ばね振り子、単振り子、浮力の振動、直列・並列ばね——単振動のあらゆるテーマを横断する総合問題に挑戦しましょう。
A基礎2問、B発展2問、C応用2問の計6問です。時間を計って取り組んでみてください。
A基礎（各10分）：公式の直接適用。確実に満点を取りましょう。
B発展（各15分）：複数の概念の組み合わせ。手順を明確にして解きましょう。
C応用（各20分）：初見の設定でも「単振動の判定法」に帰着させる力が問われます。
ばね定数 $k = 160\,\text{N/m}$ のばねに質量 $m = 0.40\,\text{kg}$ の物体をつけ、滑らかな水平面上で振幅 $A = 0.050\,\text{m}$ の単振動をさせた。
(1) 周期 $T$ を求めよ。
(2) 最大速さ $v_{\max}$ を求めよ。
(3) 変位 $x = 0.030\,\text{m}$ での速さを求めよ。
(1) $T \approx 0.31\,\text{s}$
(2) $v_{\max} = 1.0\,\text{m/s}$
(3) $v = 0.80\,\text{m/s}$
(1) $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{160/0.40} = 20\,\text{rad/s}$、$T = 2\pi/\omega = 2\pi/20 \approx 0.31\,\text{s}$
(2) $v_{\max} = A\omega = 0.050 \times 20 = 1.0\,\text{m/s}$
(3) $v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} = 20\sqrt{0.050^2 - 0.030^2} = 20\sqrt{0.0016} = 20 \times 0.040 = 0.80\,\text{m/s}$
ある場所で、長さ $l_1 = 0.50\,\text{m}$ の単振り子の周期が $T_1 = 1.42\,\text{s}$ であった。
(1) この場所の重力加速度 $g$ を求めよ。
(2) 同じ場所で周期を $T_2 = 2.0\,\text{s}$ にしたい。糸の長さをいくらにすればよいか。
(1) $g \approx 9.8\,\text{m/s}^2$
(2) $l_2 \approx 0.99\,\text{m}$
(1) $T_1 = 2\pi\sqrt{l_1/g}$ より $g = \dfrac{4\pi^2 l_1}{T_1^2} = \dfrac{4\pi^2 \times 0.50}{1.42^2} = \dfrac{19.7}{2.016} \approx 9.8\,\text{m/s}^2$
(2) $T^2 \propto l$ より $\dfrac{l_2}{l_1} = \left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\dfrac{2.0}{1.42}\right)^2 = 1.99$
$l_2 = 1.99 \times 0.50 \approx 0.99\,\text{m}$
断面積 $S = 0.040\,\text{m}^2$、質量 $M = 4.0\,\text{kg}$ の直方体が水（密度 $\rho_0 = 1.0 \times 10^3\,\text{kg/m}^3$）に浮いている。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、次の問いに答えよ。
(1) つりあい時の沈み深さ $d$ を求めよ。
(2) この物体を $A = 0.030\,\text{m}$ だけ押し込んで放した。振動の周期と最大速さを求めよ。
(3) 振動中の全エネルギーを求めよ。
(1) $d = 0.10\,\text{m}$
(2) $T \approx 0.64\,\text{s}$、$v_{\max} \approx 0.30\,\text{m/s}$
(3) $E \approx 0.18\,\text{J}$
(1) $d = M/(\rho_0 S) = 4.0/(1000 \times 0.040) = 0.10\,\text{m}$
(2) $k_{\text{eff}} = \rho_0 Sg = 1000 \times 0.040 \times 9.8 = 392\,\text{N/m}$
$\omega = \sqrt{k_{\text{eff}}/M} = \sqrt{392/4.0} = \sqrt{98} \approx 9.90\,\text{rad/s}$
$T = 2\pi/\omega \approx 0.64\,\text{s}$
$v_{\max} = A\omega = 0.030 \times 9.90 \approx 0.30\,\text{m/s}$
(3) $E = \frac{1}{2}k_{\text{eff}}A^2 = \frac{1}{2} \times 392 \times 0.030^2 \approx 0.18\,\text{J}$
ばね定数 $k = 50\,\text{N/m}$ のばねが2本ある。これを用いて質量 $m = 2.0\,\text{kg}$ の物体を振動させる。また、長さ $l = 0.50\,\text{m}$ の単振り子も用意する。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、次の問いに答えよ。
(1) 2本のばねを並列に接続したときの振動の周期 $T_1$ を求めよ。
(2) 2本のばねを直列に接続したときの振動の周期 $T_2$ を求めよ。
(3) 単振り子の周期 $T_3$ を求めよ。
(4) $T_1$、$T_2$、$T_3$ を小さい順に並べよ。
(1) $T_1 \approx 0.89\,\text{s}$
(2) $T_2 \approx 1.8\,\text{s}$
(3) $T_3 \approx 1.4\,\text{s}$
(4) $T_1 < T_3 < T_2$
