音楽を聴くとき、私たちは無意識に「高い音」「低い音」「大きな音」「小さな音」を区別しています。
これらの違いを物理的に表現するためには、波を数値で記述する「ものさし」が必要です。
この記事では、波を定量的に扱うための4つの基本量 ─ 振幅・波長・周期・振動数 ─ を学びます。
ブランコを漕ぐとき、大きく漕ぐほどブランコの揺れは大きくなります。 この「揺れの大きさ」にあたるのが、波における振幅です。
振幅とは、媒質がつりあいの位置から最大限に変位したときの距離を指します。 記号には $A$ を使い、単位は長さ（$\text{m}$）です。
波の山の頂上からつりあいの位置までの距離が振幅であり、 谷の底からつりあいの位置までの距離も振幅です。 山の頂上から谷の底までの距離は振幅の2倍（$2A$）になることに注意しましょう。
グラフを見たとき、最大値から最小値までの全幅を振幅と答えてしまうミスは非常に多いです。
✕ 誤：山の高さ $3\,\text{cm}$、谷の深さ $3\,\text{cm}$ → 振幅 $6\,\text{cm}$
○ 正：山の高さ $3\,\text{cm}$、谷の深さ $3\,\text{cm}$ → 振幅 $3\,\text{cm}$
振幅はつりあいの位置からの最大変位です。全幅（山〜谷）はその2倍になります。
振幅は単に「揺れの大きさ」を表すだけでなく、波が運ぶエネルギーの大きさの指標でもあります。
波のエネルギーは振幅の2乗に比例します。振幅が2倍になるとエネルギーは4倍になります。 音の場合、振幅が大きいほど「大きな音」として聞こえるのはこのためです。
プールで水面波を観察すると、山と山が等間隔で並んでいるのが見えます。 この山と山の間隔（あるいは谷と谷の間隔）が波長です。
より正確には、波長とは波の進行方向に沿って、同じ振動状態（位相）が繰り返される最短距離をいいます。 記号は $\lambda$（ラムダ）、単位は $\text{m}$ です。
波形のグラフ（y-xグラフ）から波長を読み取るには、次のいずれかの方法を使います。
グラフ上で隣り合う山と谷の間の距離を波長と読んでしまうことがあります。
✕ 誤：山と谷の間隔 = 波長
○ 正：山と谷の間隔 = 波長の半分（$\frac{\lambda}{2}$）
波長は「同じ状態」の繰り返し距離です。山と谷は「逆の状態」なので、その間隔は半波長です。
波長は波の種類によって大きく異なります。いくつか例を挙げましょう。
可視光線：$380 \sim 780\,\text{nm}$（$1\,\text{nm} = 10^{-9}\,\text{m}$）。赤色は波長が長く、紫色は短いです。
AM ラジオの電波：数百 $\text{m}$。FM ラジオ：数 $\text{m}$。携帯電話の電波：数十 $\text{cm}$。
地震波（S波）：数 $\text{km}$ にもなることがあります。
このように、波長のスケールは $10^{-9}\,\text{m}$ から $10^{3}\,\text{m}$ 以上まで、実に12桁以上の幅があります。
波長が波の「空間的な繰り返し」を表すのに対し、周期と振動数は波の「時間的な繰り返し」を表す量です。
周期とは、媒質の1つの点が1回の完全な振動を行うのに要する時間です。 言い換えれば、ある地点を同じ状態の波が再び通過するまでの時間間隔です。 記号は $T$、単位は $\text{s}$（秒）です。
たとえば、海岸で波を観察しているとき、波の山が次々とやってきます。 ある山が来てから次の山が来るまでの時間が周期 $T$ です。
振動数（周波数）とは、媒質の1つの点が1秒間に行う振動の回数です。 記号は $f$、単位は $\text{Hz}$（ヘルツ）です。
$$f = \frac{1}{T} \qquad \text{または} \qquad T = \frac{1}{f}$$
周期 $T$ [$\text{s}$] は「1回振動するのにかかる時間」です。
1秒間に何回振動するかを知りたければ、1秒を $T$ で割ればよいので、
$$f = \frac{1}{T}$$
たとえば周期 $T = 0.5\,\text{s}$ ならば、$f = \frac{1}{0.5} = 2\,\text{Hz}$（1秒間に2回振動）です。
周期 $T$ と振動数 $f$ は、同じ「時間的な繰り返し」を逆の視点から見たものです。
周期が短い（$T$ が小さい）ということは、短い時間で何度も振動すること、つまり振動数が大きい（$f$ が大きい）ことを意味します。 一方を知ればもう一方は自動的に決まります。
周期 $T$ と波長 $\lambda$ は、どちらも「1回分の繰り返し」に対応する量ですが、次元が異なります。
✕ 誤：「周期が $2\,\text{m}$ である」（周期の単位は時間）
○ 正：周期は時間 [$\text{s}$]、波長は長さ [$\text{m}$]。混同しない
周期は「時間軸」での1サイクル、波長は「空間軸」での1サイクルです。
$1\,\text{Hz} = 1\,\text{回/秒} = 1\,\text{s}^{-1}$ です。これらは同じ意味ですが、計算では $\text{s}^{-1}$ を使うと次元解析がしやすくなります。
✕ 誤：$f = 50\,\text{Hz}$ を「50秒」と解釈する
○ 正：$f = 50\,\text{Hz}$ は「1秒間に50回振動する」という意味
ここまでに学んだ4つの量を整理しましょう。
| 量 | 記号 | 単位 | 意味 |
|---|---|---|---|
| 振幅 | $A$ | $\text{m}$ | つりあいの位置からの最大変位 |
| 波長 | $\lambda$ | $\text{m}$ | 同じ位相が繰り返される空間的距離 |
| 周期 | $T$ | $\text{s}$ | 1回の振動にかかる時間 |
| 振動数 | $f$ | $\text{Hz}$（$= \text{s}^{-1}$） | 1秒間の振動回数 |
これら4つの量のうち、$T$ と $f$ は互いに逆数の関係（$f = 1/T$）で結ばれています。 また、$\lambda$、$T$（または $f$）、波の速さ $v$ の間には $v = f\lambda$ という重要な関係がありますが、 これは W-1-4 で詳しく学びます。
