急発進する電車の中で、立っている人は後ろに倒れそうになります。地面に立っている人から見れば「電車が加速して人が取り残された」だけですが、電車に乗っている人から見ると「何かの力で後ろに引っ張られた」ように感じます。
この「見かけの力」が慣性力です。加速する座標系（非慣性系）特有の考え方を身につけましょう。
ニュートンの運動法則は、慣性系（加速していない座標系）でのみそのまま成り立ちます。 地面に固定された座標系は、地球の自転を無視すれば慣性系とみなせます。
一方、加速している電車やエレベーターの中に固定された座標系は非慣性系です。 非慣性系では、運動方程式をそのまま使うと辻褄が合わなくなります。
非慣性系で運動方程式を使うには、実在の力に加えて「慣性力」を書き加える必要があります。
慣性力は実在の力ではなく、座標系が加速していることによる「見かけの力」です。しかし、慣性力を加えることで非慣性系でも運動方程式が正しく成り立ちます。
✕ 誤：慣性系（地面）の立場で運動方程式を立てるときに慣性力を入れる
○ 正：慣性力は非慣性系（加速する乗り物内）の立場でのみ導入する
慣性系では通常の力だけで運動方程式を立てます。慣性力を入れてよいのは非慣性系のときだけです。
加速度 $\vec{a}_0$ で加速する座標系（非慣性系）の中で、質量 $m$ の物体には次の慣性力が働きます。
$$\vec{F}_{\text{慣性}} = -m\vec{a}_0$$
電車が右向きに加速度 $a_0$ で加速するなら、電車内の物体には左向きに $ma_0$ の慣性力が働きます。 これが「後ろに引っ張られる」感覚の正体です。
慣性系で物体の運動方程式は $m\vec{a} = \vec{F}$（$\vec{F}$ は実在の合力）です。
非慣性系での物体の加速度を $\vec{a}'$ とすると、$\vec{a} = \vec{a}' + \vec{a}_0$ です。
代入すると $m(\vec{a}' + \vec{a}_0) = \vec{F}$ → $m\vec{a}' = \vec{F} - m\vec{a}_0$
右辺の $-m\vec{a}_0$ が慣性力に相当します。非慣性系での運動方程式は $m\vec{a}' = \vec{F} + \vec{F}_{\text{慣性}}$ です。
慣性力は「見かけの力」（fictitious force / pseudo force）と呼ばれます。しかし、非慣性系で生活する人にとっては完全に「実感できる力」です。
宇宙ステーション内の無重力状態は、重力と遠心力（慣性力の一種）が釣り合っている状態です。「見かけ」だからといって影響が小さいわけではありません。
加速度 $a_0$ で水平方向に加速する電車の天井から、質量 $m$ の小球を長さ $l$ の糸で吊るします。 電車と一緒に加速している状態（電車内で静止）を考えましょう。
小球にはたらく力は重力 $mg$ と張力 $T$ の2つです。 小球は電車と一緒に加速度 $a_0$ で加速しているので、
電車内では小球は静止しています。慣性力 $ma_0$（加速の逆向き）を加えてつりあいの式を立てます。
どちらの見方でも同じ式が得られます。振り子の傾き角は、
$$\tan\alpha = \frac{a_0}{g}$$
慣性系で「加速度 $a_0$ の運動方程式」を立てても、非慣性系で「慣性力を加えてつりあいの式」を立てても、同じ答えが出ます。
どちらの方法を使うかは問題によって選ぶのがコツです。非慣性系で静止している物体の問題は、慣性力を使ったほうが見通しがよいことが多いです。
✕ 誤：慣性系の運動方程式に慣性力を追加して立式する
○ 正：慣性系なら実在の力だけ、非慣性系なら実在の力＋慣性力
「どの立場で考えているか」を明確にしてから式を立てましょう。
上向きに加速度 $a_0$ で加速するエレベーターの中で、質量 $m$ の人が体重計に乗っています。 体重計が示す値（見かけの重さ）はいくらでしょうか。
人にはたらく力は重力 $mg$（下向き）と垂直抗力 $N$（上向き）。 加速度 $a_0$（上向き）の運動方程式は、
$$N - mg = ma_0 \quad \Longrightarrow \quad N = m(g + a_0)$$
エレベーター内では人は静止。慣性力 $ma_0$（下向き＝加速の逆向き）を加えてつりあいの式は、
$$N = mg + ma_0 = m(g + a_0)$$
上向き加速度 $a_0$ のとき：$N = m(g + a_0)$（重く感じる）
下向き加速度 $a_0$ のとき：$N = m(g - a_0)$（軽く感じる）
自由落下（$a_0 = g$）のとき：$N = 0$（無重量状態）
エレベーターが自由落下するとき（$a_0 = g$）、$N = 0$ となり物体は浮いたような状態になります。
