第15章「波の性質」で学んだ内容を総合的に演習します。
横波と縦波、$v = f\lambda$、y-tグラフとy-xグラフ、重ね合わせ、定常波、反射──すべてを横断する問題に挑戦しましょう。
A基礎（2問）→ B発展（2問）→ C応用（2問）の計6問です。
第15章の範囲から、入試形式の総合問題です。
次の各問いに答えよ。
(1) 振動数 $850\,\text{Hz}$、波長 $0.40\,\text{m}$ の音波の速さを求めよ。
(2) この音波は横波と縦波のどちらか答えよ。
(3) 波長 $0.40\,\text{m}$ の定常波の、隣り合う腹と節の間隔を求めよ。
(1) $v = 340\,\text{m/s}$ (2) 縦波 (3) $0.10\,\text{m}$
(1) $v = f\lambda = 850 \times 0.40 = 340\,\text{m/s}$
(2) 音波は空気の振動が進行方向に伝わる縦波。
(3) 腹と節の間隔 $= \dfrac{\lambda}{4} = \dfrac{0.40}{4} = 0.10\,\text{m}$
ある波の原点 $x = 0$ におけるy-tグラフから、振幅 $A = 0.050\,\text{m}$、周期 $T = 0.20\,\text{s}$ が読み取れた。波の速さが $v = 4.0\,\text{m/s}$ のとき、
(1) 振動数 $f$ を求めよ。
(2) 波長 $\lambda$ を求めよ。
(3) y-xグラフで山から次の山の間隔はいくらか。
(1) $f = 5.0\,\text{Hz}$ (2) $\lambda = 0.80\,\text{m}$ (3) $0.80\,\text{m}$
(1) $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0.20} = 5.0\,\text{Hz}$
(2) $\lambda = vT = 4.0 \times 0.20 = 0.80\,\text{m}$（または $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{4.0}{5.0} = 0.80\,\text{m}$）
(3) y-xグラフの山から次の山の間隔は波長 $\lambda = 0.80\,\text{m}$。y-tグラフの山の間隔は周期なので混同注意。
長さ $L = 0.50\,\text{m}$ の弦の両端を固定し、波の速さが $v = 400\,\text{m/s}$ であるとき、
(1) 基本振動の波長と振動数を求めよ。
(2) 3倍振動の波長と振動数を求めよ。
(3) 3倍振動のとき、弦上に節はいくつあるか（端も含む）。
(1) $\lambda_1 = 1.0\,\text{m}$、$f_1 = 400\,\text{Hz}$
(2) $\lambda_3 \approx 0.333\,\text{m}$、$f_3 = 1200\,\text{Hz}$
(3) 4つ
(1) $\lambda_1 = 2L = 2 \times 0.50 = 1.0\,\text{m}$。$f_1 = \dfrac{v}{\lambda_1} = \dfrac{400}{1.0} = 400\,\text{Hz}$
(2) $\lambda_3 = \dfrac{2L}{3} = \dfrac{1.0}{3} \approx 0.333\,\text{m}$。$f_3 = 3f_1 = 1200\,\text{Hz}$
(3) 3倍振動では弦上に3つの腹と4つの節（両端を含む）がある。節の数 $= n + 1 = 3 + 1 = 4$。
右向きに進む縦波（音速 $340\,\text{m/s}$、振動数 $170\,\text{Hz}$）が壁（固定端）で反射し、定常波が生じている。
(1) この波の波長を求めよ。
(2) 壁は定常波の腹と節のどちらか。
(3) 壁から最も近い腹の位置は壁からいくら離れているか。
(1) $\lambda = 2.0\,\text{m}$ (2) 節 (3) $0.50\,\text{m}$
(1) $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{340}{170} = 2.0\,\text{m}$
(2) 壁は固定端なので節。固定端反射では反射波が逆位相で返り、壁での変位は常に $0$。
(3) 節と腹の間隔は $\dfrac{\lambda}{4} = \dfrac{2.0}{4} = 0.50\,\text{m}$
