \sqrt{0.40 \times 9.8 \times 50} = \sqrt{196} = 14\,\text{m/s}$
(2) $F = \mu mg = 0.40 \times 1200 \times 9.8 = 4700\,\text{N}$
スリップしない条件は $m\frac{v^2}{r} \leq \mu mg$ です。
(1) $v_{\max} = \sqrt{\mu gr} = \sqrt{0.40 \times 9.8 \times 50} = \sqrt{196} = 14\,\text{m/s}$（約 $50\,\text{km/h}$）
(2) 最大速度のとき、向心力 = 最大静止摩擦力 = $\mu mg = 0.40 \times 1200 \times 9.8 = 4700\,\text{N}$
滑らかな水平面上に半径 $r$ の円形のレール（壁）がある。質量 $m$ の小球がこのレールの内側に沿って速さ $v$ で等速円運動している。レールが小球に及ぼす力（垂直抗力）の大きさ $N$ を求めよ。また、小球がレールの外側に沿って同じ速さで等速円運動する場合の垂直抗力の大きさも求め、内側の場合と比較せよ。
内側：$N = m\frac{v^2}{r}$（中心向き）
外側：$N = m\frac{v^2}{r}$（中心向き）
どちらも同じ大きさ $m\frac{v^2}{r}$
内側の場合：レール壁は円の外側にあり、小球を中心方向に押します。垂直抗力は中心向きです。
運動方程式：$N = m\frac{v^2}{r}$
外側の場合：レール壁は円の内側にあり、やはり小球を中心方向に押します。垂直抗力は中心向きです。
運動方程式：$N = m\frac{v^2}{r}$
いずれの場合も、向心力は垂直抗力だけなので大きさは同じです。ただし、レールが力を及ぼす位置（内壁か外壁か）が異なります。