国際宇宙ステーション内の「無重力」も同じ原理です。地球の重力と自由落下の加速度が一致するため、見かけの重力がゼロになります（正確には「無重量」と呼びます）。
慣性力は、加速系で力のつりあいや運動方程式を使うための強力なツールです。
Q1. 慣性力とはどのような力ですか。大きさと向きを答えてください。
Q2. 慣性力はどの座標系で使うべきですか。
Q3. 加速度 $2.0\,\text{m/s}^2$ で上昇するエレベーター内で体重 $60\,\text{kg}$ の人が体重計に乗ると何 N を示しますか。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とします。
Q4. 加速する電車内で振り子が鉛直から $\alpha$ 傾いて静止した。$\tan\alpha$ は何に等しいですか。
慣性力を入試形式で確認しましょう。
質量 $50\,\text{kg}$ の人がエレベーター内の体重計に乗っている。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、次の各場合に体重計が示す値を求めよ。
(1) エレベーターが上向きに加速度 $3.0\,\text{m/s}^2$ で加速しているとき
(2) エレベーターが下向きに加速度 $2.0\,\text{m/s}^2$ で加速しているとき
(3) ロープが切れて自由落下しているとき
(1) $640\,\text{N}$ (2) $390\,\text{N}$ (3) $0\,\text{N}$
(1) $N = m(g + a_0) = 50 \times (9.8 + 3.0) = 50 \times 12.8 = 640\,\text{N}$
(2) $N = m(g - a_0) = 50 \times (9.8 - 2.0) = 50 \times 7.8 = 390\,\text{N}$
(3) $N = m(g - g) = 0\,\text{N}$（無重量状態）
水平方向に加速度 $a_0$ で一定に加速している電車の天井から、質量 $m$ の小球を糸で吊るした。小球は電車に対して静止し、糸は鉛直から角度 $\alpha$ 傾いた。
(1) $\alpha = 30°$、$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ のとき、電車の加速度 $a_0$ を求めよ。
(2) このとき糸の張力を $m$, $g$ で表せ。
(1) $a_0 \approx 5.7\,\text{m/s}^2$
(2) $T = \dfrac{mg}{\cos 30°} = \dfrac{2mg}{\sqrt{3}}$
(1) $\tan\alpha = \dfrac{a_0}{g}$ → $a_0 = g\tan 30° = 9.8 \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 5.66 \approx 5.7\,\text{m/s}^2$
(2) 鉛直方向のつりあい $T\cos\alpha = mg$ → $T = \dfrac{mg}{\cos 30°} = \dfrac{mg}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{2mg}{\sqrt{3}}$
水平方向右向きに加速度 $a_0$ で加速する電車の床に、角度 $\theta$ の滑らかな斜面（右上がり）を固定した。斜面上に質量 $m$ の物体を置く。物体が斜面上で静止するための条件を求め、そのときの垂直抗力を求めよ。
静止条件：$a_0 = g\tan\theta$
垂直抗力：$N = \dfrac{mg}{\cos\theta}$
非慣性系（電車内）で考える。
物体にはたらく力：重力 $mg$（下向き）、垂直抗力 $N$（斜面に垂直）、慣性力 $ma_0$（左向き）
斜面に平行方向（上り正）のつりあい：$ma_0\cos\theta - mg\sin\theta = 0$
$a_0\cos\theta = g\sin\theta$ → $a_0 = g\tan\theta$
斜面に垂直方向のつりあい：$N = mg\cos\theta + ma_0\sin\theta$
$a_0 = g\tan\theta$ を代入：$N = mg\cos\theta + mg\tan\theta \cdot \sin\theta = mg\cos\theta + \dfrac{mg\sin^2\theta}{\cos\theta}$
$= \dfrac{mg(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}{\cos\theta} = \dfrac{mg}{\cos\theta}$