気体をゆっくり膨張・圧縮させ、温度を一定に保つ——これが等温変化です。
温度が変わらないので内部エネルギーは変化しません（$\Delta U = 0$）。
熱力学第一法則は $Q = W$ となり、吸収した熱がすべて仕事に変わる、きわめてシンプルな関係が成り立ちます。
等温変化（とうおんへんか）とは、気体の温度 $T$ が一定のまま状態が変化する過程です。
実現するには、気体を熱をよく伝える容器に入れて、十分ゆっくりと膨張・圧縮させます。すると周囲との熱のやり取りによって温度が一定に保たれます。
理想気体の内部エネルギーは温度のみの関数です。温度が変わらなければ $\Delta U = 0$ です。
これが等温変化の最大のポイントです。第一法則が $Q = W$ という単純な形になり、吸収した熱はすべて外部への仕事に使われます。
✕ 誤：等温変化では熱の出入りがない
○ 正：等温変化では熱の出入りがある（$Q \neq 0$）。熱の出入りがないのは断熱変化
等温変化は「温度が変わらない」変化であり、そのために外部と熱をやり取りしています。
等温変化では、状態方程式 $pV = nRT$ の右辺が一定（$T$ 一定）なので、
$$pV = \text{一定} \quad （T = \text{一定のとき}）$$
$$p_1V_1 = p_2V_2$$
これはボイルの法則そのものです。等温変化は圧力と体積が反比例する変化です。
温度が一定なので分子の平均運動エネルギーは変わりません。体積を半分にすると、分子が壁に衝突する頻度が2倍になり、圧力が2倍になります。
体積を2倍にすると衝突頻度が半分になり、圧力は半分になります。
等温変化に熱力学第一法則を適用します。$\Delta U = 0$ なので、
$$Q = W \quad （\Delta U = 0）$$
等温膨張では、気体は外部から熱を吸収し、そのすべてを仕事に変換します。温度（内部エネルギー）は変わりません。
等温圧縮では、外部からされた仕事がすべて熱として放出されます。
気体は「熱を仕事に変換するエンジン」（膨張時）や「仕事を熱に変換するヒートポンプ」（圧縮時）として働いているのです。
等温変化では圧力が変化するため、仕事は $W = p\Delta V$ ではなく積分で求める必要があります。高校物理ではp-Vグラフの面積として求めるのが一般的です。
$pV = nRT$ より $p = nRT/V$ なので、
$$W = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$$
高校物理の範囲では対数は不要ですが、大学入試で出題されることもあります。
✕ 誤：等温変化で $W = p\Delta V$（圧力は変化しているのに一定として計算する）
○ 正：等温変化では圧力が変化するので、$W = p\Delta V$ は使えない。p-Vグラフの面積で求める
$W = p\Delta V$ が使えるのは定圧変化のみです。
等温変化は p-V グラフ上で双曲線（$pV = \text{一定}$）として表されます。この曲線を等温線と呼びます。
温度が高いほど等温線は原点から遠く（右上に）位置します。$pV = nRT$ の右辺が大きいほど、同じ体積での圧力が大きくなるためです。
等温線は右下がりの双曲線です。体積が大きくなるほど圧力は小さくなります（反比例）。
等温膨張の仕事は、この双曲線と $V$ 軸の間の面積です。定圧変化の長方形の面積とは異なり、曲線で囲まれた面積となります。
p-Vグラフ上で、等温線と断熱線は同じ点を通ることがありますが、傾きが異なります。
断熱線の方が等温線より急勾配です。これは、断熱変化では膨張すると温度が下がる（圧力がより大きく下がる）ためです。
この違いは、熱サイクルの問題で重要になります。
等温変化はカルノーサイクルの構成要素であり、ボイルの法則の基礎でもあります。$\Delta U = 0$ というシンプルな条件が、多くの問題を解きやすくしてくれます。
Q1. 等温変化で内部エネルギーの変化 $\Delta U$ はいくらですか。その理由は？
Q2. 等温変化の熱力学第一法則を式で書いてください。
Q3. 等温変化で体積を2倍にすると圧力はどうなりますか。
Q4. p-Vグラフ上で等温変化はどのような曲線で表されますか。
等温変化を入試形式で確認しましょう。
温度一定のもとで、圧力 $2.0 \times 10^5\,\text{Pa}$、体積 $3.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ の理想気体を、体積が $6.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ になるまでゆっくり膨張させた。膨張後の圧力を求めよ。
$p_2 = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$
等温変化なので $p_1V_1 = p_2V_2$
$p_2 = p_1 \times \frac{V_1}{V_2} = 2.0 \times 10^5 \times \frac{3.0 \times 10^{-3}}{6.0 \times 10^{-3}} = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$
体積が2倍になったので圧力は半分。
理想気体を温度一定のまま膨張させたところ、気体は外部に $400\,\text{J}$ の仕事をした。以下の問いに答えよ。
(1) 内部エネルギーの変化 $\Delta U$ を求めよ。
(2) 気体が外部から吸収した熱量 $Q$ を求めよ。
(3) この過程で気体の温度が変わらない理由を第一法則を用いて説明せよ。
(1) $\Delta U = 0$
(2) $Q = 400\,\text{J}$
(3) 下記参照
(1) 等温変化なので $\Delta U = 0$
(2) $Q = \Delta U + W = 0 + 400 = 400\,\text{J}$
(3) 外部から吸収した熱 $Q = 400\,\text{J}$ がすべて外部への仕事 $W = 400\,\text{J}$ に変換されており、$\Delta U = Q - W = 0$ です。内部エネルギーが変化しないので温度は変わりません。
単原子分子理想気体 $n\,\text{mol}$ が圧力 $p_0$、体積 $V_0$、温度 $T_0$ の状態Aにある。
過程1：状態Aから等温変化で体積を $2V_0$ にする（状態B）。
過程2：状態Bから定積変化で圧力を $p_0$ にする（状態C）。
(1) 状態Bの圧力を求めよ。
(2) 状態Cの温度を求めよ。
(3) 過程1で気体が吸収した熱量を $Q_1$、過程2で吸収した熱量を $Q_2$ とするとき、$Q_2$ を $n$、$R$、$T_0$ で表せ。
(1) $p_0/2$
(2) $2T_0$
(3) $Q_2 = \frac{3}{2}nRT_0$
(1) 等温変化で $p_0V_0 = p_B \cdot 2V_0$ → $p_B = p_0/2$
(2) 状態Bは圧力 $p_0/2$、体積 $2V_0$、温度 $T_0$。状態Cは体積 $2V_0$（定積）、圧力 $p_0$。
$p_B/T_B = p_C/T_C$ → $(p_0/2)/T_0 = p_0/T_C$ → $T_C = 2T_0$
(3) 過程2（定積変化）：$W = 0$ なので $Q_2 = \Delta U = nC_v(T_C - T_B) = \frac{3}{2}nR(2T_0 - T_0) = \frac{3}{2}nRT_0$