同じ振幅・波長の2つの波が逆向きに進むとき、波形は進まずに「その場で振動する」パターンが現れます。
これが定常波（定在波、standing wave）です。
弦の振動や気柱の共鳴など、楽器の物理から入試問題まで、定常波は至るところに登場します。
定常波は、同じ振幅 $A$・同じ波長 $\lambda$（同じ振動数 $f$）の2つの波が逆向きに進むとき、重ね合わせの原理によって生じます。
代表的な発生場面は、弦の端で反射した波と入射波が重なるケースです。入射波と反射波は同じ振幅・波長で逆向きに進むため、定常波が自然に形成されます。
通常の波（進行波）は山や谷のパターンが移動しますが、定常波は波形が進みません。各点が上下に振動するだけです。
ただし、定常波は「波がないわけではなく、2つの進行波の重ね合わせ」です。エネルギーは腹の部分に蓄えられています。
定常波には、最も大きく振動する点と全く振動しない点が交互に現れます。
腹（antinode）：振幅が最大（$2A$）の点。最も激しく振動する
節（node）：振幅が $0$ の点。全く振動しない
隣り合う腹と腹の間隔（＝隣り合う節と節の間隔）：$\dfrac{\lambda}{2}$
隣り合う腹と節の間隔：$\dfrac{\lambda}{4}$
定常波の腹から次の腹までの距離は $\dfrac{\lambda}{2}$ です。これを定常波の「波長」と勘違いしやすい。
✕ 誤：腹と腹の間隔 $= \lambda$
○ 正：腹と腹の間隔 $= \dfrac{\lambda}{2}$（元の進行波の半波長）
定常波は進行波ではないため厳密には「波長」を持ちませんが、元の波の波長 $\lambda$ で特徴づけます。
腹は2つの進行波の山と山が常に同位相で重なる位置です。振幅 $A$ の波が2つ重なるので、腹の最大変位は $A + A = 2A$ になります。
逆に節は、2つの波が常に逆位相で重なる位置なので、変位は常に $0$ です。
定常波を数式で表してみましょう。
右向きの波：$y_1 = A\sin(kx - \omega t)$
左向きの波：$y_2 = A\sin(kx + \omega t)$
重ね合わせ：
$$y = y_1 + y_2 = A[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$$
和積の公式 $\sin P + \sin Q = 2\sin\dfrac{P+Q}{2}\cos\dfrac{P-Q}{2}$ を使うと、
$$y = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)$$
$$y = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)$$
進行波 $y = A\sin(kx - \omega t)$ では $x$ と $t$ が一体になっていますが、定常波 $y = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)$ では $x$ と $t$ が掛け算の形で分離します。
これは「波形が進まない」ことの数学的な表現です。各点の振幅が $2A|\sin(kx)|$ で決まり、時間とともに $\cos(\omega t)$ の振動をします。
両端が固定された長さ $L$ の弦では、両端が節になります。この条件を満たす定常波だけが安定して存在でき、これを固有振動といいます。
両端が節なので、弦の長さ $L$ は半波長の整数倍：
$$L = n \cdot \frac{\lambda_n}{2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$
したがって $\lambda_n = \dfrac{2L}{n}$、振動数 $f_n = \dfrac{v}{\lambda_n} = \dfrac{nv}{2L}$
✕ 誤：基本振動の波長 $\lambda_1 = L$
○ 正：基本振動の波長 $\lambda_1 = 2L$
基本振動では弦の長さに半波長だけ入る。$L = \dfrac{\lambda_1}{2}$ なので $\lambda_1 = 2L$。
楽器の弦を弾くと、基本振動だけでなく2倍、3倍…の倍振動（倍音）も同時に発生します。
倍音の強さの割合が「音色」を決めます。同じ高さの音でもピアノとギターで音色が異なるのは、倍音の構成が違うからです。
定常波は弦の振動・気柱の共鳴・光の干渉など、波動分野の多くの現象の基礎です。
Q1. 定常波はどのような2つの波の重ね合わせでできますか。
Q2. 隣り合う腹と腹の間隔は波長 $\lambda$ の何倍ですか。
Q3. 長さ $L = 0.60\,\text{m}$ の弦の基本振動の波長を求めてください。
Q4. 弦の3倍振動の振動数は基本振動数の何倍ですか。
定常波に関する入試形式の問題で理解を確認しましょう。
波長 $\lambda = 0.40\,\text{m}$ の定常波がある。
(1) 隣り合う腹と腹の間隔を求めよ。
(2) 隣り合う腹と節の間隔を求めよ。
(1) $0.20\,\text{m}$ (2) $0.10\,\text{m}$