4つの量は、大きく2つのグループに分けて理解すると整理しやすくなります。
振幅 $A$ は波のエネルギー（強さ）を表す量です。振幅を変えても波の「形」のパターンは変わりません。
波長 $\lambda$ と周期 $T$（振動数 $f$）は波の繰り返しパターンを表す量です。 波長は空間的なパターン、周期は時間的なパターンに対応します。
音波を例にとると、4つの量の意味が実感しやすくなります。
人の耳が聞き取れる振動数は約 $20\,\text{Hz}$ から $20{,}000\,\text{Hz}$ です。 ピアノの中央のラの音（A4）は $440\,\text{Hz}$ で、このとき周期は $T = 1/440 \approx 0.00227\,\text{s}$ です。
物理学では振動数 $f$ の代わりに角振動数（角周波数） $\omega$ を使うことがよくあります。
$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$
$\omega$ の単位は $\text{rad/s}$ です。1回の振動が角度 $2\pi\,\text{rad}$ に対応するので、1秒間に $f$ 回振動すれば角度にして $2\pi f\,\text{rad}$ 進むことになります。
三角関数を使って波を数式で表すとき、$\omega$ を使うと式がすっきりします。
振幅・波長・周期・振動数は、あらゆる波動現象の基礎になる量です。 これらがどこにつながるかを確認しましょう。
Q1. ある波の山の頂上が $+5\,\text{cm}$、谷の底が $-5\,\text{cm}$ です。振幅はいくらですか。
Q2. 振動数 $500\,\text{Hz}$ の音波の周期を求めてください。
Q3. 周期 $0.25\,\text{s}$ の波の振動数を求めてください。
Q4. 波長と周期の違いを簡潔に説明してください。
Q5. 音が大きくなるとき、変化しているのは振幅・波長・振動数のうちどれですか。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
ある波のy-xグラフを観察したところ、山の頂上が $+4.0\,\text{cm}$、谷の底が $-4.0\,\text{cm}$であり、隣り合う山と山の間隔が $0.80\,\text{m}$ であった。また、ある一点を観察すると $0.40\,\text{s}$ ごとに山が通過した。次の問いに答えよ。
(1) この波の振幅を求めよ。
(2) この波の波長を求めよ。
(3) この波の周期と振動数を求めよ。
(1) $A = 4.0\,\text{cm}$
(2) $\lambda = 0.80\,\text{m}$
(3) 周期 $T = 0.40\,\text{s}$、振動数 $f = 2.5\,\text{Hz}$
(1) 振幅はつりあいの位置（$0\,\text{cm}$）からの最大変位なので $A = 4.0\,\text{cm}$。
(2) 隣り合う山と山の間隔がそのまま波長になるので $\lambda = 0.80\,\text{m}$。
(3) 山が通過する間隔が周期に対応するので $T = 0.40\,\text{s}$。振動数は $f = 1/T = 1/0.40 = 2.5\,\text{Hz}$。
ある音叉を鳴らしたところ、$5.0\,\text{s}$ 間に $2200$ 回振動した。次の問いに答えよ。
(1) この音叉の振動数を求めよ。
(2) この音叉の振動の周期を求めよ。
(3) 気温 $20\,\text{℃}$ の空気中での音速を $340\,\text{m/s}$ として、この音叉が出す音波の波長を求めよ。
(1) $f = 440\,\text{Hz}$
(2) $T \approx 2.3 \times 10^{-3}\,\text{s}$
(3) $\lambda \approx 0.77\,\text{m}$
(1) 振動数 $f = \dfrac{2200}{5.0} = 440\,\text{Hz}$
(2) $T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{440} \approx 2.27 \times 10^{-3}\,\text{s} \approx 2.3 \times 10^{-3}\,\text{s}$
(3) $v = f\lambda$ より $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{340}{440} \approx 0.773\,\text{m} \approx 0.77\,\text{m}$
（$v = f\lambda$ については W-1-4 で詳しく学びますが、ここでは先取りして使用しています。）
震源からの距離が異なる地点AとBで地震波を観測した。地点Aは震源から $10\,\text{km}$、地点Bは震源から $20\,\text{km}$ 離れている。次の問いに答えよ。ただし、地震波は震源から等方的（全方向均等）に広がるものとし、エネルギーの吸収は無視する。
(1) 地震波のエネルギーは振幅の2乗に比例する。地点Bでの波のエネルギー密度（単位面積あたりのエネルギー）は、地点Aでの何倍か。
(2) 地点Bでの地震波の振幅は、地点Aでの何倍か。
(1) $\dfrac{1}{4}$ 倍
(2) $\dfrac{1}{2}$ 倍
方針：波が球面状に広がるとき、エネルギーは球面の表面積に広がる。距離が2倍になれば表面積は4倍になるため、単位面積あたりのエネルギーは $1/4$ になる。
(1) 震源からの距離を $r$ とすると、球面の表面積は $4\pi r^2$ に比例します。地点Bは地点Aの2倍の距離なので、表面積は $2^2 = 4$ 倍。したがってエネルギー密度は $1/4$ 倍です。
(2) エネルギーは振幅の2乗に比例するので、$A_B^2 = \dfrac{1}{4} A_A^2$ より、$A_B = \dfrac{1}{2} A_A$。振幅は $1/2$ 倍です。