天井からばねでおもりを吊るし、少し引いて手を離す。
重力が加わるのに、周期の公式は水平の場合と全く同じ。
この「不思議な一致」の裏には、座標の取り方に隠された巧みな工夫があります。
つりあいの位置を原点にする、それだけで重力が式から消えるのです。
天井にばね定数 $k$ のばねの上端を固定し、下端に質量 $m$ のおもりをつけます。 おもりが静止しているとき、ばねは自然長より $d$ だけ伸びています。
おもりが静止しているとき、ばねの弾性力と重力がつりあっています。 下向きを正にとると、
$$mg = kd$$
したがって $d = \dfrac{mg}{k}$ です。 この位置がつりあいの位置です。
鉛直ばね振り子では、この2つは異なります。
✕ 誤：「振動の中心 = ばねの自然長の位置」
○ 正：「振動の中心 = おもりが静止する位置（自然長 + $d$）」
自然長の位置ではばねの力はゼロですが、重力がはたらいています。 つりあいの位置は自然長から $d = mg/k$ だけ下がった点です。
つりあいの位置を原点にとり、下向きを正として変位を $X$ とします。 このとき、おもりの位置はつりあいの位置から $X$ だけずれた点にあります。
おもりがつりあいの位置から $X$ だけ下にいるとき、 ばねは自然長から $d + X$ だけ伸びています。
運動方程式（下向き正）：
$$ma = mg - k(d + X)$$
$$= mg - kd - kX$$
つりあいの条件 $mg = kd$ より $mg - kd = 0$ なので、
$$ma = -kX$$
$$a = -\frac{k}{m}X$$
重力の項 $mg$ とつりあい位置でのばねの力 $kd$ が完全に相殺されました。
つりあいの位置からの変位 $X$ で運動方程式を書くと、 重力の項は定数項 $kd$ と相殺され、$a = -\dfrac{k}{m}X$ だけが残ります。
これは水平ばね振り子と全く同じ形です。 したがって、角振動数も周期も水平の場合と同じになります。
自然長を原点にとると運動方程式に重力の定数項が残ってしまいます。 つりあいの位置を原点にとるだけで、その定数項が消え、問題がシンプルになります。
この「座標のとり方で式を簡単にする」テクニックは、 物理のあらゆる場面で使われる重要な考え方です。
$a = -\dfrac{k}{m}X$ は単振動の運動方程式です。 したがって、鉛直ばね振り子の周期は水平の場合と同じ式で表されます。
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
つりあいの伸び $d = mg/k$ を使って書き直すこともできます。 $m/k = d/g$ なので、
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{d}{g}}$$
単振り子の周期は $T = 2\pi\sqrt{l/g}$（$l$ は糸の長さ）です。 形が似ていますが、意味は異なります。
✕ 誤：「$d$ は糸の長さのようなもの」
○ 正：「$d$ はつりあい時のばねの伸びであり、糸の長さとは無関係」
✕ 誤：「鉛直だから周期は水平より長い/短い」
○ 正：「周期は全く同じ。重力はつりあいの位置を変えるだけで、振動の周期には影響しない」
重力は復元力の「傾き」（$k/m$）を変えません。 つりあいの位置をずらすだけです。
問題によっては、自然長の位置からの変位 $y$ で考える必要があることもあります。 その場合、運動方程式は $ma = mg - ky$ となり、定数項が残ります。
しかし $X = y - d$（つりあいの位置からの変位）と置き換えれば、 先ほどと同じ $ma = -kX$ に帰着します。 最終的にはどちらの座標を使っても同じ結果になります。
振幅がつりあいの伸び $d$ より大きいと、 おもりがつりあいの位置より上に $d$ 以上移動し、ばねが自然長より縮みます。
ばねが縮んでもフックの法則が成り立つ限り、単振動は続きます。 ただし、ばねがおもりから離れてしまう（圧縮側で力を伝えられない）場合は、 その時点で単振動の条件が崩れます。
上端を固定したばねにおもりを吊るす場合、ばねが自然長より短くなると ばねはおもりを「押す」ことになります。 ばねがおもりに接着されていなければ、この瞬間におもりはばねから離れます。
離れる条件は $A > d$（振幅がつりあいの伸びより大きい）です。 離れた後、おもりは放物運動（自由落下）に移行します。
鉛直ばね振り子のポイントは「つりあいの位置を基準にする」という座標の工夫でした。 この考え方は他の単振動の問題にも応用できます。
Q1. 鉛直ばね振り子の周期は、水平ばね振り子と比べてどうなりますか。
Q2. ばね定数 $k = 49\,\text{N/m}$ のばねにおもりを吊るしたら、$0.10\,\text{m}$ 伸びてつりあいました。おもりの質量を求めてください。
Q3. つりあいの伸びが $d = 0.025\,\text{m}$ のとき、鉛直ばね振り子の周期を求めてください。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。
Q4. 鉛直ばね振り子で、つりあいの位置を原点にとるとなぜ重力が消えるのですか。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
ばね定数 $k = 200\,\text{N/m}$ のばねを天井に固定し、質量 $m = 1.0\,\text{kg}$ のおもりを吊るした。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、次の問いに答えよ。
(1) つりあいの位置でのばねの伸び $d$ を求めよ。
(2) おもりをつりあいの位置から下に $0.030\,\text{m}$ 引いて離した。周期を求めよ。
(1) $d = 0.049\,\text{m}$
(2) $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{1.0}{200}} \approx 0.44\,\text{s}$
(1) $d = \dfrac{mg}{k} = \dfrac{1.0 \times 9.8}{200} = 0.049\,\text{m}$
(2) $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{1.0}{200}} = 2\pi \times 0.0707 \approx 0.44\,\text{s}$
別解：$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{d}{g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{0.049}{9.8}} = 2\pi\sqrt{0.005} \approx 0.44\,\text{s}$
天井に固定したばね（ばね定数 $k$）に質量 $m$ のおもりを吊るした。おもりの位置をばねの自然長の下端を原点とし、下向きを正にとって $y$ とする。つりあいの位置からの変位 $X = y - d$（$d$ はつりあいの伸び）を用いて、運動方程式を $a = -\omega^2 X$ の形に変形し、$\omega$ を求めよ。
$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$
おもりの運動方程式：$ma = mg - ky = mg - k(X + d)$
$= mg - kd - kX$
つりあいの条件 $mg = kd$ を代入：$ma = -kX$
$a = -\dfrac{k}{m}X = -\omega^2 X$
したがって $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$
ばね定数 $k = 100\,\text{N/m}$ のばねを天井に固定し、質量 $m = 0.50\,\text{kg}$ のおもりを載せて（接着せずに）つりあわせた。おもりをつりあいの位置から下に $A$ だけ引いて離した。おもりがばねから離れないための $A$ の条件を求めよ。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ とする。
$A \leq 0.049\,\text{m}$
つりあいの伸び $d = \dfrac{mg}{k} = \dfrac{0.50 \times 9.8}{100} = 0.049\,\text{m}$
おもりが上端（つりあいの位置から上に $A$）に達したとき、 ばねの伸びは $d - A$ です。
ばねから離れない条件は $d - A \geq 0$、すなわち $A \leq d = 0.049\,\text{m}$
$A > d$ になると、上端でばねが自然長より短くなり、 接着されていないおもりはばねから離れて自由落下に移行します。