(1) 腹と腹の間隔 $= \dfrac{\lambda}{2} = \dfrac{0.40}{2} = 0.20\,\text{m}$
(2) 腹と節の間隔 $= \dfrac{\lambda}{4} = \dfrac{0.40}{4} = 0.10\,\text{m}$
長さ $L = 1.0\,\text{m}$ の弦を伝わる波の速さが $v = 200\,\text{m/s}$ であるとき、基本振動の振動数 $f_1$ を求めよ。
$f_1 = 100\,\text{Hz}$
$f_1 = \dfrac{v}{2L} = \dfrac{200}{2 \times 1.0} = 100\,\text{Hz}$
基本振動の波長 $\lambda_1 = 2L = 2.0\,\text{m}$ で確認：$f_1 = \dfrac{v}{\lambda_1} = \dfrac{200}{2.0} = 100\,\text{Hz}$ ✓
長さ $0.80\,\text{m}$ の弦に3つの腹を持つ定常波が生じている。波の速さを $320\,\text{m/s}$ とするとき、この振動の波長と振動数を求めよ。また、これは何倍振動か答えよ。
3倍振動、$\lambda_3 \approx 0.533\,\text{m}$、$f_3 = 600\,\text{Hz}$
腹が3つ → $n = 3$（3倍振動）。
$L = 3 \cdot \dfrac{\lambda_3}{2}$ より $\lambda_3 = \dfrac{2L}{3} = \dfrac{2 \times 0.80}{3} \approx 0.533\,\text{m}$
$f_3 = \dfrac{v}{\lambda_3} = \dfrac{320}{0.533} = 600\,\text{Hz}$
検算：$f_3 = \dfrac{3v}{2L} = \dfrac{3 \times 320}{2 \times 0.80} = 600\,\text{Hz}$ ✓
定常波 $y = 0.040\sin(5.0\pi x)\cos(200\pi t)$ [$\text{m}$] について、以下を求めよ。ただし $x$ [$\text{m}$]、$t$ [$\text{s}$] とする。
(1) 腹の振幅
(2) 波長 $\lambda$
(3) 振動数 $f$
(1) $0.040\,\text{m}$ (2) $0.40\,\text{m}$ (3) $100\,\text{Hz}$
(1) $2A = 0.040\,\text{m}$（式の係数がそのまま腹の振幅）
(2) $k = 5.0\pi$ より $\dfrac{2\pi}{\lambda} = 5.0\pi$、$\lambda = \dfrac{2}{5.0} = 0.40\,\text{m}$
(3) $\omega = 200\pi$ より $2\pi f = 200\pi$、$f = 100\,\text{Hz}$
長さ $0.60\,\text{m}$、質量 $1.8 \times 10^{-3}\,\text{kg}$ の弦に $27\,\text{N}$ の張力をかけて両端を固定した。
(1) 弦を伝わる波の速さを求めよ。
(2) 基本振動の振動数を求めよ。
(3) この弦から $440\,\text{Hz}$ の音を出すには、張力を何倍にすればよいか。
(1) $v = 300\,\text{m/s}$ (2) $f_1 = 250\,\text{Hz}$ (3) 約 $3.1$ 倍
(1) 線密度 $\rho = \dfrac{1.8 \times 10^{-3}}{0.60} = 3.0 \times 10^{-3}\,\text{kg/m}$
$v = \sqrt{\dfrac{S}{\rho}} = \sqrt{\dfrac{27}{3.0 \times 10^{-3}}} = \sqrt{9000} = 300\,\text{m/s}$
(2) $f_1 = \dfrac{v}{2L} = \dfrac{300}{2 \times 0.60} = 250\,\text{Hz}$
(3) $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$ より $f \propto \sqrt{S}$。$\dfrac{f'}{f_1} = \sqrt{\dfrac{S'}{S}}$ から $\dfrac{S'}{S} = \left(\dfrac{440}{250}\right)^2 = 3.10$
定常波は「波が進まない」のに、なぜエネルギーを持つことができるのか。定常波を構成する2つの進行波の視点から80字以内で説明せよ。
定常波は2つの進行波が逆向きに等しいエネルギーを輸送しているため、正味のエネルギー輸送は0だが、各点にはエネルギーが存在する。腹でエネルギーが最大となる。
定常波は右向きと左向きの進行波の重ね合わせです。各進行波はエネルギーを輸送していますが、逆向きに等量なので正味のエネルギー輸送は $0$。
しかし各点には運動エネルギーと位置エネルギーが存在します。腹では振動が最大なのでエネルギーが最大、節ではエネルギーは $0$ です。