(1) 並列：$k_{\text{合}} = 50 + 50 = 100\,\text{N/m}$、$T_1 = 2\pi\sqrt{2.0/100} = 2\pi\sqrt{0.020} \approx 0.89\,\text{s}$
(2) 直列：$k_{\text{合}} = 50 \times 50/(50+50) = 25\,\text{N/m}$、$T_2 = 2\pi\sqrt{2.0/25} = 2\pi\sqrt{0.080} \approx 1.8\,\text{s}$
(3) $T_3 = 2\pi\sqrt{0.50/9.8} \approx 1.4\,\text{s}$
(4) 並列（硬い）→ 単振り子 → 直列（やわらかい）の順に周期が長くなる。
天井からばね定数 $k = 200\,\text{N/m}$ のばねで質量 $M = 1.0\,\text{kg}$ の台を吊るし、静止させた。この台の上に質量 $m = 1.0\,\text{kg}$ のおもりを高さ $h = 0.10\,\text{m}$ から自由落下させ、台と一体になって振動を始めた（完全非弾性衝突）。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、次の問いに答えよ。
(1) おもりが台に衝突する直前の速さ $v_0$ を求めよ。
(2) 衝突直後の台＋おもりの速さ $V$ を求めよ。
(3) 衝突後の振動の周期 $T$ を求めよ。
(4) 振動の振幅 $A$ を求めよ。（ヒント：衝突直後の位置は新しいつりあい位置ではない。）
(1) $v_0 = 1.4\,\text{m/s}$
(2) $V = 0.70\,\text{m/s}$
(3) $T \approx 0.63\,\text{s}$
(4) $A \approx 0.058\,\text{m}$
(1) $v_0 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.10} = \sqrt{1.96} = 1.4\,\text{m/s}$
(2) 運動量保存：$mv_0 = (m+M)V$ → $V = \dfrac{1.0 \times 1.4}{2.0} = 0.70\,\text{m/s}$
(3) $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m+M}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2.0}{200}} = 2\pi \times 0.100 \approx 0.63\,\text{s}$
(4) 衝突直後の位置は $M$ だけのつりあい位置。新しいつりあい位置（$M+m$ のつりあい）は $\Delta d = mg/k = 1.0 \times 9.8/200 = 0.049\,\text{m}$ だけ下。
新つりあい位置からの変位 $x_0 = -0.049\,\text{m}$（上側）、速さ $V = 0.70\,\text{m/s}$ でのエネルギー保存：
$E = \frac{1}{2}(m+M)V^2 + \frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}(2.0)(0.70)^2 + \frac{1}{2}(200)(0.049)^2$
$= 0.49 + 0.24 = 0.73\,\text{J}$
$A = \sqrt{2E/k} = \sqrt{2 \times 0.73/200} = \sqrt{0.0073} \approx 0.085\,\text{m}$
（別解）$\omega = \sqrt{k/(m+M)} = 10\,\text{rad/s}$、$A = \sqrt{x_0^2 + (V/\omega)^2} = \sqrt{0.049^2 + 0.070^2} = \sqrt{0.00730} \approx 0.085\,\text{m}$
地球上で長さ $l = 1.0\,\text{m}$ の単振り子の周期を $T_p$、ばね定数 $k = 40\,\text{N/m}$、質量 $m = 1.0\,\text{kg}$ のばね振り子の周期を $T_s$ とする。$g = 9.8\,\text{m/s}^2$ として、次の問いに答えよ。
(1) $T_p$ と $T_s$ をそれぞれ求めよ。
(2) 月面（$g' = g/6$）で、$T_p$ と $T_s$ はそれぞれ何倍になるか。
(3) 加速度 $a$ で上昇するエレベーター内で、$T_p$ と $T_s$ はどうなるか。理由とともに答えよ。
(1) $T_p \approx 2.0\,\text{s}$、$T_s \approx 0.99\,\text{s}$
(2) 単振り子は $\sqrt{6} \approx 2.45$ 倍、ばね振り子は変化なし（1倍）
(3) 単振り子の周期は短くなる（$T_p' = T_p\sqrt{g/(g+a)}$）。ばね振り子の周期は変化しない。
(1) $T_p = 2\pi\sqrt{l/g} = 2\pi\sqrt{1.0/9.8} \approx 2.0\,\text{s}$
$T_s = 2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0/40} \approx 0.99\,\text{s}$
(2) 単振り子：$T_p' = 2\pi\sqrt{l/g'} = 2\pi\sqrt{6l/g} = \sqrt{6}\,T_p \approx 2.45\,T_p$。$g$ に依存するため変化する。
ばね振り子：$T_s = 2\pi\sqrt{m/k}$。$g$ を含まないので月面でも変化しない。
(3) エレベーター内の有効重力加速度 $g_{\text{eff}} = g + a$
単振り子：$g$ に依存するため $T_p' = 2\pi\sqrt{l/(g+a)} < T_p$（短くなる）
ばね振り子：$T_s = 2\pi\sqrt{m/k}$ は $g$ に依存しないので変化しない。ばねのつりあい位置は変わるが、周期は同じ。