長さ $1.2\,\text{m}$、線密度 $\rho = 2.0 \times 10^{-3}\,\text{kg/m}$ の弦に張力 $S = 72\,\text{N}$ をかけて両端を固定した。空気中の音速を $340\,\text{m/s}$ とする。
(1) 弦を伝わる波の速さを求めよ。
(2) 基本振動の振動数を求めよ。
(3) 基本振動で弦が発する音の空気中での波長を求めよ。
(4) なぜ弦の波の波長と空気中の音の波長は異なるのか、50字以内で説明せよ。
(1) $v_s = \sqrt{36000} \approx 190\,\text{m/s}$
(2) $f_1 \approx 79\,\text{Hz}$
(3) $\lambda_{\text{air}} \approx 4.3\,\text{m}$
(4) 振動数は同じだが、弦の波の速さと空気中の音速が異なるため、$\lambda = v/f$ から波長も異なる。
(1) $v_s = \sqrt{\dfrac{S}{\rho}} = \sqrt{\dfrac{72}{2.0 \times 10^{-3}}} = \sqrt{36000} \approx 190\,\text{m/s}$
(2) $\lambda_1 = 2L = 2.4\,\text{m}$。$f_1 = \dfrac{v_s}{\lambda_1} = \dfrac{190}{2.4} \approx 79\,\text{Hz}$
(3) 音の振動数は弦の振動数と同じ $f_1 \approx 79\,\text{Hz}$。空気中の波長 $\lambda_{\text{air}} = \dfrac{340}{79} \approx 4.3\,\text{m}$
(4) 弦の波長 $\lambda_1 = 2.4\,\text{m}$ に対し、空気中の波長は $4.3\,\text{m}$。振動数が同じでも、波の速さが異なるため $\lambda = v/f$ から波長が異なる。
右向きの正弦波 $y_1 = A\sin\left(\dfrac{2\pi}{\lambda}x - \dfrac{2\pi}{T}t\right)$ と左向きの正弦波 $y_2 = A\sin\left(\dfrac{2\pi}{\lambda}x + \dfrac{2\pi}{T}t\right)$ が重ね合わさっている。
(1) 合成波 $y = y_1 + y_2$ の式を導け。
(2) 節の位置を $x$ の一般式で示せ。
(3) $t = 0$、$t = \dfrac{T}{4}$、$t = \dfrac{T}{2}$ における合成波のy-xグラフの概形をそれぞれ描け。
(1) $y = 2A\sin\left(\dfrac{2\pi}{\lambda}x\right)\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)$
(2) $x = \dfrac{n\lambda}{2}$（$n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$）
(3) $t = 0$：振幅 $2A$ の正弦波。$t = T/4$：すべて $0$。$t = T/2$：振幅 $-2A$（$t = 0$ と上下反転）
(1) 和積公式 $\sin P + \sin Q = 2\sin\dfrac{P+Q}{2}\cos\dfrac{P-Q}{2}$ を適用。
$P = \dfrac{2\pi}{\lambda}x - \dfrac{2\pi}{T}t$、$Q = \dfrac{2\pi}{\lambda}x + \dfrac{2\pi}{T}t$ とすると、
$y = 2A\sin\left(\dfrac{2\pi}{\lambda}x\right)\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)$
(2) 節は $\sin\left(\dfrac{2\pi}{\lambda}x\right) = 0$ の位置。$\dfrac{2\pi}{\lambda}x = n\pi$ より $x = \dfrac{n\lambda}{2}$。
(3) $t = 0$：$\cos(0) = 1$ → $y = 2A\sin\left(\dfrac{2\pi}{\lambda}x\right)$（振幅 $2A$ の正弦波）。$t = T/4$：$\cos(\pi/2) = 0$ → $y = 0$（全ての点で変位 $0$）。$t = T/2$：$\cos(\pi) = -1$ → $y = -2A\sin\left(\dfrac{2\pi}{\lambda}x\right)$（$t = 0$ と逆）。